广东省深圳市南山实验学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

2023-2024学年广东省深圳市南山实验学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列图形是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为(    ) A. 4，5 B. 5，4 C. 4，4 D. 5，5 5.下列命题中，真命题是(    ) A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 6.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，与位似，点O为位似中心．已知OA：：3，则与的面积比为(    ) A. 1：3 B. 2：3 C. 4：5 D. 1：9 8.如图，内接于，是边BC的中点，连接OE并延长，交于点D，连接BD，则的大小为(    ) A. B. C. D. 9.如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤正确的有(    ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10.如图，正方形ABCD中，，点E是BA延长线上的一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且，连接CM、ND，过点M作与的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论：①；②；③；④；⑤正确的有个．(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.把多项式分解因式，结果是______. 12.一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______结果保留 13.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知，则线段EG的长度为______. 14.如图，点A，B，C为正方形网格中的3个格点，则______. 15.如图，在菱形ABCD中，，，M为对角线BD上一点不与点B、D重合，过点，使得，连接CM、AM、BN、AN，则的最小值是______. 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.计算：； 先化简，再求值：，其中 四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： 本次抽样测试的学生人数是______名； 扇形统计图中表示A级的扇形圆心角的度数是______，并把条形统计图补充完整； 该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为______； 某班有4名优秀的同学分别记为E、F、G、H，其中E为小明，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 18.本小题6分 如图，直线与反比例函数相交于 连接OA、OB，求的面积； 根据中的图象信息，请直接写出不等式的解集. 19.本小题7分 某服装店用4000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题： 求购进的第一批文化衫的件数； 为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？ 20.本小题9分 如图1，正方形ABCD和正方形其中，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系______，位置关系______； 如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，，，，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转，连接AG，CE交于点H，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由； 矩形ABCD和矩形DEFG，，，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转，直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长． 21.本小题9分 如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的交y轴于C，D两点，C为的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为， 求的半径； 动点P在的圆周上运动。连接EP，交AB于点 ①如图1，当EP平分时，求的值； ②如图2，过点D作的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由． 22.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 求抛物线的函数表达式； 如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记的面积为，的面积为，求的最大值； 如图2，连接AC，BC，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使∽若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案． 【解答】 解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，不是同类项，不能合并，故此选项错误； 故选： 2.【答案】A  【解析】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 3.【答案】B  【解析】【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．一个大于10的数用科学记数法可表示为的形式，其中，n为正整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同． 【解答】 解：将21500000用科学记数法表示为， 故选： 4.【答案】A  【解析】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5， 这组数据的中位数为4；众数为 故选： 根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义． 5.【答案】C  【解析】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题． B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题． C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题． D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题． 故选： 根据菱形的判定，正方形的判定一一判断即可． 本题考查命题与定理，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6.【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法.根据题意可得等量关系：2017年的快递业务收入增长率年的快递业务收入，根据等量关系列出方程即可． 【解答】 解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得： 7.【答案】D  【解析】解：与位似， ∽，， ∽， ：：：3， 与的面积比为1：9， 故选： 根据位似图形的概念得到，进而得到∽，根据相似三角形的性质解答即可． 本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】【分析】 连接CD，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 【解答】解：连接CD， ， ， 是边BC的中点， ， ， ， 故选： 9.【答案】B  【解析】解：由抛物线的开口向下可得：， 根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：， ，故①错误； 抛物线与x轴有两个交点， ，故②正确； 直线是抛物线的对称轴，所以，可得， 由图象可知，当时，，即， ， 即，故③正确； 由图象可知，当时，；当时，， 两式相加得，，故④正确； 当时，函数取得最大值，即为最大， 故， 即，故⑤正确； 结论正确的是②③④⑤，共4个， 故选： 根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题． 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 10.【答案】C  【解析】解：如图，设DN交CM于O，在BC上截取BK，使得，连接MK，作于 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ≌， ，， ， ， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ≌， ， ， ， ，故结论②正确； ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故结论④正确； ，， ∽， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ，故结论③正确； 在中，， ， ， ，故结论⑤错误； 综上所述，正确结论有①②③④共4个． 故选： 设DN交CM于O，在BC上截取BK，使得，连接MK，作于 ①正确．可以证明≌，利用全等三角形的性质解决问题即可． ②正确．可以证明≌，推出是等腰直角三角形即可． ③正确．解直角三角形求出AG，DG，通过计算证明即可． ④正确．求出MT，FH，利用三角形的面积公式计算即可． ⑤错误．利用勾股定理求出MH，即可求得，可判断结论⑤． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可． 此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 12.【答案】  【解析】解：， 故答案为 利用扇形的面积公式计算即可． 本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积是扇形的半径，l是扇形的弧长 13.【答案】  【解析】解：如图所示： 由题意可得：，，， 则，故， ， ， ， ， 四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF， ， ， ， 故答案为： 直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出，再利用平行线的性质得出，进而得出答案． 此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出是解题关键． 14.【答案】2  【解析】解：如图，连接格点B、 ，， 在中，， 故答案为： 连接格点B、利用勾股定理先计算BC、AB、CD、AD的长，根据等腰三角形的性质，再判定是直角三角形，最后根据直角三角形的边角间关系求出的正切值． 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及解直角三角形，根据题目特点构造直角三角形是解决本题的关键． 15.【答案】6  【解析】解：如图2， 四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ， 连接CN并延长交AB的延长线于P， ，， 四边形CDMN是平行四边形， 当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动点N的运动轨迹是线段，， 四边形ABNM是平行四边形， ， ， 而最小，即：最小， 作点B关于CP的对称点，当点A，N，在同一条线上时，最小， 即：的最小值为， 连接，， 由对称得，，， 是等边三角形， 过点作于Q， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 即：的最小值为 故答案为： 先判断出，再判断出点N的运动轨迹是线段CP，进而判断出再CP上取一点N使最小，最后利用轴对称构造出图形，计算即可得出结论． 此题主要考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出点N的运动轨迹是线段CP是解本题的关键． 16.【答案】解：计算： ； 当时， 原式  【解析】先算乘方、化简绝对值，再代入特殊角的函数值算乘法，最后加减； 先通分计算括号里面的，再算除法，最后代入求值． 本题考查了实数的混合运算及分式的化简求值，掌握零次方的意义及特殊角的函数值、分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键． 17.【答案】解：； ； C级人数为：人 补全条形统计图，如图所示： 人 画树状图得： 共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况， 选中小明的概率为  【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：人； 故答案为：40； 级的百分比为：， ； 故答案为：； 补全条形统计图见答案； 人 故估计优秀的人数为75人； 故答案为：75人． 见答案. 【分析】 由题意可得本次抽样测试的学生人数是：人， 首先可求得A级人数的百分比，继而求得的度数，然后补全条形统计图； 根据A级人数的百分比，列出算式即可求得优秀的人数； 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案． 此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18.【答案】解：将点A、B的坐标代入得，解得， 故点A、B的坐标分别为、 则，解得， 故直线的表达式为， 分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为E、D，设直线AB交y轴于点C， 对于，令，则，则点， 则的面积； 观察函数图象知，不等式的解集为或  【解析】由的面积即可求解； 观察函数图象即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 19.【答案】解：设第一批购进文化衫x件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批购进文化衫50件． 第二批购进文化衫件 设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元， 根据题意得：， 解得： 答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元．  【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 设第一批购进文化衫x件，根据数量=总价单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 根据第二批购进的件数比第一批多，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，根据利润=销售单价销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出结论． 20.【答案】解：相等，垂直； 不成立，，，理由如下： 如图2，由知，， ，，， ，， ， ∽， ，即， ∽， ， ， ， ； ①当点E在线段AG上时，如图3， 在中，，，则， 过点D作于点P， ，， ∽， ，即， ，， 则， 则； ②当点G在线段AE上时，如图4， 过点D作于点P， ，， 同理得：，， 由勾股定理得：， 则； 综上，AE的长为  【解析】解：如图1， 在正方形ABCD和正方形DEFG中，， ， 即， ，， ≌， ，， ， ， ， 故答案为：相等，垂直； 见答案； 见答案． 证明≌，即可求解； 根据两边对应成比例且夹角相等证明∽，即可求解； ①当点E在线段AG上时，如图3，证明∽，列比例式可得AE的长；②当点G在线段AE上时，如图4，同理可解． 本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中正确画图和分类讨论是解题的关键． 21.【答案】解：如图1中，连接 ， ， 设， 在中，， ， 解得， 的半径为 ①如图2中，连接AP， 是直径， ， 平分， ， ， ， ，， ， ，， ∽， ， ②如图3中，连接PM， 是的切线， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ，   【解析】如图1中，连接设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． ①如图2中，连接AP，证明∽，推出，解直角三角形求出PA即可解决问题． 如图3中，连接PM，证明∽，推出，推出，推出∽，可得，求出QM即可解决问题． 本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 22.【答案】解：设抛物线的解析式为 将代入得：，解得， 抛物线的解析式为，即 过点D作轴于点G，交BC于点F，过点A作轴交BC的延长线于点K， ， ∽， ， ， 设直线BC的解析式为， ，解得， 直线BC的解析式为， ， ， ， 设，则， 当时，有最大值，最大值是 符合条件的点P的坐标为或 ， 直线l的解析式为， 设， ①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线PN于点M， ，，， ，，， ， ， ∽， ， ， ，， ， ∽， ， ，， ，， ， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得舍去或 ②当点P在直线BQ左侧时， 由①的方法同理可得点Q的坐标为 此时点P的坐标为  【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设抛物线的解析式为为，将点C的坐标代可求得a的值，从而得到抛物线的解析式； 过点D作轴于点G，交BC于点F，过点A作轴交BC的延长线于点K，证明∽，得出，则，求出直线BC的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论； 设，①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线PN于点M，得出，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可，②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为，代入抛物线的解析可得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$