精品解析：2024年江西省九江市永修三中中考模拟数学试题（五）

2024年江西省九江市永修三中中考数学质检试卷（五） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列数中，比－3大且比较－1小的是（ ） A. －4 B. －2 C. 0 D. 2 2. 如图所示的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 以下是按一定规律排列的单项式：，依此规律，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为直径，，的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 抛掷一枚硬币，正面向上的概率 B. 抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率 C. 从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率 D. 两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率 6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若，则___． 8. 江西省推行“智慧作业”落实“双减”，“减负”“增效”效果明显．截至2021年10月，“智慧作业”使用学校达7359所、使用的师生数达479万人，有效加强了优质作业资源共建共享，提高了作业完成质量．数据479万用科学记数法表示为______． 9. 已知、是一元二次方程的两根，则________． 10. 两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm． 11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA＝2，则△ABC外接圆的面积为 _____． 12. 如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，点E是BC的中点，点P在▱ABCD的边上．若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 _____． 三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中 15. 为了响应市委市政府号召，全民防疫，某地市民只需携带本人身份证，即可随机选择去本市中医院（A）、第一人民医院（B）、第二人民医院（C）、第三人民医院接种疫苗（D）． （1）小宇正好选择中医院接种的概率是 　 　． （2）在注射第一针疫苗后21天左右需要再去注射第二针疫苗，请用树状图或列表方法表示小宇注射两针疫苗分别在不同的医院接种的概率是多少？ 16. 如图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，作出△ABC的重心O． （2）在图②中，在△ABC的边AC上找一点P，连接BP，使△ABP的面积为△ABC面积的． 17. 5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织去井冈山开展研学旅行活动．在此次活动中，小明、小亮等同学随家长一同到某游乐园游玩．已知成人票每张35元，学生票按成人票五折优惠．他们一共12人，门票共需350元． （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）如果团体票（16人或16人以上）按成人票六折优惠，请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，． （1）求的度数． （2）求点到地面的距离．（参考数据：，，，） 19. 某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下： ①【收集数据】：七年级20名学生测试成绩统计如下： 67，58，64，56，69，70，95，84，74，77，78，78，71，86，91，86，86，92，86，70 ②【整理数据】：七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）： 八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 ③分析数据，两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76．9 a b 119．89 八年级 79．2 81 74 100．4 （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图； （2）请直接写出、的值； （3）请根据抽样调查数据，估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人； （4）通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断的理由（两条即可） 20. 如图，在等腰三角形AOB中，AO=AB，点O是平面直角坐标系原点，点A在反比例函数的图象上，已知OA=5，OB=6． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点P，交x轴于点C． ①求直线AC的解析式； ②求点P的坐标． 五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 22. 课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接PB、PC，求△PBC的面积； （3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江西省九江市永修三中中考数学质检试卷（五） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列数中，比－3大且比较－1小的是（ ） A. －4 B. －2 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则，即可得到答案． 【详解】∵-4＜-3， ∴A不符合题意， ∵－3＜－2＜-1， ∴B符合题意， ∵-1＜0， ∴C不符合题意， ∵-1＜2， ∴D不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查比较有理数的大小，熟练掌握有理数的大小比较法则，是解题的关键． 2. 如图所示的几何体，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线． 故选：B． 【点睛】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 3. 以下是按一定规律排列的单项式：，依此规律，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式的规律探究，根据系数与次数两个方面总结可得第n个单项式． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：， 依此规律，第个单项式是， 故选：C． 4. 如图，为直径，，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直径所对圆周角等于，得到，进而得到的度数，根据同弧所对圆周角相等，即可求解， 本题考查了，直径所对圆周角等于，圆周角定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 抛掷一枚硬币，正面向上的概率 B. 抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率 C. 从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率 D. 两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.6附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.6者即为正确答案． 【详解】解：、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 、抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率为，故此选项不符合题意； ．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率为，故此选项符合题意； ．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率为，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大． 6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴在y轴的右侧得到b＜0，利用抛物线与x轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对A进行判断；利用当x=1时，y＜0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-=1，则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a和b异号， ∴b＜0， ∵抛物线与x轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴bc＞0，所以A选项错误； ∵当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，所以B选项错误； ∵抛物线经过点(-1，0)和点(3，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 即-=1， ∴2a+b=0，所以C选项正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2-4ac＞0， 即4ac＜b2，所以D选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点个数：抛物线与y轴交于(0，c)．