广东省佛山市南海区大沥镇2023-2024学年九年级上学期素养监测数学试卷

2023-2024学年广东省佛山市南海区大沥镇九年级（上）素养监测数学试卷 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的三边长a，b，c满足，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 2.如图，中，，BD平分，CD平分，过点D的直线分别于边AB、AC相交于点M、N，若，，，则MN的长为(    ) A. 3 B. C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点…依次进行下去，则点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 4.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”.在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且，AE平分，连接DF，分别交AE，AC于点G，是线段AG上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接有下列四个结论： ①AE垂直平分DM； ②的最小值为； ③； ④ 其中正确的是(    ) A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。 6.不等式组：的解集是______. 7.某学校举行迎新篝火晚会，55名新生随机围坐在篝火四周，其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为______. 8.若关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是______. 9.矩形纸片ABCD，，，在矩形边上有一点P，且将矩形纸片折叠，使点C与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为______. 10.如图，在中，，，点D在边BC上.将沿AD折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为______. 11.如图，A、B两点是反比例函数与一次函数的交点，点C在反比例函数上，连接OC，过点A作轴交OC于点D，连接若，，则______. 三、解答题：本题共3小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题15分 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图切割、拼接等板材损耗忽略不计. 设制作A种木盒x个，则制作B种木盒______个； 若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材______张； 该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； 包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元.根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元.在的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润. 13.本小题17分 综合与实践： 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动. 阳光小组准备了两张矩形纸片ABCD和EFGH，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在AB，AD边上时，点F，H恰好为边AB，AD的中点.然后将矩形纸片EFGH绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接BF与 观察发现：如图2，当时，小组成员发现BF与DH存在一定的关系，其数量关系是______；位置关系是______. 探索猜想：如图3，当时，中发现的结论是否仍然成立？请说明理由. 拓展延伸：在矩形EFGH旋转过程中，当C，A，F三点共线时，请直接写出线段DH的长. 14.本小题17分 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的顶点为直线l过点，且平行于x轴，与抛物线交于A、B两点在A的右侧将抛物线沿直线l翻折得到抛物线，抛物线交y轴于点C，顶点为 当时，求点D的坐标； 连接BC、CD、DB，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； 在的条件下，若的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意得， 解得， ，且， 为等腰直角三角形，   故选： 由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 的关系，可推导得到为直角三角形． 本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 2.【答案】B  【解析】解：连接AD， 平分，CD平分， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ∽， ， ，，， ， 负值舍去， 故选： 过点D作AB、BC、CA的垂线，先证明，然后证明∽，根据相似三角形的性质解答即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 3.【答案】C  【解析】解：依题意得：点与的横坐标相同，与的纵坐标相同， ， 对于，当时，， 点， 对于，当时，， 点， 同理可得：，，，，，…， 观察这些点的坐标可得出：的横坐标为， ， 点的横坐标为 故选： 根据题意可得点与的横坐标相同，与的纵坐标相同，再根据可求出，，，，，，，…，通过观察这些点的坐标可得出的横坐标为，然后根据可得出答案． 此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，解决问题的关键是通过计算得出点，，，，，，，，…的坐标，然后观察、分析、归纳总结出规律，再根据总结出的规律来解决问题，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化． 4.【答案】D  【解析】解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得， 把代入得，代入得， ，解得； 把代入得，代入得， ，解得， 综上，c的取值范围为： 故选： 由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：①四边形ABCD是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， 又， 垂直平分DM， 故①正确； ②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM， 四边形ABCD是正方形， ， 即， 垂直平分DM， ， 当点P与点H重合时，的值最小，此时，即的最小值是DO的长， 正方形ABCD的边长为4， ， ， 即的最小值为， 故②错误； ③垂直平分DM， ， ， ， 又， ∽， ， 即， 由①知， ， 故③正确； ④垂直平分DM， ， 又， ， 故④错误； 综上，正确的是：①③， 故选： ①先根据正方形的性质证得和全等，再利用ASA证得和全等，即可得出AE垂直平分DM； ②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，的值最小，即的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出，即的最小值； ③先证∽，再根据相似三角形的性质及，即可判断； ④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：， 由①得，， ， ， ； 由②得，， ， ， ， ， 故不等式组的解集为 故答案为： 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 此题主要考查了一元一次不等式解集的求法，熟知同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：小张做好后，小李有54个位置可坐，其中小李坐在小张的左右两边时他俩坐在一起， 所以他俩坐在一起的概率为 故答案为： 根据概率公式直接计算即可． 