6.8 余角和补角 课件 2024--2025学年浙教版七年级数学上册

浙教版数学七年级上册 6.8 余角和补角 第6章 图形的初步知识 知识梳理 教材的地位 和作用 　余角和补角是本册书“图形的初步知识”这一章中两个比较重要的基本概念.前面学生对角的度量和大小的比较的学习,已经为学习余角和补角打下了一定的基础.对探索余角和补角的性质的学习,是实验几何逐渐向证明几何的过渡,为以后证明角的相等提供了一种依据和方法,也为培养和发展学生的逻辑思维能力、观察分析能力、演绎归纳能力打下了坚实的基础 重点 　互余、互补的概念及余角、补角的性质 难点 　互余、互补的正确判断及用代数方法计算角的度数 易错点 　方位角中由于要画图分析,容易产生错角 知识梳理 【新知1】余角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角． 两个角互余的数学表达式：∠1 ＋∠2 ＝ 90 ° 1 2 A O B 3 4 ∠3＋∠4＝ 90 ° C ∠1＋∠2＝ 90 ° 知识梳理 【新知2】补角 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角． 两个角互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 ° 【拓展】邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。 1 2 ∠α＋∠β ＝180 ° α β ∠1＋∠2＝180 ° 知识梳理 （1）同角或等角的余角相等． 数学表达式：若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ． （2）同角或等角的补角相等． 数学表达式：若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ． 【新知3】余角和补角的性质 知识梳理 【新知4】方位角 从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角. 【归纳总结】 表示方位角的“三点注意”: (1)画表示方位的角时,一般以正北或正南方向作角的始边; (2)书写表示方位的角时,先写“北”或“南”,再写“偏东”或“偏西”,如“北偏东60°”不要写成“东偏北30°”; (3)“东北”方向指正北与正东方向的角平分线, “西北”“东南”“西南”以此类推. 知识梳理 【例1】一个角的度数是42°46',则它的余角的度数为 (　　) A.47°14' B.47°54' C.57°14' D.37°54' A 知识梳理 【例2】如图所示,∠AOC=90°,∠BOC=90°,∠1=∠2,则图中互为余角的角共有 (　　) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 C 解:互为余角的角:∠1与∠ADC,∠1与∠BDC, ∠2与∠BDC,∠2与∠ADC; 互为补角的角:∠1与∠ADF,∠2与∠ADF, ∠2与∠BDE,∠1与∠BDE,∠EDC与∠FDC. 知识梳理 【例3】如图,D是直线EF上一点,∠EDC=90°,∠1=∠2,则图中哪些角互为余角?哪些角互为补角? 知识梳理 【例4】已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大20°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x，则这个角的余角为90°－x，补角为180°－x. 由题意，得(180°－x)－3(90°－x)＝20°， 解得x＝55°， 即这个角的度数为55°. 知识梳理 【例5】如图，下面说法中不正确的是(　　) A．射线OA表示北偏东30° B．射线OB表示西北方向 C．射线OC表示西偏南80° D．射线OD表示南偏东70° C 知识梳理 【例6】如图，O是直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM，ON分别是∠AOC，∠AOD的平分线． (1)根据题意，补全∠AOD＝∠BOC的探究过程(括号内填相应的依据)： ∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOC＋∠AOD＝__________°. 又∵∠AOC＋∠__________＝180°， ∴∠AOD＝∠BOC(__________________)． (2)若∠MOC＝72°，求∠AON的度数． 180 BOC 同角的补角相等 解：(2)∵OM是∠AOC的平分线， ∴∠AOC＝2∠MOC＝144°. 又∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝36°. 又∵ON是∠AOD的平分线， 知识梳理 知识梳理 余角和补角 余角 补角 两个角的和等于90º 两个角的和等于180º 定义 性质 同（等）角的余角相等 定义 性质 同（等）角的补角相等 方位角 正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角 表示方向的角在航 行、测绘等工作中经常 用到 定义 应用 自主练习 1．已知∠1＝50°，则∠1的补角的度数是(　　) A．130° B．140° C．40° D．60° 2．下列图形中，∠1和∠2互为余角的是(　　) A． 　　 　B． 　　 　C．　　　　D． A D 自主练习 3．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝22°，则∠BOC的大小为(　　) A．152° B．168° C．148° D．158° D 自主练习 4．下列说法中正确的是(　　) A．一个角的补角一定大于这个角 B．锐角和钝角互补 C．如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90° D．若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互补 C 自主练习 5．如图，下列结论中正确的有(　　) ①射线OB的方向是北偏西50°； ②射线OC的方向是东南方向； ③射线OA的方向是北偏东15°； ④∠AOC和∠AOB互为补角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 自主练习 6．∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，∴∠1＝∠3，根据是_______________． 7．(1)若一个锐角为α，则它的余角为_____________，补角为_________，它的补角与余角的差为_______． (2)若一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是__________． 同角的补角相等 90°－α 180°－α 90° 144°38′ 自主练习 8．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板 的直角顶点重合，若∠1＝26°，则∠2＝_________． 【解析】 ∵∠1＋∠EAC＝60°， ∴∠EAC＝60°－∠1＝60°－26°＝34°. ∵∠EAC＋∠2＝90°， ∴∠2＝90°－∠EAC＝90°－34°＝56°. 56° 自主练习 自主练习 10．关于补角有下列四个叙述：①锐角的补角是钝角；②只有锐角才有补角；③互为补角的两个角不可能相等；④同角或等角的补角一定相等．其中正确的有(　　) A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 ①若∠A是锐角，则180°－∠A＞90°，即锐角的补角是钝角，所以①正确． B 自主练习 ②任意角均有补角，所以②错误． ③直角的补角是直角，所以互补的两个角也可能相等，故③错误． ④同角或等角的补角相等，所以④正确． 综上，正确的有①④，共2个． 自主练习 11．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有__________．(填序号) 12．(1)∠α的余角是_____________，∠β的补角是____________． (2)已知∠α是∠β的2倍，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，求∠α和∠β的度数． ①③ 90°－∠α 180°－∠β 自主练习 解：(1)∠α的余角是90°－∠α，∠β的补角是180°－∠β. 故答案为90°－∠α，180°－∠β. ②设∠β＝x，则∠α＝2x， 根据题意，得3(90°－2x)＝180°－x， 解得x＝18°，即∠β＝18°，∠α＝36°. 自主练习 13．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°. (1)若∠AOB＝62°，求∠COD的度数． (2)若∠DOC＝2∠COB，求∠AOD的度数． 解：(1)∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠COD＋∠BOC＝90°＝∠AOB＋∠BOC， 可得∠COD＝∠AOB. ∵∠AOB＝62°， 自主练习 ∴∠COD＝62°. (2)由(1)知∠COD＝∠AOB， ∵∠BOD＝90°，∠DOC＝2∠COB， ∴∠COD＋∠BOC＝2∠BOC＋∠BOC＝3∠BOC＝90°， 解得∠BOC＝30°，∠COD＝60°， 即∠AOB＝60°， ∴∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝90°＋60°＝150°. 自主练习 14．(1)如图1，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOC＝65°，则∠AOD＝__________；若∠AOD＝130°，则∠BOC＝_________． (2)如图2，若∠AOB＝∠COD＝60°，则∠AOD与∠BOC有怎样的数量关系，请说明理由． (3)如图3，已知∠AOB＝α，∠COD＝β(α，β都是锐角)，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系，不必说明理由． 115° 50° 自主练习 解：(1)∵∠COD＝90°，∠BOC＝65°， ∴∠BOD＝∠COD－∠BOC＝25°. ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋25°＝115°. 若∠AOD＝130°，∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝∠AOD－∠AOB＝130°－90°＝40°. 自主练习 ∵∠COD＝90°， ∴∠BOC＝∠COD－∠BOD＝90°－40°＝50°. 故答案为115°，50°. (2)∠AOD与∠BOC的数量关系是∠AOD＋∠BOC＝120°. 理由如下： ∵∠AOD＋∠BOC ＝∠AOD＋(∠COD＋∠BOD) 自主练习 ＝∠AOD＋∠COD＋∠BOD ＝∠COD＋(∠AOD＋∠BOD) ＝∠COD＋∠AOB， 又∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠AOD＋∠BOC＝60°＋60°＝120°. (3)∠AOD＋∠BOC＝α＋β. 9．已知一个角的余角比这个角补角的小12°，求这个角和它的余角的度数． 解：设这个角的度数为α， 根据题意得90°－α＝(180°－α)－12°， 解得α＝24°， 它的余角的度数为90°－α＝90°－24°＝66°， 即这个角和它的余角的度数分别为24°和66°. $$