精品解析：安徽省芜湖市无为中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

无为中学2024-2025学年度第一学期高二开学考 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、讨论，利用可得答案. 【详解】因为，所以， ①时，，解得； ②时，则有，解得. 综上，m的取值范围是. 故选：D. 2. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】借助纯虚数的定义可计算出复数，结合其几何意义即可得其在复平面上的对应点的位置. 【详解】复数为纯虚数，，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第二象限. 故选：B. 3. 已知向量，的夹角为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积公式求夹角即可． 【详解】因为，，所以. 故选：D 4. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意先将问题等价转化成上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 5. 若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 又在上单调递增，且， 所以，即，即. 故选：D 6. 已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据面面平行的性质和线面垂直的判定定理分析判断，对于B，由线面平行的性质分析判断，对于C，根据线面平行的判定定理分析判断，对于D，由线面垂直的性质和线面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于A，因为，所以， 因为，所以，所以A正确， 对于B，过作平面，因为，所以， 因为，，所以， 因为，，所以，所以，所以B正确， 对于C，当时，或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：C 7. 已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数的奇偶性可得出，化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性与最值可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，则， 由于，则，所以，， 当时，， 因为函数在区间上为减函数， 则函数在区间上为增函数， 所以，，可得，解得， 由可得， 当时，，由题意可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 8. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ） ①此八面体的表面积为； ②异面直线与所成的角为； ③此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ④若点为棱上的动点，则的最小值为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对①：计算出一个三角形面积后乘8即可得；对②：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对③：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对④：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算. 【详解】对①：由题意可得，故①正确； 对②：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故②错误； 对③：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故③正确； 对④：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故④错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于将不共面的问题转化为同一平面的问题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D. 详解】依题意，，， 对A：，故A正确: 对B：依题意，， 所以数据的方差为： ，故B错误； 对C：，故C正确; 对D：由 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理可判断； 由正弦定理可判断； 利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断； 由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断. 【详解】， ， ， 为锐角，但不能确定角是否为锐角， 故不一定是锐角三角形，故错误； 由正弦定理得， ， ， 有唯一解，故正确； ， ，， ， 又，解得， ，， ， ， ，即，故正确； 是锐角三角形，， 又， ，， 又上单调递增， ，， ，故正确； 故选：. 11. 如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是6 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直三棱柱的外接球表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出，从而根据柱体体积公式得到答案；B选项，为定值，点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，由勾股定理求出最小值；D选项，将直三棱柱补形为长方体，求出外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】A选项，直三棱柱中，， 所以，直三棱柱的体积是，A正确； B选项，矩形的面积为， 当是侧棱上运动时，为定值， 又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，B正确； C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，如图所示， 连接，与相交于点， 故的长即为的最小值，故最小值为， 的最小值为5，C错误； D选项，将直三棱柱补形为长方体， 则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球， 故外接球的半径为， 表面积为，D正确, 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则用表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式及对数运算计算. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：根据已知条件关系和所求问题的特征，结合向量的环境优先考虑共线定理中的三点共线系数和为1，故先由题意得，从而由共线定理得，接着结合基本不等式可求解. 14. 给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________. 【答案】##0.08 【解析】 【分析】明确对应的事件的含义即“第3次涂5号格子”，再考虑第一次选取的是角上的格子还是边中间的格子，分别求出两种情况下的概率，即可求得答案. 【详解】由题意知“”等价于“第3次涂5号格子”， 若第一次涂的是四个角上的格子，以1号格子为例， 第二次可以涂，要想第三次涂5号，第二次必须选填号中的一个， 第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况概率为； 若第一次涂的是四边中间的格子，以2号格子为例， 第二次可以涂，要想第三次涂5号，第二次必须涂号中的一个， 第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为； 故， 故答案为： 【点睛】方法点睛：需分类考虑，即考虑第一次选取的是角上的格子还是边中间的格子，分别求出两种情况下的概率，即可求解. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知为的中点，，，. （1）求的面积； （2）求的长. