湖南省岳阳市汨罗市2023-2024学年九年级上学期能力检测数学试卷（12月份）

2023-2024学年湖南省岳阳市汨罗市九年级（上）能力检测数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在直角三角形ABC中，若，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2.同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，过点A作于点D，若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为(    ) A. 2 B. C. D. 4 4.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则(    ) A. B. C. 4 D. 5.如图，将长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点D，E恰好重合于点记面积为，面积为，且，则的值为(    ) A. 1：2 B. 5：7 C. 3：7 D. 2：5 6.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示水深h越深，压力F越大，电源电压保持6V不变，当电路中的电流为时，报警器电阻不计开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示参考公式，，，则下列说法中不正确的是(    ) A. 当水箱未装水时，压强p为0kPa B. 当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C. 当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是 D. 若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 7.如图，菱形ABCD的边长为6cm，，点E为BC的中点，动点P以的速度沿运动，动点Q以的速度沿运动，点P、Q分别从A、B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为xs，的面积为，则y与x之间的关系用图象大致可表示为(    ) A. B. C. D. 8.小辰同学利用图“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理.激光笔从左边点C处发出光线，经平面镜点O处反射后，落在右边光屏BE上的点D处、C两点均在量角器的边缘上，O为量角器的中心，A、O、B三点共线，，他在实验中记录了以下数据：①水平距离AB的长为96cm；②铅垂高度AC的长为48cm；如果小辰想使反射点D沿DB方向下降35cm，求此时点A沿OA方向移动的距离为(    ) A. 48cm B. 36cm C. 24cm D. 12cm 二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有(    ) A. 已知线段a、b、c、d成比例且线段，，，则 B. 若A，B两地在地图上的距离为7cm，地图的比例尺为1：5000，则A，B两地的实际距离为35m C. 若线段，C是AB的黄金分割点，且，则 D. 已知，且，则 10.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 一元二次方程没有实数根 11.如图，在平行四边形ABCD中，，按照图中痕迹进行作图，直线BG与直线HI交于边AD上一点K，且K为边AD的中点，则下列结论正确的为(    ) A. B. C. D. 12.小明同学在数学实践活动作出一道图形：如图，是边长为3的等边三角形，延长FE至A，使得，连接AB，将绕点A顺时针旋转得到线段AD，连接ED，连接DF，过B作，与DF延长线交于点下列探究结论正确的是(    ) A. 四边形ABCD是平行四边形 B. 四边形ABCD的面积为 C. 连接EC，EC长 D. 如果P为DC上一动点，当值取最小时， 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.在整理有理数的数据5，5，3，□，3，4时，□处的看不清，但从扇形统计图的答案上发现数据5的圆心角是，则数据3所对应的扇形的圆心角的度数为______. 14.若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为______. 15.如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是______. 16.书籍开本指书刊幅面的规格大小.如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸、16开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16开本，有些图书是32开本，16开的纸和32开的纸的相似比是______. 四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 已知方程的两根是、 求的值； 求的值. 18.本小题8分 在“迎新年，庆元旦”期间，某商场推出A、B、C、D四种不同类型礼盒共1000盒进行销售，在图1中是各类型礼盒所占数的百分比，已知四类礼盒一共已经销售了，各类礼盒的销售数量如图2： 商场推出的C类礼盒有盒； 在扇形统计图中，C部分所对应的圆心角等于度； 请将条形统计图补充完整； 你觉得哪一类礼盒销售最慢，请说明理由. 19.本小题8分 如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于，B两点，与y轴相交于点 求n，k的值； 连接OB，在位于直线AB下方的双曲线上找一点D，使得的面积为的面积的3倍，求点D的坐标. 20.本小题8分 正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要斤汤圆馅和斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉每天只能生产其中一种 若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ 为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 21.本小题10分 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合标记为点当时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由. 数学思考：请你解答老师提出的问题； 深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题. ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M，BM与AC交于点试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果. 22.本小题10分 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点 求直线AB的函数表达式及点C的坐标； 点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为 ①当时，求m的值； ②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：①当AC为直角边时， ， ， ； ②当AC为斜边时， ， ， 综上：或； 故选： 根据余弦值的定义邻边比斜边，分AC为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 本题考查求角的余弦值，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 2.