精品解析：山西省晋中市介休市2023－2024学年九年级下学期中考摸底考试数学试卷

介休市2024年第二学期九年级中考摸底考试 数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（ ）. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据60°角的正弦值等于解答．∵sin60°=，∴∠B=60°． 故选C． 考点：特殊角的三角函数值． 2. 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ） A. 对称 B. 平移 C. 旋转 D. 位似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键． 根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可． 【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的， 所以这两张图片之间的关系是位似， 故选：D． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 4. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可． 【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键． 5. 如图，直线，直线和被直线、、所截，，，，则的长为（ ） A. 14 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 7. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的；下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”和“兔”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“兔”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 鼠 牛 虎 兔 鼠 （鼠，牛） （鼠，虎） （鼠，兔） 牛 （牛，鼠） （牛，虎） （牛，兔） 虎 （虎，鼠） （虎，牛） （虎，兔） 兔 （兔，鼠） （兔，牛） （兔，虎） 共有12可能的结果，其中两张图片恰好是“牛”“兔”的结果有2种， 两张图片恰好是“牛”“兔”的概率为． 故选：C． 8. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 9. 中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，是边上一点，且，连接．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、矩形的性质、勾股定理和相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握各性质定理． 作交的延长线于点，则CF＝AF，因为，，，所以，则，再证明，得，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线y＝（x+1）2+3的顶点坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，易得二次函数图象的顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象为抛物线，若顶点坐标为，则其解析式为． 12. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为______． 【答案】米## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．本题过点作于点，根据锐角正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点． 在，，所以． 由题意得， ∴， 故答案为：米． 13. 普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是_______m． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，由反射角等于入射角可知，， 由题意可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：36． 14. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温下降过程中，与的函数关系式满足______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图象，可以求出水温下降过程中，与的函数关系式． 【详解】解：由题意可， 升温过程中，当时，所用的时间， 设水温下降过程中，与的函数关系式满足， 点在该函数图象上， ， 解得， 即， 故答案为：． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，根据全等三角形的性质得到PD=CF=1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE=CF=×2=1， ∵AD//BC， ∴∠DPH=∠FCH， ∵H是DF的中点， ∴DH=FH， 在△PDH和△CFH中 ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD=CF=1， ∴AP=AD-PD=1， ∴PE==， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴GH=EP=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （1）解方程： （2）计算：. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法转化，然后解两个一次方程即可； （2）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后把化简后合并即可． 本题考查了解一元二次方程，因式分解法，实数的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 或， 解得，． （2）解：原式 ． 17. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，_______m； （2）求h关于s的函数解析式． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性先求抛物线的对称轴，再根据对称轴求解； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此解答即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，时和时，相等， 抛物线关于对称， 又当时，， ∴ 时，， 故答案为：30． 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ， 解得：， ． 18. 如图，在四边形中，，． （1）用尺规作的角平分线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 证明：为的平分线， ， ∵ ， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定、角平分线的定义以及作图方法是解答本题的关键； （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，则，进而可得，则四边形为平行四边形，再根据，即可证出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 2023年4月，第三届中国国际消费品博览会暨全球消费论坛开幕式在海南国际会展中心举行，展馆内3000多件消费精品集中亮相，首发首秀新品大幅增加，其中山西展区分为Q．“酿造山西”、W．“品味山西”、R．“工艺山西”、X．“智造山西”四大板块．“智造山西”板块内一款“自动焊接机器人”的介绍引起大家的格外关注，随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟． （1）在山西展区的四个板块中，君君和娜娜两位同学计划各选一个板块进行了解参观，请用树状图或者列表来分析她们两人选到同一个板块的概率； （2）如图1，是展馆内一款自动焊接机器人，主要从事焊接、切割或热喷涂等工作．如图2，是该自动焊接机器人工作状态下的示意图，底座与地面垂直且可根据需要进行移动，，为机械臂，，，，，．求机械臂端点C离地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率和解直角三角形，解题关键熟练利用列举法求概率，构建直角三角形求解； （1）列出所有可能结果，再根据概率公式求解即可； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：画树状图如图： 一共有16种等可能结果，她们两人选到同一个板块的有4种，她们两人选到同一个板块的概率为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 机械臂端点到地面的距离约为． 20. 阅读与思考 如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务． 平面直角坐标系与直角三角形 x年×月ⅹ日星期三 原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论 口诀：“两线一圆” 作图：举例如下：已知，在直线上求点C，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论： 情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图①，有一个点； 情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图②，有一个点； 情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C．如图③，有，两个点； 方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似； 二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根； 三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点． 任务： （1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想 （2）选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标． （3）直接写出“情况二”中的坐标 ； （4）请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）． 【答案】（1） （2） （3） （4），，所依据的定理为：直径所对的圆周角是直角 【解析】 【分析】（1）根据题意可知运用了数形结合和分类讨论的思想； （2）设，利用勾股定理分别表示出，进而利用勾股定理建立方程求解即可； （3）（4）仿照（2）利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是数形结合和分类讨论的思想， 故选； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设， 同（2）得，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：设， 同（2）得，，， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 同理可得； ∵直径所对的圆周角是直角， ∴当点C在以为直径的圆上时，一定有， ∴所依据的定理为：直径所对的圆周角是直角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，利用两点距离公式建立方程求解是解题的关键． 21. 为促进乡村振兴发展，着力打造乡村旅游重点村，广西某旅游村在今年的国庆节假期间，接待游客达2万人次，预计后年的国庆节假期接待游客有望达到2.88万人次，该旅游村内一家特色粉店希望在国庆节假期间卖粉获得好的收益，经测算可知，该粉的成本价为每份10元，若每份卖15元，平均每天将销售128份，若价格每提高1元，则平均每天少销售8份，每天店内所需其他各种费用为232元． （1）求预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每份粉售价不得超过20元，当每份粉提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润总收入总成本其它各种费用） 【答案】（1）预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率为 （2）每份粉提高3元时，店家能实现每天净利润600元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． （1）今年“国庆”假期间接待游客达2万人次，预计后年的“国庆”假期接待游客2.88万人次，根据增长率的计算方法，即可求解； （2）成本价为每碗10元，若每碗卖15元，平均每天将销售128碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店内所需其他各种费用为232元，根据题意设当每碗面提高a元时，店家才能实现每天净利润600元，由此列出方程即可求解． 【小问1详解】 设年平均增长率为， 依题可得， 解得：（舍去）， 答：预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 设当每份粉提高元时，店家才能实现每天净利润600元， 依题可得：， 即，解得：， 当时，售价为，符合题意； 当时，售价为，不符题意，舍去． 答：每份粉提高3元时，店家能实现每天净利润600元． 22. 综合与实践 问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图①，四边形和四边形均为正方形，且点G在上，连接，，则与怎样的数量关系和位置关系． 猜想定论： （1）猜想题目中的问题：与的数量关系是 ，位置关系是 ； 探索验证： （2）如图②，将正方形以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得过点B（即点B在上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由； 拓展深入： （3）如图③，在图②的基础上，过点A作于点H，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），； （2）结论成立，理由如下： 延长，交的延长线于点H， ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∵, 即, ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）延长，交于点H，根据正方形的性质可得，，，从而，证得，，又，因此，进而，即； （2）结论成立．延长，交的延长线于点H，同（1）同理可证，因此，，又，可得，进而得到，因此． （3）根据勾股定理可得，根据面积公式可得，由（2）有，因此，，从而利用面积可求得的长． 【详解】（1）延长，交于点H， ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：，． （2）略 （3）， 理由∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵由（2）有， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 23. 综合与探究 如图所示，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2． （1）求二次函数及直线的表达式； （2）点S是线段上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段长度的最大值； （3）在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数解析式为；直线的表达式为 （2）线段长度的最大值是 （3）存在，的最大面积是，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点S的横坐标为m，线段长度为l，则，当，有最大值，求出即可； （3）过点P作y轴的平行线交直线于Q点，连接，，则点P的坐标为，点Q的坐标为，可得，当，S有最大值，求出结果即可； 本题主要考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：将点，分别代入二次函数得， 解得， 二次函数解析式为 当时，， 点； 设直线的表达式为，将点，分别代入得， 解得 直线的表达式为； 【小问2详解】 如图设点S的横坐标为m，线段长度为l， 则点S的坐标为，点T的坐标为， 当，有最大值，最大值是 线段长度的最大值是； 【小问3详解】 存在． 如图过点P作y轴的平行线交直线于Q点，连接，， 设点P的横坐标为t，的面积为S， 则点P的坐标为，点Q的坐标为， 当，S有最大值，最大值是 的最大面积是，此时点P的坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休市2024年第二学期九年级中考摸底考试 数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（ ）. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ） A. 对称 B. 平移 C. 旋转 D. 位似 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线和被直线、、所截，，，，则的长为（ ） A. 14 B. C. 15 D. 6. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 7. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的；下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”和“兔”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 9. 中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，是边上一点，且，连接．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线y＝（x+1）2+3的顶点坐标是 _____． 12. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为______． 13. 普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是_______m． 14. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温下降过程中，与的函数关系式满足______． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （1）解方程： （2）计算：. 17. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，_______m； （2）求h关于s的函数解析式． 18. 如图，在四边形中，，． （1）用尺规作的角平分线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 19. 2023年4月，第三届中国国际消费品博览会暨全球消费论坛开幕式在海南国际会展中心举行，展馆内3000多件消费精品集中亮相，首发首秀新品大幅增加，其中山西展区分为Q．“酿造山西”、W．“品味山西”、R．“工艺山西”、X．“智造山西”四大板块．“智造山西”板块内一款“自动焊接机器人”的介绍引起大家的格外关注，随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟． （1）在山西展区的四个板块中，君君和娜娜两位同学计划各选一个板块进行了解参观，请用树状图或者列表来分析她们两人选到同一个板块的概率； （2）如图1，是展馆内一款自动焊接机器人，主要从事焊接、切割或热喷涂等工作．如图2，是该自动焊接机器人工作状态下的示意图，底座与地面垂直且可根据需要进行移动，，为机械臂，，，，，．求机械臂端点C离地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. 阅读与思考 如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务． 平面直角坐标系与直角三角形 x年×月ⅹ日星期三 原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论 口诀：“两线一圆” 作图：举例如下：已知，在直线上求点C，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论： 情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图①，有一个点； 情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图②，有一个点； 情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C．如图③，有，两个点； 方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似； 二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根； 三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点． 任务： （1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想 （2）选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标． （3）直接写出“情况二”中的坐标 ； （4）请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）． 21. 为促进乡村振兴发展，着力打造乡村旅游重点村，广西某旅游村在今年的国庆节假期间，接待游客达2万人次，预计后年的国庆节假期接待游客有望达到2.88万人次，该旅游村内一家特色粉店希望在国庆节假期间卖粉获得好的收益，经测算可知，该粉的成本价为每份10元，若每份卖15元，平均每天将销售128份，若价格每提高1元，则平均每天少销售8份，每天店内所需其他各种费用为232元． （1）求预计该景区明、后两年国庆节假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每份粉售价不得超过20元，当每份粉提高多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润总收入总成本其它各种费用） 22. 综合与实践 问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图①，四边形和四边形均为正方形，且点G在上，连接，，则与怎样的数量关系和位置关系． 猜想定论： （1）猜想题目中的问题：与的数量关系是 ，位置关系是 ； 探索验证： （2）如图②，将正方形以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得过点B（即点B在上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由； 拓展深入： （3）如图③，在图②的基础上，过点A作于点H，若，，请直接写出线段的长度． 23. 综合与探究 如图所示，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2． （1）求二次函数及直线的表达式； （2）点S是线段上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段长度的最大值； （3）在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $