精品解析：天津市第二十中学2019-2020学年高二下学期4月段考数学试题

2019-2020学年高二第二学期4月段考数学试卷 一、选择题. 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式判断． 【详解】；；，，只有B正确． 故选：B． 2. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，由“函数在上单调递减”转化为导数小于或等于0，在上恒成立求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又函数在上为增函数， 所以，故. 故选：C 3. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可. 【详解】的定义域是（0，+∞）， ， 若函数有两个不同的极值点， 则在（0，+∞）由2个不同的实数根， 故，解得：， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题. 4. 在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性导数关系得出和的解集，然后可得题设不等式的解集． 【详解】由题意解集为，，的解集为， 或，所以或． 故选：A． 5. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 6. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线的定义找到两条异面直线所成的角，用余弦定理即可求解. 【详解】作的中点，连接，作的中点，连接、, 即为异面直线AM与CN所成的角， 由已知条件得，则,, 由余弦定理得, 在△中，有余弦定理可知, 即,解得， 故选：D. 二、解答题（共6小题） 7. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得函数y的导数，可得x＝1处切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】y＝x3的导数为y′＝3x2， 即有曲线在x＝1处的切线的斜率为5， 切线方程为y+1＝5（x﹣1）， 即为5x﹣y﹣6＝0， 故答案为5x﹣y﹣6＝0． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的应用，考查运算能力，属于基础题． 8. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用空间向量垂直充要条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值 【详解】，， ， 解得或． 故答案为：或． 9. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数分析单调性，列不等式组求解 【详解】 可得在和上单调递增，在上单调递减 有三个不同的零点，可得 解得 故答案为： 10. 函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】 【详解】试题分析：函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或 考点：函数单调性 点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况 11. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值； （3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求. 【小问1详解】 因为，因为，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， ，， 且平面平面，平面 平面平面， 平面； 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取. 设平面的法向量为，， 由，取， . 二面角是钝角， 二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，则， 又平面法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为， 解得，. 12. 已知函数. （1）时，求函数的极值； （2）时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，当 时，恒有 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)将代入函数解析式，求导即可； (2)根据求导的结果对 的取值范围进行讨论即可； (3)将看作变量，将不等式转化为函数形式，根据单调性讨论. 【小问1详解】 当=时， = ， ∴ ， 令 =得，=， 当时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减， ∴函数的极大值为=，无极小值； 【小问2详解】 当 时，函数= ， ， ①当时，， 令 =，得=， ∴当时， ，函数单调递增；当 时， ， 函数单调递减； ②当时，令 =，得=或， 若，则， ∴当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减， 当时， ，函数单调递增； 若时，则 恒成立， ∴函数在 上单调递增， 若，则， ∴当时， ，函数单调递增；当时， ， 函数单调递减， 当 时， ，函数单调递增； 【小问3详解】 当时，由（2）可知，函数在 上单调递增， ∴ ， ∵ 对任意的， 当 时恒成立， ∴ 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， ∵当时，=， ∴， 故实数的取值范围为： ； 综上，的极大值为=，无极小值，单调性见解析，的取值范围为：. 【点睛】单调性的讨论往往是根据导数解析式的结构来区分 的范围的，对于第三问， 其不等式比较抽象，需要先理解清楚不等式的含义，再转化为函数形式，通过函数的单调性和最值来确定m的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019-2020学年高二第二学期4月段考数学试卷 一、选择题. 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在上可导函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ） A B. C. D. 二、解答题（共6小题） 7. 曲线在点处的切线方程为__________． 8. 已知平面法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____． 9. 若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是__________. 10. 函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________． 11. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 12. 已知函数. （1）时，求函数的极值； （2）时，讨论函数单调性； （3）若对任意，当 时，恒有 成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$