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若，则___． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，用一个未知量将a、b表示出，代入原式即可得解． 【详解】解：设a=2k，b=3k， 则=-5， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了比例的性质和分式的加减法．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 8. 江西省推行“智慧作业”落实“双减”，“减负”“增效”效果明显．截至2021年10月，“智慧作业”使用学校达7359所、使用的师生数达479万人，有效加强了优质作业资源共建共享，提高了作业完成质量．数据479万用科学记数法表示为______． 【答案】4.79×106 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：479万＝4790000＝4.79×106． 故答案为：4.79×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 9. 已知、是一元二次方程的两根，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，将式子变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm． 【答案】3． 【解析】 【分析】如图，由AB∥CD，知△OAB∽△OCD，再根据相似三角形对应线段成比例即可求出CD的长． 【详解】如图，OE＝20 cm，OF＝30 cm，AB＝2 cm， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴＝，即＝， ∴CD＝3， 即光屏上火焰所成像的高度为3 cm． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是找出相似三角形． 11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA＝2，则△ABC外接圆的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出P点为△ABC外接圆的圆心，进而求出其面积． 【详解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD垂直平分BC， 又∵分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF， ∴EF垂直平分AC， ∵直线EF与AD相交于点P， ∴点P即为△ABC外接圆圆心， ∴PA为△ABC外接圆的半径， ∴△ABC外接圆的面积=4π， 故答案为4π． 【点睛】本题考查三角形的外心，得出P点即为△ABC的外接圆的圆心是解题的关键． 12. 如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，点E是BC的中点，点P在▱ABCD的边上．若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 _____． 【答案】6或或 【解析】 【分析】当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，根据等腰三角形的性质得PH=EH，再计算出∠BPE=∠BEP=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到此时的PE的长；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，所以BF=EF=3，先求出BG=4，从而得到PF=4，然后利用勾股定理计算出此时PE的长；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6． 【详解】解：当P点在BA上，BP=BE=6， 作BH⊥PE于H，如图1， 则PH=EH， ∵∠B=120°， ∴∠BPE=∠BEP=30°， 在Rt△BEH中，BH=BE=3，EH=BH=3， ∴PE=2EH=6； 当P点在AD上，BP=PE， 作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2， 则BF=EF=3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ADBC， ∵∠ABC=120°， ∴∠A=60°， 在Rt△ABG中，AG=AB=4，BG=AG=4， ∴PF=4， 在Rt△PEF中，PE=； 当点P在CD上，如图3， EB=EP=6， 综上所述，PE的长为6或6或． 故答案为6或6或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．平行线间的距离处处相等．也考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质、勾股定理． 三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【答案】（1）2； （2）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，实数的运算等知识，解题的关键是： （1）利用算术平方根的定义，负整数指数幂的意义，过点作的意义化简计算即可； （2）利用等边对等角，平行线的性质可得出，然后利用相似的判定即可得证． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略 14. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= 当时，原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 为了响应市委市政府号召，全民防疫，某地市民只需携带本人身份证，即可随机选择去本市中医院（A）、第一人民医院（B）、第二人民医院（C）、第三人民医院接种疫苗（D）． （1）小宇正好选择中医院接种的概率是 　 　． （2）在注射第一针疫苗后21天左右需要再去注射第二针疫苗，请用树状图或列表方法表示小宇注射两针疫苗分别在不同的医院接种的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）列表或画树状图，列举所有等可能的情况，从中找出符合要求的情况，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 ∵小宇可选择的医院有4种， ∴小宇正好选择中医院接种的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意可画树状图如下： 两针去医院接种新冠疫苗的等可能情况共有16种，其中小宇这两针分别在不同医院接种的情况有12种， 故小宇这两针分别在不同医院接种的概率为． 【点睛】本题考查简单的概率计算和画树状图或列表法求概率．掌握概率公式和正确的画出树状图或列出表格是解题关键． 16. 如图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，作出△ABC的重心O． （2）在图②中，在△ABC的边AC上找一点P，连接BP，使△ABP的面积为△ABC面积的． 【答案】（1） 如图①中，点O即为所求； （2） 如图②中，点P即为所求 【解析】 【分析】（1）根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，即可求解； （2）如图，连接EF交AC于点P，根据△AEP∽△CFP，可得点P即为所求，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①中，点O即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，点P即为所求； 理由如下∶∵AE∥CF， ∴△AEP∽△CFP， ∴， ∴， ∴△ABP的面积为△ABC面积的． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 17. 5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织去井冈山开展研学旅行活动．在此次活动中，小明、小亮等同学随家长一同到某游乐园游玩．已知成人票每张35元，学生票按成人票五折优惠．他们一共12人，门票共需350元． （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）如果团体票（16人或16人以上）按成人票六折优惠，请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 【答案】（1）8个成人，4个学生 （2）购买团体票更省钱 【解析】 【分析】（1）设成人有x人，学生有y人．根据题意列出二元一次方程并求解即可． （2）先计算出按团体票购买的费用，再和原来购票的费用比较即可． 【小问1详解】 解：设成人有x人，学生有y人． 由题意得： 解得： 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． 【小问2详解】 解：如果按团体票购买，按16人计算，共需费用为35×0.6×16＝336元． ∵336＜350， ∴购买团体票更省钱． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的大小比较，熟练掌握这些知识点是解题关键． 四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，． （1）求的度数． （2）求点到地面的距离．