湖北省十堰市郧阳区第一中学2023-2024学年5月月考数学试题

湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023~2024学年数学5月考考试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 .已知集合A={x∈N|x≤5}, 集合 则A∩B= ( ) A . {2} B . {0,1,3,4,5} C . {0,4,5} D . {4,5} 2 .已知复数 则|z|= ( ) B C D 3. 设数列{ an}的前n项和为 Sn，给出以下两个命题：①若数列{ }是公差不为 0 的等差数列，则对于任意不小于 2 的正整数 k， 是 的必要非充分条件；②若数列{ an}是等比数列，则对于任意不小于2的正整数k， 是 的充要条件； 下列判断正确的是( ). A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 4 .已知 则sin= ( ) 5.若函数 在[1，4]上单调递增，则实数a的取值范围为 ( ) A . (-∞,-1] B . (-∞,-1) 6 .函数 的部分图象大致为 ( ). 7.已知圆锥的顶点为s，母线SA，SB 所成角的余弦值 ，且该圆锥的母线是底面半径 ₂倍, 若△SA的面积为 则该圆锥的表面积为 ( ) 8 . 已知双曲线 的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作直线与双曲线c 的左、右两支分别交于A ，B两点.若 且 则双曲线c 的离心率为 ( ) A.3 B C D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 . 下列说法中, 正确的是 ( ) A . 数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32 B.已知随机变量服从正态分布N(2,1 ), P(ξ<4)=0.84;则.P(2<ξ<4)=0.34 C . 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 若 则a=1 D . 若样本数据x₁, x₂,…,x₁。的方差为2, 则数据 的方差4 10.已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,外接圆半径为R.若a =1,且 sin A —sin B =(c +b)sin C ,则 B. △ABC 面积的最大值为 D. BC 边上的高的最大值为 11 . 设函数 则 ( ) A . 当a>1时, f(x)有三个零点 B.当a<0时, x=0是 f(x)的极大值点 C .存在 a, b, 使得x=b为曲线y= f(x)的对称轴 D .存在 a, 使得点(1, f(1))为曲线 y= f(x) 的对称中心 在(1，十∞)上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.数列 {} 满足 若a₁=1,a₄=4,则数列{}的前20项的和为 . 13.在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AB=4,AA₁═6,M,N分别是AB,AD 的中点,则平面 MNC₁ 截该四棱柱所得截面的周长为 . 14.已知抛物线 与圆 相交于四个不同的点 A ,B ,C , D ,则r的取值范围为 ，四边形ABCD 面积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业2019年至2023年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图.其中2019年至 2023年对应的年份代码依次为1,2,3,4,5. (1)根据散点图判断,y=a+ bx和 哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的回归方程； (3)根据(2)的结果，估计2024年的企业利润. 数据： 16.(本小题满分15 分) 如图,在三棱台ABC—DEF中,平面ABC⊥平面BCFE ,AF⊥DE ,∠ABC=∠CBF=45°,AC >AB=1. (1)求三棱台ABC—DEF 的高; (2)若直线 AC 与平面ABF 所成角的正弦值为 求 BC . 17.(本小题满分15分) 已知函数 其中a>0且a≠1. (1)若f(x)是偶函数,求a的值; (2)若x>0时,f(x)>0,求a的取值范围. 18.(本小题满分 17 分) 已知点A(1,ₓ²)在椭圆 上，A到E 的两焦点的距离之和为 (1)求 E 的方程; (2)过抛物线C 上一动点 P ，作E 的两条切线分别交C于另外两点Q ,R . (i)当P 为C 的顶点时，求直线 QR 在y 轴上的截距(结果用含有 m 的式子表示)； ( ii)是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切.若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 19.(本小题满分 17分) 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域. 设y,q ∈R,n∈N’ ,记 ，并规定[0]! =1.记F(x,n)=(x+y);=(x+y)(x+ q)…(x+q"⁻¹y) ,并规定F(x,0)=(x+y);=1. 定义 (1)若y=q=1,求 F(x,2)和 D₂F(x,2) (2)求 (3)证明: 湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023~2024学年数学5月考考试题数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 l 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A A A B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC AD CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分。 12. 210 13. 1 14. 四、解答题：本题共5 小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 【解析】 适宜作为企业利润y (单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型. (2) 由题意得: 所以， (3) 令 估计2024年的企业利润为99.25 亿元.另解(此种解法酌情给分)： (1) y=a+ bx适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型. (2) 由题意得: 所以， (3) 令 x=6, y=62.7+5.1×6=93.3, 估计2024年的企业利润为93.3亿元. 16. 【解析】 解: (1) 作FO⊥BC于点O, 因为平面ABC⊥平面BCFE, 所以FO⊥平面ABC,FO 即为三棱台 ABCDEF的高. 又因为AB⊂平面ABC,所以FO⊥AB.连接AO, 因为AB∥DE, AF⊥DE, 所以AB⊥AF, FO∩AF=F ,所以 AB⊥平面AFO, 又AO⊂平面AFO,所以AB⊥AO .∠ABC=∠CBF=45°, AB=1. 所以 AO=1,BO=FO 所以三棱台ABCDEF的高为. (2)以O为原点, 在面ABC内, 作OG⊥BC , 以OG,OB,OF 所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O- x， 则 设平面ABF的法向量为 则 可取 - 2 设 则 设直线AC与平面ABF所成角为α， 化简得 解得 或 (舍去, 因为AC>AB,所以λ>1),所以 17. 【解析】 (1) 由题意, f(-1)=f(1), 即 解得， 或a=-2(舍)又经检验, 时, f(x)是偶函数.所以，a的值 (2) 当 时， 成立； 当 且a≠1时, 又 已证，故此时符合题意； 当 时， 易知, 此时f'(x)在R上单调递增, 且f'(0)= n(2a)<0. 故存在x₀>0, 使得当x∈(0,x₀)时, f'(x)<0, 从而f(x)单调递减, 所以，存在 使得 故此时不合题意. 综上所述， 且a≠1. 18. 【解析】 (1) 由题意 得 又.A(1,-½).在E上，得 从而b=1. 故E的方程为 (2) (i) 当P为C的顶点时, P(0,-m), 不妨设R在第一象限，直线PR的方程为y= kₓ-m， 联立E的方程为 可得 由 可得 联立直线PR的方程y= kₓ-m与抛物线(C 的方程可得x=k， 则R点的纵坐标为 由对称性知 故直线QR在y轴上的截距为 要使 (2) 中的直线QR与E相切, 必有 即 解得m=3或-l (舍去) . 设 P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),R(x₃,y₃),则 直线PQ的方程为 即 联立椭圆方程 可得 由 可得 即 同理可得 因 为 直 线 同 时 经 过 点 QR , 所以 QR 的 直 线 方 程 为 联立椭圆方程 可得 于是 故直线QR与椭圆相切，因此m=3符合题意. 19. 【解析】 (1) 若 ,而 (2) 当k=0时, 当k≠0时, 由 可得 (3) 要证 只需证 令 一方面， 另一方面， 当q≠1且x≠0时, 由于( 比较两式中y*的系数可得. 则 由 可知 当q=1时, 由| 此时命题也成立. 当x=0时, 也成立. 综上所述， 0 学科网（北京）股份有限公司 $$