第3章 导数及其应用 单元测试-【优鸿】高中选修1-1数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应⽤ 第三章 单元测试 1. 已知函数 ，下列结论中错误的是(　　). A. 若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减 B. C. 若 是 的极值点，则 D. 函数 的图象是中心对称图形 2. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（     ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 内接于半径为R的半圆中的矩形，周长最大的矩形的边长为(    ). A. 和 B. 和 C. 和 D. 其它都不对 4. 已知函数 ，则 的图象大致为（   ）. A. B. C. D. 5. 设 在 和 处均有极值，则下列点中一定在x轴 上的是（    ）. A. B. C. D. 6. 设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则 最小值为（   ）. A. B. C. D. 7. 曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为(     ). A. B. C. D. 1 8. 等差数列 的前n项和为 ，已知 ，则 的最小值为__________． 9. 若曲线 上点P处的切线平行于直线 ，则点P的坐标是________. 10.  若函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值为 ____________. 11. 若函数  在区间 内不存在极值点，则a的取值范围是 __________. 12. 点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值是 ________. 13. 在直角坐标系xOy中，曲线C： 与直线 交于M，N两点. (1)当 时，分别求C在点M和N处的切线方程； (2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 ？说明理由. 14. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 . (1)求  、 的值； (2)如果当 ，且 时， ，求 的取值范围. 15. 设函数 ，求函数 的单调区间与极值. 16. 设函数 ，曲线 在点 处的切线为 . (1)求a，b； (2)证明： . 17. 如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求B在AM上， D在AN上，且对角线MN过C点， . (1)要使矩形 的面积大于 ，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积； (3)若AN的长度不小于 ，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出 最小面积. 18. 已知函数 .  (1)讨论 的单调性. (2)设 ，当 时， ,求 的最大值. (3)已知 ，估计 的近似值（精确到 ）. 19. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 . (1)求 的值； (2)若 ，求函数 的单调区间； (3)设函数 ，且 在区间 内存在单调递减区间，求实数a的 取值范围. 20. 解答： (1)讨论函数 的单调性，并证明当 时，   (2)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，求函数 的值域. 参考答案 1 A 2 A 3 A 4 A 5 D 6 B 7 C 8 9 10 16 11 或 12 13 （1） 和 （2）存在， 14 （1） （2） 15 单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；极⼤值为 ，极⼩值 为 16 （1） （2）∵ ， ∴函数 . 要证 ， 需证 ， ∵ ， ， ∴两边同乘以 得 ， . 设函数 ，则 ∵当 时， ， ∴当 时， ； 当 时， . ∴ 在 内单调递减，在 内单调递增. ∴ 在 上的极⼩值也是最⼩值为 . 设函数 ，则 ∵当 时， ， ∴当 时， ； 当 时， . ∴ 在 内单调递增，在 内单调递减. ∴ 在 上的极⼤值也是最⼤值为 . ∵函数 的最⼩值为 ， 函数 的最⼤值为 ， ∴当 时， 恒成⽴， 即 . ∴ . ∴ 恒成⽴. 17 （1） （2） （3） 18 （1）函数 在 上单调递增 （2）2 （3） 19 （1） （2） 的单调增区间为 ，单调减区间为 （3） 20 （1） ∵
中分⺟不为0, ∴ ∴ 的定义域为
.
∵当 时，
, ∴ 在
和 上单调递增. ∴当 时， ∵
, ∴当
时，
, （2） ∵
，
,
. 由第⼀问知： 在 和 上单调递增, 在 上单调递增, , , ∵
, ∴存在唯⼀ ，使得
,即 . 当 时， 单调递减, 当 时， 单调递增, 因此 在 处取得最⼩值， 最⼩值为:
∵
, , ∵
的最⼩值为
, . ∵
, 在定义域上单调递增. ∵
,
在定义域上单调递增， ∴函数 的值域为 .