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积； (2)根据余弦定理可求出的长. 【小问1详解】 根据题意可知， 又因为为的中点，可得， ，，， 根据余弦定理， 代入已知条件得， 得到，故所以可得是直角三角形， 所以可得 故答案为： 【小问2详解】 由第一问可知， 根据余弦定理可知， 代入得， 所以可得， 故答案为： 16. 已知函数． （1）若，在上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间上的值域是（m、），求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由，在恒成立，采用分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围；（2）因为函数在上为严格增函数，所以时左端点取得最小值，在右端点取得最大值，再借助一元二次函数根的分布列出不等式，从而求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 由可得：，即，在上恒成立， 又因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以. 【小问2详解】 因为函数在上为严格增函数， 所以当时，； 当时，， 即m、n为方程的两个不同的正根，也就是方程有两个不同的正根， 于是，解得． 17. 已知函数（）. （1）当时，求的最大值以及取得最大值的x的集合； （2）若在上恰有两个零点，且在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简求解即可； （2）结合正弦函数的零点和单调性求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，，故的最大值为2， 此时，即， 故最大值的x的集合为：. 【小问2详解】 若，则， 在上恰有两个零点，故， 解得， 若，则， 在上单调递增， 故， 解得，且 故当时，， 所以的取值范围是 18. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 （1）求证：平面 （2）若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; （3）点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用相似比证明，由线面平行的判定定理证明即可; （2）先证明,得到异面直线与所成的角为，然后利用余弦定理求解即可; （3） 先证明平面平面，再由线面平行的性质定理得到，再根据相似三角形求解即可. 【小问1详解】 连接交于点N，连接， 设及，可知， 又，所以，所以在中有， 又平面，而平面，所以平面 【小问2详解】 取的中点O，连接，， 根据，，O为的中点，可知为平行四边形， 所以，且， 则异面直线与所成的角即为（或其补角）， 因为为边长是4的等边三角形， 故，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小是 【小问3详解】 取中点G，连 ，  因为E中点， G为中点， 所以，又平面，平面，  所以平面，  又因为平面， 且， ，平面，  所以平面平面BDM， 又平面EFG，所以平面 又平面，且平面平面， 所以，所以 由题可知，所以 即 19. 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． （1）当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； （2）用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用事件独立性即可求解； （2）（ⅰ）分别把概率表示出来，理解事件表示1传输错误，且两个0传输都正确，理解包含以下两种情况，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值； （ⅱ）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围． 【小问1详解】 记事件：“收到的所有数字都正确”， 由已知且可知， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）由发送的数据为“100”可知，事件表示1传输错误，且两个0传输都正确， 所以， 事件包含以下两种情况； ①1传输正确，且两个0传输都正确，其概率为； ②1传输错误，且只有一个0传输都正确，其概率为， 所以； 又， 所以， 即， 整理得， 把代入上式，化简得， 解得：或， 因为，且，， 所以，， 所以； （ⅱ）当发送的数据为“1100”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为； ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为， 所以， 令，则，从而， 所以， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递增， 所以得最大值为， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查古典概型，随件事件独立性等知识，需要充分理解事件的独立性求概率，需要理解问题中的事件是哪些事件的和事件，需要不重不漏的表示出来，把问题利用函数的思想来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无为中学2024-2025学年度第一学期高二开学考 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，的夹角为，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 5. 若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 7. 已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ） ①此八面体的表面积为； ②异面直线与所成的角为； ③此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ④若点为棱上的动点，则的最小值为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D 10. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 11. 如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是6 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直三棱柱的外接球表面积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则用表示为______． 13. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为_____. 14. 给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知为的中点，，，. （1）求的面积； （2）求的长. 16. 已知函数． （1）若，在上恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数在区间上值域是（m、），求实数a的取值范围． 17. 已知函数（）. （1）当时，求的最大值以及取得最大值的x的集合； （2）若在上恰有两个零点，且在上单调递增，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 （1）求证：平面 （2）若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; （3）点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 19. 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． （1）当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； （2）用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $