精品解析：2024年云南省中考数学最后一卷

2024年云南中考最后一卷 数学 注意事项： 1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分100分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、单选题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 早在两千多年前，我国就有了正负数概念．在当时中国的商业活动中，以余钱为正，以亏钱为负，如果余钱5文记为，那么亏钱3文记为（ ） A. B. C. D. 2. 2024年4月30日神舟十七号飞船返回舱成功着陆，带回了重量约的科学实验样品．数据31500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 5. 一杆古秤在称物时的状态如图所示（手提的方向与重物下垂的方向都是垂直于地面） ，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A. B. C. 6 D. 5 8. 如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 为庆祝党的二十大顺利召开，某校共青团组织一场“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表中是九年级某班得分情况（单位：分） 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 9.9 9.5 10 9.7 9.4 数据9.9，9.5，10，9.7，9.4中位数和平均数分别是（ ） A 10，9.6 B. 9.4，9.7 C. 10，9.7 D. 9.7，9.7 11. 如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（ ） A. B. C. D. 12. 按一定规律排列的一组数：，，，，，，，（其中，为整数），则的值为（  ） A. B. C. D. 13. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 14. 如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：______． 17. 在函数中，自变量x取值范围是______． 18. 根据某商场年四个季度的营业额绘制成如图 所示的扇形统计图，其中二季度的营业额为万元，则该商场全年的营业额为_________万元． 19. 《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，点、在上，且．求证：． 22. 为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 23. 随着新课程标准的颁布，为落实立德树人的根本任务，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A“青少年科技馆”，B“中都文庙”，C“城市展馆”，D“莲花湖湿地公园”四个研学基地组织研学活动．学校想从选择研学基地D的四名学生中选取两名学生，了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的四名学生中恰好有两名女生． （1）请用列举出所有可能的情况； （2）求出所选两人都是男生的概率． 24. 如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低，根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75，在确保每棵果树平均产量不低于40的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为y，它们之间的函数关系满足如图所示的图象． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（）最大？最大产量是多少？ 26. 已知某二次函数图象上两点坐标分别为；，与x轴一个交点为，D为顶点坐标. （1）求出该二次函数表达式 （2）求出的面积 27. 已知：如图，小亮在上任取一点A．再以点A为圆心、长为半径将圆等分，等分点分别为B、C、D、E、F，过点C作的切线交的延长线于点G． （1）连接，试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长； （3）若阴影部分的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年云南中考最后一卷 数学 注意事项： 1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分100分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、单选题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时中国的商业活动中，以余钱为正，以亏钱为负，如果余钱5文记为，那么亏钱3文记为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：如果余钱5文记为，那么亏钱3文记为， 故选：A． 2. 2024年4月30日神舟十七号飞船返回舱成功着陆，带回了重量约的科学实验样品．数据31500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法；科学记数法的表示形式为 的形式，其中， 为整数，表示时关键要正确确定的值以及 的值． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； ．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； ．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 4. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式=x4，符合题意； B、原式=，不符合题意； C、原式=，不符合题意； D、原式=，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． 5. 一杆古秤在称物时的状态如图所示（手提的方向与重物下垂的方向都是垂直于地面） ，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等，邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等，和邻补角关系计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， 故选：C． 6. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立体几何的三视图．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.主视图为长方形，此项不符合题意； B.主视图为三角形，此项符合题意； C.主视图为圆，此项不符合题意； D.主视图为长方形，此项不符合题意． 故选：B． 7. 反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A B. C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标符合反比例函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选：C． 8. 如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，先求出正九边形每个外角的度数，再求出每个内角的度数即可． 【详解】解：如图， 图中6个都是正九边形 正九边形的每个外角为 正九边形的每个内角为 即 ． 故选：C． 9. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 10. 为庆祝党的二十大顺利召开，某校共青团组织一场“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表中是九年级某班得分情况（单位：分） 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 9.9 9.5 10 9.7 9.4 数据9.9，9.5，10，9.7，9.4的中位数和平均数分别是（ ） A. 10，9.6 B. 9.4，9.7 C. 10，9.7 D. 9.7，9.7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和平均数．根据中位数和平均数的概念求解即可． 【详解】解：数据9.9，9.5，10，9.7，9.4从小到大排列为9.4，9.5，9.7，9.9，10， 中位数为， 平均数为， 故选：D． 11. 如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长． 根据题意可以求得的长度，从而可得的值． 【详解】解：由题意可知，在中，， ， ， 故答案为：A． 12. 按一定规律排列的一组数：，，，，，，，（其中，为整数），则的值为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查找数式规律问题，观察各数据得到，即每个分数的分母可以分解为两个连续正整数的积，由于，所以，即可得到与的值，数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：A． 13. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得，解得， ， 的值可以为， 故选：A． 14. 如图，点在⊙上，，连结，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 15. 如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由三角形中位线定理得出，，，由平行线的性质结合角平分线的定义得出，由等角对等边得出，求出的长即可得解． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．本题直接运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 17. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为0得，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 18. 根据某商场年四个季度的营业额绘制成如图 所示的扇形统计图，其中二季度的营业额为万元，则该商场全年的营业额为_________万元． 【答案】3000 【解析】 【分析】根据商场全年的营业额=二季度的营业额二季度所占的百分比即可得到结论． 【详解】解：该商场全年的营业额为万元， 答：该商场全年的营业额为 3000万元， 故答案为：3000． 【点睛】本题考查了扇形统计图，正确的理解扇形统计图中的信息是解题的关键． 19. 《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛． 【答案】22 【解析】 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简零指数次幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值以及算术平方根后，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，点、在上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 22. 为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 【答案】“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元. 23. 随着新课程标准的颁布，为落实立德树人的根本任务，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A“青少年科技馆”，B“中都文庙”，C“城市展馆”，D“莲花湖湿地公园”四个研学基地组织研学活动．学校想从选择研学基地D的四名学生中选取两名学生，了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的四名学生中恰好有两名女生． （1）请用列举出所有可能的情况； （2）求出所选两人都是男生的概率． 【答案】（1）共有12种等可能的结果，分别为：男1男2，男1女1，男1女2，男2男1，男2女1，男2女2，女1男1，女1男2，女1女2，女2男1，女2男2，女2女1． （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，掌握列表或画树状图的方法求概率是解题的关键． （1）画树状图得到等可能的结果． （2）由（1）中的树状图得到所选2人都是男生的结果，从而求得概率． 【小问1详解】 解：研学基地D的学生中恰有两名女生，则有2名男生， 画树状图如下： 共有以上12种等可能结果，分别为：男1男2，男1女1，男1女2，男2男1，男2女1，男2女2，女1男1，女1男2，女1女2，女2男1，女2男2，女2女1． 【小问2详解】 解：由（1）可知其中所选2人都是男生的结果有2种， 所选2人都是男生的概率为． 24. 如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理； （1）根据矩形是性质可以证明，即可得； （2）结合（1）证明，再根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 四边形矩形， ，，， ， ，， ，， ， ； 【小问2详解】 ∵， ，， ，， ∴， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 25. 某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低，根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75，在确保每棵果树平均产量不低于40的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为y，它们之间的函数关系满足如图所示的图象． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（）最大？最大产量是多少？ 【答案】（1）（且x为整数） （2）50，6050 【解析】 【分析】（1）由题意，设y与x之间的函数关系式为，将，，代入得，，解得，即，由，即，解得，即且x为整数； （2）由题意知，，根据二次函数的图象与性质求解，作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，设y与x之间的函数关系式为， 由题意知，当，，即， 将，，代入得，，解得， ∴， ∵，即，解得， ∴， ∴（）； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴当，最大，值为6050， ∴当增种50棵时，总产量最大，为6050． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 26. 已知某二次函数图象上两点坐标分别为；，与x轴的一个交点为，D为顶点坐标. （1）求出该二次函数表达式 （2）求出的面积 【答案】（1） （2）面积为3 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式， （1）设二次函数表达式为，利用待定系数法进行计算即可得， （2）先求出顶点坐标，再计算即可得； 掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二次函数表达式为， ∵二次函数过点，，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为， 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点D的坐标， 如图所示， ∴ ． 27. 已知：如图，小亮在上任取一点A．再以点A为圆心、长为半径将圆等分，等分点分别为B、C、D、E、F，过点C作的切线交的延长线于点G． （1）连接，试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长； （3）若阴影部分的面积为，求的长． 【答案】（1）直角三角形，见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）连接，，，由圆周角定理，可得，从而可证，即，再由切线的性质可得，最后根据平行线的性质即可得出结论； （2）利用锐角三角函数求得，再利用弧长公式进行计算即可； （3）设的半径为r，交于点M，证明，可得，利用扇形的面积公式求得，再根据直角三角形的性质可得，即可求出结果． 【小问1详解】 解：是直角三角形.理由如下： 如图，连接，，，则是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵CG是的切线， ∴， ∴，即是直角三角形； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴，所以的长为； 【小问3详解】 解：设的半径为r，交于点M， 由（1）可知，，， ∴， 又∵， ∴， 则，解得， ∴， 中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式及扇形的面积公式、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$