本题考查等可能事件的概率，掌握概率公式是解题的关键． 8.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分，两种情况讨论求解． 分，两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围． 【解答】 解：当时， 当时，可得，，符合题意； 当时，可得，，不符合题意； 当时，， ， ， 关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ，解得， ，解得 综上可得，实数m的取值范围是或 故答案为：或 9.【答案】或  【解析】解：如图1，当点P在AD上时， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ， 垂直平分PC， ，点E与点D重合， 是等腰直角三角形， ； 如图2，当点P在AB上时， 过E作于Q， ，， ， ， 垂直平分PC， ， ， ∽， ，即， 解得： 综上所述：EF长为或； 故答案为：或 当点P在AD上时，由折叠的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结果；当点P在AB上时，过E作于Q，根据勾股定理得到PC的长，推出∽，列比例式即可得到结果． 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：，， ， 由折叠的性质可知， ， 当A、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为， 故答案为 由折叠性质可知，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：联立方程， 解得，， 点A坐标为，点B坐标为， ，B关于原点对称， 为AB中点， 又， 点D在线段AB的垂直平分线上， ， 又轴， ， ， 作轴于点E， ，点D横坐标为， 点C横坐标为， ， ， 点C坐标为， ， 故答案为： 先联立方程求出点A坐标，由得，由得点C坐标，再通过求出点C坐标而求解． 本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，掌握相似三角形的性质及解直角三角形的方法． 12.【答案】解：，； 使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为10cm、宽为20cm的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为20cm的木板个，需要长为10cm、宽为20cm的木板个； 故， 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板材150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板材150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为元； 两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， ， 解得：， 设利润为w元，则， 整理得：， ， 随a的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为元， 则此时B种木盒的销售单价定为元， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．  【解析】解：要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； 有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，； 见答案； 见答案． 根据题意即可求解； 根据题意可得，制作一个 A种木盒需要长、宽均为20cm的木板5x个，制作一个 B种木盒需要长、宽均为20cm的木板个，长为10cm、宽为20cm的木板个；甲种方式可切割长、宽均为20cm的木板4y个，乙种方式可切割长为10cm、宽为20cm的木板个；列关系式求解即可； 先根据中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键． 13.【答案】    【解析】解：观察发现：如图2，当时，BF与DH的数量关系是；位置关系是，理由如下： 点F，H恰好为边AB，AD的中点， ，， ， 四边形ABCD和EFGH是矩形，，， ， ∽， ，， ， ， ， 当时，BF与DH的数量关系是；位置关系是， 故答案为：；； 探索猜想：如图3，设AB与DH交于点R， 当时，中发现的结论仍然成立，理由如下： 由可知：， ，， ， ∽， ，， ，， ， ； 拓展延伸：在矩形EFGH旋转过程中，当C，A，F三点共线时，如图4，图5两种情况： 如图4，F在CA延长线上，连接HF，延长DA交HF于点M， ，A，F三点共线， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图5，F在AC上，过点H作于点Q， ， ， ， ， 线段DH的长为或 观察发现：证明∽，可得，，然后利用角的和差即可解决问题； 探索猜想：证明∽，可得，，然后利用角的和差即可解决问题； 拓展延伸：在矩形EFGH旋转过程中，当C，A，F三点共线时，分两种情况画图，结合的方法即可解决问题． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题， 14.【答案】解：， 抛物线的顶点坐标， ，点P和点D关于直线对称， 点D的坐标为； 抛物线的顶点与的顶点D关于直线对称， ，抛物线：， 当时，， ①当时，如图1，过D作轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 直线轴， ， ，， ， ， ， 点B在的图象上， ， 或， 当时，得，，此时，点B和点C重合，舍去，当时，符合题意； 将代入：得：， ②当，如图2，过B作交ND的延长线于T， 同理，， ， ， ， ， ， 当B在的图象上， ， 解得或， ， ，此时，，符合题意； 将代入：得，：， ③易知，当，此种情况不存在； 综上所述，所对应的函数表达式为或； 由知，当时，， 此时，的面积为1，不合题意舍去， 当时，，此时，的面积为3，符合题意， 由题意得，，取EF的中点Q， 在中可求得，在中可求得， 当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为  【解析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．解题的关键是理解对称的性质，直角三角形的不同情况分析，综合应用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$