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、多边形内角和问题、矩形的判定与性质、利用邻补角求角的度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）下求出，再由多边形内角和求出的度数，最后再由邻补角计算即可得出答案； （2）过作于，过作于，交于，过作于，作于，证明四边形是矩形，得出，，解直角三角形得出的长，再由，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：过作于，过作于，交于，过作于，作于， 则， ， 四边形是平行四边形，， ，四边形是矩形， ，， 在中，， 在中，， ， 即点到地面的距离为． 19. 某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下： ①【收集数据】：七年级20名学生测试成绩统计如下： 67，58，64，56，69，70，95，84，74，77，78，78，71，86，91，86，86，92，86，70 ②【整理数据】：七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）： 八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 ③分析数据，两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76．9 a b 119．89 八年级 79．2 81 74 100．4 （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图； （2）请直接写出、的值； （3）请根据抽样调查数据，估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人； （4）通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断的理由（两条即可） 【答案】（1）补全频数分布直方图如下： （2），； （3）估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有200人 （4）八年级学生对垃圾分类知识掌握得更好， 理由为：八年级学生测试成绩的平均数、中位数均比七年级的高，而八年级的方差较小． 【解析】 【分析】（1）求出七年级70～80分的人数即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的求解即可； （3）求出七年级成绩优秀的人数所占的百分比即可； （4）根据中位数、众数、平均数的比较得出答案． 【详解】解：（1）20﹣2﹣3﹣5﹣3＝7（人）， （2）七年级20名学生的测试成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为， 因此中位数是77.5，即a＝77.5， 七年级20名学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次， 因此众数是86，即b＝86， 答：a＝77.5，b＝86； （3）（人）， 答：全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有200人； （4）略 【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确判断的关键． 20. 如图，在等腰三角形AOB中，AO=AB，点O是平面直角坐标系原点，点A在反比例函数的图象上，已知OA=5，OB=6． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点P，交x轴于点C． ①求直线AC的解析式； ②求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=(x＞0)； （2）①直线AC的解析式为y=-x+；②点P的坐标为（，）． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题； （2）①利用相似三角形的判定和性质求得CD，即可求得C的坐标，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式； ②解析式联立成方程组，解方程组即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：作AD⊥OB于D， ∵AO=AB，OA=5，OB=6． ∴OD=BD=3， ∴AD==4， ∴A（3，4）， 把A（3，4）代入y= (x＞0)，可得k=12， ∴反比例函数的解析式为y=(x＞0)； 【小问2详解】 解：①∵AC⊥OA， ∴△OAC是直角三角形， ∵AD⊥OC， ∴∠OAD+∠DAC=90°，∠OAD+∠DOA =90°， ∴∠DAC=∠DOA， ∴Rt△DAC∽Rt△DOA， ∴， ∴AD2=OD•CD，即16=3•CD， ∴CD=， ∴OC=OD+CD=， ∴C（，0）， ∴设直线AC的解析式为y=ax+b， 把A、C的坐标代入得，， 解得， ∴直线AC的解析式为y=-x+； ②解得或， ∴点P的坐标为（，）． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求得A的坐标． 五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线； （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）①根据解直角三角形，以及直角三角形的边角关系求出，，根据圆周角定理可知，再根据解直角三角形以及直角三角形的边角即可求出直径； ②根据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，，， ∵， ∴， ∴， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线性质，圆周角定理，锐角三角函数，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，圆周角定理，锐角三角函数，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 22. 课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可； （2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：（1）四边形是菱形，，． ，，，， ， ； （2）①四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 由旋转可得：，， ， 如图2，过作于， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 此时， ， ， 点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ，的面积为6， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接PB、PC，求△PBC的面积； （3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）3；（3）存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式 （2）首先利用各点坐标得出得出△PBC是直角三角形，进而得出答案； （3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分情况进行讨论： ①当，∠PBQ=∠ABC=45°时，根据A、B的坐标可求出AB的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，已经求出了PB的长度，那么可根据比例关系式得出BQ的长，即可得出Q的坐标． ②当，∠QBP=∠ABC=45°时，可参照①的方法求出Q的坐标． ③当Q在B点右侧，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标． 试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3，∴点B的坐标为（3，0），∵y=﹣x+3过点C，易知C（0，3），∴c=3． 又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为（1，0）． 又∵抛物线过点A（1，0），B（3，0），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为：； （2）如图1，∵=，又∵B（3，0），C（0，3），∴PC===，PB==，∴BC===，又∵=2+18=20，=20，∴，∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，∴S△PBC=PB•BC==3； （3）如图2，由=，得P（2，﹣1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=． 由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=． 假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． ①当，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC． 即，解得：BQ=3，又∵BO=3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0）． ②当，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC． 即，解得：QB=． ∵OB=3，∴OQ=OB﹣QB=3﹣=，∴Q2的坐标是（，0）． ③当Q在B点右侧，则∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC． 则点Q不可能在B点右侧的x轴上． 综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 考点：二次函数综合题；分类讨论；存在型；压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $