精品解析：云南省普洱市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

普洱市2023-2024学年下学期八年级教学质量监测 数学试题卷 （全卷三个大题，共 27 小题，满分 100 分，考试时间为 120 分钟） 注意事项： 1 ．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、 草稿纸上作答无效． 2 ．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 15 个小题，每小题只有一个正确选项，每小题 2 分，共 30 分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二次根式的定义：形如的式子是二次根式．关键是，根据定义可得答案． 【详解】解：A．不二次根式，故本选项不符合题意． B． 是二次根式，故本选项符合题意． C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意． D．，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，深刻理解定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A. ，能构成直角三角形，故选项符合题意； B. ，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D. ，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，除法运算，积的乘方，二次根式的减法运算，逐项计算即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，二次根式的减法运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键． 4. 汉字的历史悠久是其魅力所在的重要因素，这种文字形式起源于古代中国，与深厚的中华文明紧密相连．有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A、B、D都不能沿某一条直线对折后的两部分是完全重合，不符合轴对称图形的定义，只有选项C能沿某一条直线对折后的两部分是完全重合， 故选：C． 5. 如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据n边形的内角和为进行求解即可． 【详解】解：六边形的内角和是， 故选：C． 6. 普洱市践行“绿水青山就是金山银山”的理念，不断在夯实城市基础设施、美化城市园林景观、加强环境治理上着力，努力把普洱主城区打造成水清秀美的秀水之城、生态宜居的幸福之城 ． 到普洱市旅游的甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别为，，，，这四个旅游团中年龄结构最稳定的旅游团是（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最小， ∴这四个旅游团中年龄结构最稳定的旅游团是：乙团． 故选：B． 7. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用长方形的性质∠ABC＝90°，则∠ABE＝90°−∠EBC，结论可得． 【详解】解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°， 则∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABF＝90°−∠EBC＝40°，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，利用折叠得出：∠CBD＝∠EBD是解题的关键． 8. 如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ） A. 第3分时汽车的速度是40千米/时 B. 第12分时汽车的速度是0千米/时 C. 从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D. 从第9分到第12分，汽车速度从60千米/时减少到0千米/时 【答案】C 【解析】 【详解】横轴表示时间，纵轴表示速度． 当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A对； 第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B对； 从第3分到第6分，汽车的速度保持40千米/时，行驶的路程为40×=2千米，C错； 从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D对． 综上可得：错误的是C． 故选C． 9. 如图，菱形中，对角线与相交于点O，E为中点，若，则的长为（　　） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理可求出cm，再利用直角三角形斜边中线的性质即得答案. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得cm， ∵E为的中点， ∴cm； 故选：D. 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 10. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 11. 一组数据按一定规律排列：，，，，，，…，则这组数据的第项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点，从数据中总结出一般规律是解题的关键． 由题干中数据总结规律即可． 【详解】解：第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 则第个数据为， 故选：． 12. 如图，在中，，，对角线与相交于点，过点作交于点，连接，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，牢记各性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，由于，根据线段垂直平分线的性质，可知，则的周长为与之和，即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 为的垂直平分线， ， 的周长 ， 故选：． 13. 如图，直线（）过点，，则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】所求不等式的解集，即为函数y=ax+b图象在x轴上方部分的横坐标即可． 【详解】解：∵直线经过点A（0，5）和B（-3，0）， ∴当x＞-3时，直线在x轴上方， ∴ax+b＞0， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．注意掌握从函数的角度看，就是求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14. 如图，估计的值所对应的点可能落在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先利用乘法分配律化简，然后再估算无理数的大小即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵由点的位置可得：D点符合． 故选：D． 15. 如图，点E、F分别是边长为4的正方形的边，上的两点，且，，P是对角线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，在上取点，使，证明四边形是矩形，，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，在上取点，使， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是； 故选A 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 二次根式有意义的条件是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 17. 将直线向下平移3个单位所得直线解析式是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．利用“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度，则平移后直线解析式为，即． 故答案为：． 18. 当时，分式的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先化简分式，再代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式； 故答案为： 19. 如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， 是等腰三角形，分情况讨论： ①时，， ∴， 此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，二次根式的加减运算，掌握基础运算的运算法则是解本题的关键． 21. 如图，C是的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．根据是的中点，结合，再利用证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ． 22. 如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是一个单位长度），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）在图中描出，连接、、，试判断的形状； （2）求的面积． 【答案】（1）画图见解析，直角三角形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先描点，再画，再利用勾股定理的逆定理作答即可； （2）先求解，再利用直角三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 【点睛】本题考查的是坐标系内描点，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积的计算，掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 23. 普洱市某学校开展“家国情・诵经典”读书活动，为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（单位：分钟）．将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整） 平均每天阅读时间统计表 等级 人数（频数） 15 30 45 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）其中的值为 ；这组数据的中位数所在的等级是_______； （2）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬，若全校学生以1800人计算，估计全校受表扬的学生有多少人？ 【答案】（1）；C （2）全校受表扬的学生有人． 【解析】 【分析】（1）由总人数乘以C的占比可得，由，结合中位数的定义可得答案； （2）先求解，再由1800乘以平均每天阅读时间不低于50分钟的学生的占比可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得； 根据题意，， 中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在C等级，第101个数据在C等级，它们的中位数在C等级， 【小问2详解】 解：∵ ∴全校学生以1800人计算，估计全校受表扬的学生有 （人）． 【点睛】本题考查的是统计表与扇形统计图，求解中位数，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 24. 阅读理解: 爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ，即 请你根据张华的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用整体代入的思想是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将m分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ． 25. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，角平分线的定义，勾股定理等知识； （1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 26. 近些年，普洱茶在当今的茶叶市场上广受茶友们的追捧，特别是普洱茶中的古树茶、古树纯料、名山头、老茶等．茶品以“陈”为贵，越陈越香，是中国茶叶中极具特色的茶类． 某经销商准备从某普洱茶加工厂购进老茶、古树茶两种普洱茶进行销售，其中“老茶”的单价是“古树茶”单价的一半，用3000元购买“老茶”的质量比“古树茶”多5千克． （1）求“老茶”和“古树茶”的单价分别为多少元？ （2）若经销商计划一次性购进“老茶”和“古树茶”共100千克，其中“古树茶”的质量低于“老茶”的2倍，且“老茶”的质量不超过70千克，应如何分配“老茶”和“古树茶”的购进量，才能使经销商付款总金额最少？最少总金额为多少？ 【答案】（1）“老茶”和“古树茶”的单价分别每千克元，元； （2）经销商计划一次性购进“老茶”千克， “古树茶”购进千克，最小的费用为元． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式组的应用； （1）设“老茶”的单价为每千克元，则“古树茶”单价为每千克元，再利用用3000元购买“老茶”的质量比“古树茶”多5千克，再建立分式方程求解即可； （2）设经销商计划一次性购进“老茶”千克，则“古树茶”购进千克；设总费用为元，可得，结合“古树茶”的质量低于“老茶”的2倍，且“老茶”的质量不超过70千克，可得，再利用一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设“老茶”的单价为每千克元，则“古树茶”单价为每千克元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意； ∴， ∴“老茶”和“古树茶”的单价分别每千克元，元； 【小问2详解】 解：设经销商计划一次性购进“老茶”千克，则“古树茶”购进千克；设总费用为元，则 ， ∵“古树茶”的质量低于“老茶”的2倍，且“老茶”的质量不超过70千克， ∴， 解得：， ∵，， ∴当时，， 进货方案为：经销商计划一次性购进“老茶”千克，则“古树茶”购进千克，最小的费用为元． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点在线段上，． （1）求点的坐标． （2）求直线的解析式． （3）当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或； 【解析】 【分析】（1）根据解方程组，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程组，可得点C的坐标； （2）根据D在上，求解，利用勾股定理建立方程，可得D点坐标，根据待定系数法，可得的函数解析式； （3）结合菱形的性质，分情况讨论：若P在x轴上方，若P在x轴下方，进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，即， 解得， ∴， 即、． 设直线的解析式， 把A、B点的坐标代入函数解析式，得， 解得． 直线的解析式， 由点C是直线与直线的交点， 得， 解得， ∴C点的坐标是； 【小问2详解】 解：由点D在线段上，C点的坐标是 ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）， 即D点坐标是； 设的函数解析式为， 把A、D点的坐标代入，得， 解得． ∴的函数解析式为； 【小问3详解】 解：过D作轴，由（2）中D，A的坐标可知，， ∴， ∵以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 若P在x轴上方，是菱形， 则，， 如图所示， 过P作轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 结合平移的性质可得：； 当是菱形，记对角线交点为， ∴，，， 由可得， ∴， ∴； 如图，当四边形为菱形时， 此时，， ∴为与轴的交点， ∴，四边形是正方形， ∴； 当在轴下方，四边形为菱形时，则，．过P作轴， 如图所示， 同理可得：， ∴， 结合平移可得：， 综上：或或或； 【点睛】本题考查一次函数、利用了待定系数法求函数解析式、利用平方根的含义解方程，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论，数形结合的方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 普洱市2023-2024学年下学期八年级教学质量监测 数学试题卷 （全卷三个大题，共 27 小题，满分 100 分，考试时间为 120 分钟） 注意事项： 1 ．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、 草稿纸上作答无效． 2 ．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 15 个小题，每小题只有一个正确选项，每小题 2 分，共 30 分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 汉字历史悠久是其魅力所在的重要因素，这种文字形式起源于古代中国，与深厚的中华文明紧密相连．有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 5. 如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 6. 普洱市践行“绿水青山就是金山银山”的理念，不断在夯实城市基础设施、美化城市园林景观、加强环境治理上着力，努力把普洱主城区打造成水清秀美的秀水之城、生态宜居的幸福之城 ． 到普洱市旅游的甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别为，，，，这四个旅游团中年龄结构最稳定的旅游团是（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团 7. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间函数关系，下列说法中错误的是（ ） A. 第3分时汽车的速度是40千米/时 B. 第12分时汽车的速度是0千米/时 C 从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D. 从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 9. 如图，菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，若，则的长为（　　） A 5cm B. 4cm C. 3cm D. cm 10. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 一组数据按一定规律排列：，，，，，，…，则这组数据的第项是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，对角线与相交于点，过点作交于点，连接，则的周长为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，直线（）过点，，则方程的解集是（ ） A B. C. D. 14. 如图，估计的值所对应的点可能落在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 15. 如图，点E、F分别是边长为4的正方形的边，上的两点，且，，P是对角线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 二次根式有意义的条件是____________． 17. 将直线向下平移3个单位所得直线解析式是 _________________． 18. 当时，分式的值是________． 19. 如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，C是的中点，，求证：． 22. 如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是一个单位长度），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）在图中描出，连接、、，试判断的形状； （2）求的面积． 23. 普洱市某学校开展“家国情・诵经典”读书活动，为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（单位：分钟）．将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整） 平均每天阅读时间统计表 等级 人数（频数） 15 30 45 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）其中的值为 ；这组数据的中位数所在的等级是_______； （2）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬，若全校学生以1800人计算，估计全校受表扬的学生有多少人？ 24. 阅读理解: 爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ，即 请你根据张华的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若，求的值． 25. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求的长． 26. 近些年，普洱茶在当今的茶叶市场上广受茶友们的追捧，特别是普洱茶中的古树茶、古树纯料、名山头、老茶等．茶品以“陈”为贵，越陈越香，是中国茶叶中极具特色的茶类． 某经销商准备从某普洱茶加工厂购进老茶、古树茶两种普洱茶进行销售，其中“老茶”的单价是“古树茶”单价的一半，用3000元购买“老茶”的质量比“古树茶”多5千克． （1）求“老茶”和“古树茶”的单价分别为多少元？ （2）若经销商计划一次性购进“老茶”和“古树茶”共100千克，其中“古树茶”的质量低于“老茶”的2倍，且“老茶”的质量不超过70千克，应如何分配“老茶”和“古树茶”的购进量，才能使经销商付款总金额最少？最少总金额为多少？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点在线段上，． （1）求点的坐标． （2）求直线的解析式． （3）当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$