【答案】B  【解析】【分析】 根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【解答】 解：反应的化学方程式为：， 与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， 反应生成的概率为， 故选： 3.【答案】A  【解析】解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，F分别为AB、BC的中点， 是的中位线， 故选： 由等腰直角三角形的性质求出，由锐角的正弦求出，由三角形中位线定理求出 本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，关键是由等腰直角三角形的性质求出AD的长，由锐角的正弦求出AC的长． 4.【答案】A  【解析】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b， 由题意可得：，，， 解得，，， ， 故选： 根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出的值． 本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长． 5.【答案】D  【解析】解：如图，过点A作于P，过点M作于点Q， ， ， ∽， ， ， 设，则， 由折叠可知，，，，，， ， 四边形CDEF是矩形， ，， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ：5， 故选： 过点A作于P，过点M作于点Q，则∽，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可． 此题考查了折叠的性质、矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：A、由图3可知，水箱未装水时，压强p为0kPa， 故A正确，不符合题意； B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：， 比时压敏电阻的阻值：，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N， 故B不正确，符合题意； C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为， 则水箱的深度为， 故C正确，不符合题意； D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：， 此时压敏电阻受到的压力：， 由图2可知此时压敏电阻的阻值为， 由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q， 根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值： 故D正确，不符合题意． 故选： 由图3可以直接判断A；根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据计算压敏电阻受到的压力即可判断B；，根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C；根据液体压强公式计算水深为1m时压敏电阻受到的压强，根据计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值． 本题考查了反比例函数，关键串联电路特点、欧姆定律、液体压强公式、压强定义公式的灵活运用． 7.【答案】B  【解析】解：菱形ABCD的边长为6cm，，点E为BC的中点， ，， 当P在AB上运动时，即， 此时，，， 的面积为， 当P在BE是运动时，即， ， 的面积为， 故答案为： 菱形ABCD的边长为6cm，，点E为BC的中点，得，，分两种情况讨论，分别求出解析式即可判断出答案． 本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 8.【答案】D  【解析】解：，， ， 设， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， 由题意得：， ∽， ， ， 解得：， 小辰想使反射点D沿DB方向下降35cm，如图： 由题意得：，， ， 在中，， ， 由题意得：，， ∽， ， ， ， ， 此时点A沿OA方向移动的距离为12cm， 故选： 根据垂直定义可得：，再设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，，再根据题意可得：，从而可得∽，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据题意可得：，，从而可得，再在中，利用勾股定理可得：，再题意得：，，从而可得∽，进而利用相似三角形的性质可得，再利用线段的和差关系可得，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握勾股定理，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9.【答案】AC  【解析】解：A、线段a、b、c、d成比例， ， ， 解得：， 故A符合题意； B、，B两地在地图上的距离为7cm，地图的比例尺为1：5000， ，B两地的实际距离， 故B不符合题意； C、线段，C是AB的黄金分割点，且， ， 故C符合题意； D、设， ，，， ， ， 解得：， ， 故D不符合题意； 故选： 根据黄金分割，比例尺，比例的性质，合并同类项进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了黄金分割，比例尺，比例的性质，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10.【答案】ABC  【解析】解：对称轴为，且，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间， 当，，且，开口向下， A.当时，，故A正确，符合题意； B.， ， ， ，故B正确，符合题意； C.顶点坐标为， ， ，故C正确，符合题意； D.当时，抛物线与有两个交点， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根，故D错误，不符合题意． 故选： 由题意可知：对称轴为，且，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出正确答案． 本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及a，与0的大小关系，本题属于中等题型． 11.【答案】ABCD  【解析】解：根据作图可知，BK平分，HI垂直平分线段CD， 在平行四边形ABCD中，，， ， 平分， ， ， ， 垂直平分线段CD， ， 是AD的中点， ， ， 是等边三角形， ， 故A选项符合题意； ， ， 故B选项符合题意； 过点J作，交BC的延长线于点M，如图所示： ， ， 是CD的中点，， ， ， 根据勾股定理，得， ， ， 故C选项符合题意； 是AD的中点， ， 是CD的中点， ， ， 故D选项符合题意， 故选： 根据作图可知BK平分，HI垂直平分线段CD，根据平行四边形的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据K是AD的中点，易证是等边三角形，可判断①选项；根据，可判断②选项；过点J作，交BC的延长线于点M，根据含角的直角三角形的性质可得JM和BM的长，可判断③选项；根据K是AD的中点，可得，根据J是CD的中点，可得，即可判断④选项． 本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等，本题综合性较强，难度较大． 12.【答案】ABD  【解析】解：是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中， ， 即， 将绕点A顺时针旋转得到线段AD， ，， ，， ∽， ， ， ，， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， 故A选项正确． ， ， ， 四边形ABCD的面积为 故B选项正确． 如图，连接CE，过点E作于点G， ，，， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， 中， 故C选项错误． 如图，过点B关于DC的对称点连接，交DC于点P，连接BP，则 当值取最小时，最小值为， ， ∽ ，， ， ，， ， ， 故D选项正确． 故选： 根据题意求出AB，AF的关系，再根据旋转得出∽，再根据勾股定理，证明ABCD为平行四边形，再连接CE，过点E作于点G，ABCD为平行四边形，根据勾股定理求出EC，过点B关于DC的对称点连接，交DC于点P，连接BP，则所以当值取最小时，最小值为， 本题主要考查了旋转的性质，解题关键在于根据题意进行推理，掌握旋转的性质． 13.【答案】  【解析】解：扇形统计图的答案上发现数据5的圆心角是， 所占的百分比为， 又共有6个数据， 有3个数据， □处的数据是5； 数据3所对应的扇形的圆心角的度数为； 故答案为： 根据扇形统计图的答案上发现数据5的圆心角是，得出5应该有3个数据，从而得出答案． 本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与比． 14.【答案】13  【解析】解：解不等式组， 得：， 原不等式组的解集为：， ， ， 解分式方程， 得， 且， 且， 且， ，且， 符合条件的整数a有：，0，2，3，4，5， 故答案为： 先通过不等式组的解确定a的范围，再根据分式方程的解求a值即可得出答案． 本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由题意，得：，； 设的两根分别是m、；则，； ； 根据三角形三边关系定理，得： ，即； ，解得 根据原方程可得出：①，②；根据根与系数的关系，可求出②方程的和的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围． 此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理． 16.【答案】：1  【解析】解：如图，设矩形ABCD的长，宽，则 矩形DMNC与矩形ABCD相似， ， 即， ：：1， 这些相似的矩形的长与宽的比值是： 故答案为：： 设矩形ABCD的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键． 17.【答案】解：由韦达定理得，， ； ， ， 由韦达定理得，， 这说明，同为负数，   【解析】根据方程的两根为、，根据韦达定理，，，即可得答案； 把化简后即可求值． 本题考查了根与系数的关系及二次根式的化简求值，难度一般，关键是根据韦达定理求出，，再化简所求二次根式． 18.【答案】解：盒， 故答案为：200； ， 故答案为：72； 盒，补全条形统计图如图所示： ， 类  理由：  【解析】求出C类礼盒所占的百分比即可计算其数量； 类礼盒相应圆心角的度数为乘以所占的百分比即可； 求出销售的C类礼盒的数量，即可补全条形统计图； 比较四类礼盒销售的数量即可得出答案． 本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键． 19.【答案】解：把代入，得， 双曲线经过点， ； 如图1，过点D作轴，交直线于E， 设，则， ， ， ， 解得：，， 点D的坐标为或；  【解析】将点坐标代入直线解析式求出n，得到A点坐标后再代入反比例函数解析式求出k值即可； 过点D作轴，交直线于E，设，则，所以，根据，列出方程解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 20.【答案】解：设总共生产了a袋手工汤圆， 依题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了9000袋手工汤圆； 设促销时每袋应降价x元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得，， 整理得：， ， 方程无解， 天不能全部卖完， 第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润：， 依题意得，， 解得， 要促销， ， 即促销时每袋应降价3元．  【解析】设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； 设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 21.【答案】解：结论：四边形BCGE为正方形．理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形BCGE为矩形． ≌， 矩形BCGE为正方形； ①结论： 理由：， ， ， ， ，即， ， ， 由得， ②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作于G， ≌， ，，，， ， ， ， ， ， 点G是BD的中点， 由勾股定理得， ， ， ，即， ， ，，， ∽， ， ，即AH的长为  【解析】先证明四边形BCGE是矩形，再由可得，从而得四边形BCGE是正方形； ①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论； ②设AB，DE的交点为M，过M作于G，则易得，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 22.【答案】解：由得，当时，， 解得，， 点A在x轴正半轴上． 点A的坐标为 设直线AB的函数表达式为 将A，B两点的坐标，分别代入， 得， 解得， 直线AB的函数表达式为 将代入，得 点C的坐标为； ①解：点P在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为 点P，D的坐标分别为，， ，， 点C的坐标为， ， 如图1，当点P在直线AB上方时，， ， ， 解得 如图2，当点P在直线AB下方时，， ， ， 解得， ，“ 综上所述，m的值为2或3或； ②解：如图3， 由得，，， 轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为， ， 点P在直线AB上方， 轴于点E， ， ，， ∽， ， ， ， ， 四边形FQED为平行四边形， 轴， 四边形FQED为矩形． ，即， ，， 当时，S的最大值为；  【解析】利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可； ①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明∽，推出，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$