抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

　抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 第三章 函数 2024/8/17 1 抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等， 一般（1)通过代入特殊值(赋值法）求值、 （2）通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、 （3）出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性， （4）换x为x＋T确定周期性. 探究新知 微拓展 例1： 题型一　抽象函数的单调性 例题讲解 1、取值：在指定的区间上任意取两个数x1，x2，不妨设x1<x2 ； 2、 作差： f(x1) －f(x2) [或f(x2) － f(x1) ]； 4、 定号：确定 f(x1) －f(x2) [或f(x2) － f(x1) ]的符号； 5、下结论。 3、变形 ：通过因式分解，配方有理化等， 转化为易判断正负的式子 复习回顾 判断函数单调性的方法 3.图像法（直观观察） 1.定义法（定量刻画） 2.导数法 4 .利用函数的运算性质判定 知识梳理 4 例1： 解： 题型一　抽象函数的单调性 例题讲解 抽象函数 (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为 f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 题型一　抽象函数的单调性 归纳总结 微拓展 例2： 解： 题型一　抽象函数的单调性 例题讲解 例2： 题型一　抽象函数的单调性 例题讲解 解： 题型一　抽象函数的单调性 跟踪训练 例3. f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意都有 f(xy)=f(x)＋f(y), 又当x>1时, f(x)>0且 f(3)＝1. （1）求 f(1)的值。（2）判断f(x)的单调性 （3）若f(x+8)-f(x)≤2 求x的取值范围。 例题讲解 题型一　抽象函数的单调性 10 例3. f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意都有 f(xy)=f(x)＋f(y), 又当x>1时, f(x)>0且 f(3)＝1. （1）求 f(1)的值。（2）判断f(x)的单调性 （3）若f(x+8)-f(x)≤2 求x的取值范围。 例题讲解 题型一　抽象函数的单调性 11 题型一　抽象函数的单调性 归纳总结 抽象函数 (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为 f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 题型二　抽象函数的奇偶性 例题讲解 复习回顾 判断函数奇偶性的方法 2.图像法 1.定义法 3 .利用函数奇偶性的运算判定 （1）先求定义域，看是否关于原点对称； （2）再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立； （3）根据定义下结论． 知识梳理 14 题型二　抽象函数的奇偶性 例题讲解 题型二　抽象函数的奇偶性 例题讲解 题型二　抽象函数的奇偶性 跟踪训练 题型二　抽象函数的奇偶性 跟踪训练 题型二　抽象函数的奇偶性 跟踪训练 例1：已知函数满足，，则 ． 题型三　抽象函数的周期 例题讲解 题型突破·考法探究 周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　　　　　　　，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. f(x＋T)＝f(x) 复习回顾 知识梳理 例1：已知函数满足，，则 ． 题型三　抽象函数的周期 例题讲解 解 则是以8为周期的周期函数． 所以． 题型突破·考法探究 变式：已知函数，，，则 的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．－1 题型三　抽象函数的周期 例题讲解 解:由题意知，，， 令，则 显然时，不成立，故， 故，则，即6为函数的周期， 则，故选：B 题型突破·考法探究 例题讲解 ①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)； 归纳总结 常见的抽象函数模型 ⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin 2α－ sin 2β＝sin(α＋β)sin(α－β)； 归纳总结 常见的抽象函数模型 典例　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是 A.f(x)为奇函数 B.f(－2)＝－1 C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞) D.f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023 √ √ 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)为奇函数， 所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确； 对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2， 可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)， 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又因为x1>x2，所以x1－x2>0， 所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1， 所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2， 由f(2x)－f(x－3)>－2， 可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)， 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)， 所以2x>x－7，得到x>－7， 所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误； 对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0， 又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024) ＝0，故D错误. 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 (2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是 A.f(0)＝1 B.函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称 C.g(1)＋g(－1)＝0 D.若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝1 √ 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A错误； 因为g(3)＝cos 2π＝1≠0，所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称，所以 函数g(2x＋1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误； 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0， 结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1， 再令x＝0，代入已知等式得 f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)， 将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)， 所以函数f(x)为奇函数. 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)， 因为f(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]， 又因为f(2)＝－f(－2)＝－f(1)， 所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]， 因为f(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C错误； 对于D，分别令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式： f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)， 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 两式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)， 即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)， 有－f(x)＋f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)－f(x＋1)－f(x＋2)＝0，即f(x－1)＝f(x＋2)， 所以f(x)为周期函数，且一个周期为3， 因为f(1)＝1，所以f(－2)＝1， 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 所以f(2)＝－f(－2)＝－1，f(3)＝f(0)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0， 例题讲解 题型四　抽象函数的综合应用 ①利用定义证明单调性的一般步骤： ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－  f(x1)＝f －f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f . 利用定义证明单调性的一般步骤： 周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a＞0)； 3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a＞0)． 若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期． 解：因为f(1)=1,所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中, 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),① 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1).② 由①②相加,得f(x+2)+f(x-1)=0, 故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x), 所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中,令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2. 令x=1,y=1,得f(2)+f(0)=f(1)f(1),所以f(2)=-1. 由f(x+3)=-f(x),得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2, 所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0,根据函数的周期性知, f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1, 则f(k)等于(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 ④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f ＝f(x)－  f(y)或f(xn)＝nf(x)； ②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f ＝； ③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝； ⑦正切函数f(x)＝tan x，对应f(x±y)＝，来源于tan(α±β) ＝. ⑥余弦函数f(x)＝cos x，对应f(x)＋f(y)＝2f  f ，来源于cos α＋cos β＝2cos ·cos ； 对于B，取f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，满足f(x－y)＝f(x)g(y)－  g(x)f(y)及f(－2)＝f(1)≠0， 所以(n)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝f(2 023)＝f(1)＝1，故D正确. $$