精品解析：2024学年上海市黄浦区三校联考3月自适应性练习数学试题

2024学年黄浦区三校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具． 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3.考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5.本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后． 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据“只有符号相反的两个数互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置． 【详解】解：因为a＞b且ac＜bc， 所以c＜0． 选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A． 选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负． 3. 甲、乙两位学生各进行5次一分钟跳绳训练，经统计两人的平均成绩相同，方差分别为，则成绩更为稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙成绩一样稳定 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵方差分别为，，， ∴， ∴成绩较为稳定的是乙． 故选：B． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4. 若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到且，进而得到满足条件的整数的值之和． 【详解】解：解不等式组：， 可得， 不等式组有且仅有四个整数解， ，， ， 解分式方程， 可得， 又分式方程有非负数解， ，且， 即，， 解得且， 且， 满足条件的整数的值为，，0，1，3， 满足条件的整数的值之和是1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键． 5. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①；②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①错误．证明即可判断．②正确．根于圆周角定理可得即可解决问题．③正确．推出是等边三角形，即可解决问题．④正确．利用全等三角形的性质证明，再利用三角形的中位线定理证明即可解决问题． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 根据题意无法确定和之间的大小关系， ∴无法确定和4之间的大小关系，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴＝＝， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形性质和判定，勾股定理，三角形的中位线等知识，熟记垂径定理，等边三角形性质和判定，勾股定理，三角形的中位线是关键． 6. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形直观得到面积之间的关系并用代数式表示出来是解答本题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系即可解答． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： 中间小正方形的边长，其面积为25， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，D选项所表示图形符合题意． 故选：D． 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须且． 故答案为x≥-1且x≠2 【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件． 9. 已知是关于x的一元一次方程，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义得出且，求出m的值，再将m的值代入求出答案即可． 【详解】解：由题意得：且， 且， ， ， 故答案为：． 10. 与是相反数，计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义得到，求出，得出，利用完全平方公式变形得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了相反数的应用，完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键． 11. 如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为_____m2． 【答案】1.8 【解析】 【分析】因为骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可． 【详解】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近， ∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的60%， ∴世界杯图案的面积约为：3×60%＝1.8m2， 故答案为1.8． 【点睛】本题考查频率，解题的关键是知道频率的意义. 12. 正多边形的外角和中心角差的值为自然数是_______（选填“真命题”或“假命题”） 【答案】真命题 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和中心角，根据外角和中心角概念求出角度，然后相减即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴正多边形的一个外角为，中心角为， ∴，是自然数， 则正多边形的外角和中心角差的值为自然数是真命题， 故答案为：真命题． 13. 在五个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4，5五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y．则在坐标平面内，点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用画树状图法，确定所有的等可能性，逐一验证满足直线的点的个数，套用概率计算公式计算即可． 【详解】画树状图如下： 一共有25种等可能性，x+y=5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种可能性， ∴点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的概率是， 故答案为： 【点睛】本题考查了画树状图计算概率，正确理解点与直线的关系，准确画树状图是解题的关键． 14. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据三角形法则以及平行四边形法则进行计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点， ， ， ， ∵， ∴ ， 故答案为： 15. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解∶设点， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∴CD=3a， ∵．轴， ∴BC∥y轴， ∴点B， ∴， ∵，四边形间面积为6， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 16. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是__________ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数(为常数，)的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即． 作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到． 【详解】解：如图：作轴，轴，与交于， 由直线可知点坐标为点坐标为， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点横坐标为，代入，则纵坐标是，则坐标是：，点坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∵双曲线过点两点， ， 故答案为：． 18. 如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合），连接，，．设与直径交于点．若，的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质等知识，由折叠性质知，设，则 ，， 设圆半径为r，易得可得，则由可求得结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由折叠性质知， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得：， ∴， 设圆半径为， ∵，， ∴， 即 ∵， ∴，， ∴由得：， 解得：（负值舍去）； ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 三.解答题（满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为1，2 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可． 【详解】解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是， ∴整数解为1，2． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 21. 有四张反面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是　 　． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1) ；(2)见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可． （2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可． 【详解】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种， 从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是； 故答案为； （2）游戏不公平，理由如下： 列表得： 共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即 ∴（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）， ∴游戏不公平． 修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： a … 004 4 400 4000 … … x 2 y 200 … （1）表格中的两个值分别为：x= ；y= ； （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ； ② ； （3）根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 ． 【答案】（1）0.2，20 （2）①0.1435；②14.35 （3）12.60 【解析】 【分析】（1）依据算术平方根的意义解答即可； （2）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （3）根据（2）中的规律进行类比解答即可； 【小问1详解】 由题意，， ，故； ， ，故． 综上，，； 【小问2详解】 由题意得，被开方数扩大或缩小倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则算术平方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ，； 【小问3详解】 类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题． 23. 已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． (1)先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． (2)先，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 【小问2详解】 ∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵点是边的中点， ∴． ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【小问1详解】 解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图： 在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； 【小问3详解】 直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 25. 如图，为的直径，点C为下方的一动点，连结，过点O作交于点D，过点C作的垂线，垂足为F，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）设，．求：y关于x的函数表达式并写出其定义域； （3）若的面积是的面积的3倍，的正弦值与的正切值相等，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明． （2）连接．首先证明，再证明，推出，令，则，推出，根据计算即可． （2）作于．设，利用相似三角形的性质求出（用表示）即可解决问题． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接． ， ， ， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， 令，则， ， ； 【小问3详解】 解：作于．设， ∵面积是的面积的3倍， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年黄浦区三校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具． 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3.考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5.本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后． 一.选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A B. C. D. 3. 甲、乙两位学生各进行5次一分钟跳绳训练，经统计两人的平均成绩相同，方差分别为，则成绩更为稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙成绩一样稳定 D. 无法确定 4. 若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. －3 5. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①；②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②④ 6. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 分解因式：______． 8. 函数中，自变量x取值范围是_______． 9. 已知是关于x的一元一次方程，则_______． 10. 与是相反数，计算______． 11. 如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为_____m2． 12. 正多边形的外角和中心角差的值为自然数是_______（选填“真命题”或“假命题”） 13. 在五个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4，5五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y．则在坐标平面内，点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的概率是_____． 14. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则___________ 15. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为_______． 16. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为_______． 17. 如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是__________ 18. 如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合），连接，，．设与直径交于点．若，的值等于________． 三.解答题（满分78分） 19 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 21. 有四张反面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是　 　． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平． 22. 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： a … 004 4 400 4000 … … x 2 y 200 … （1）表格中的两个值分别为：x= ；y= ； （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ； ② ； （3）根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 ． 23. 已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； （3）在（2）条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25. 如图，为的直径，点C为下方的一动点，连结，过点O作交于点D，过点C作的垂线，垂足为F，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）设，．求：y关于x的函数表达式并写出其定义域； （3）若的面积是的面积的3倍，的正弦值与的正切值相等，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$