精品解析：天津市天津经济技术开发区第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

天津经济技术开发区一中2023－2024学年上学期高一数学 期末考试试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设集合U=R,,则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为锐角，为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 9. 若规定，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知,函数与函数的图象可能是 A. B. C. D. 11. 若函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知幂函数满足，则 ______________ 14. 函数的定义域是_______. 15. 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是______cm 16. 已知，且，求的最小值________. 17. 设函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为______． 18. 若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为______． 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. （1）已知，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 20. 已知 ，且 为第三象限角. （1）求 的值； （2）求 的值. 21. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）解不等式. 22. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标． 23. 已知是函数的零点，. （1）求实数的值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津经济技术开发区一中2023－2024学年上学期高一数学 期末考试试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义，可求得的值． 【详解】∵角的终边经过点, ∴,,, 则， 故选：C. 2. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【详解】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 3. 设集合U=R,,则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦恩图求出即可. 【详解】解:由题知图中阴影部分为, , . 故选:D 4. 设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，根据已知条件结合零点存在定理即可判断. 【详解】因为，根据函数解析式可分析得函数为单调递增的连续函数， 由已知，，所以， 根据零点存在定理定理可知，方程的根所在区间为， 故选：B 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复合函数的单调性的判断方法，求函数的单调递增区间. 【详解】函数分成内外层函数，， 但内外层函数单调性一致时，函数单调递增，此时外层函数单调递减， 内层函数的对称轴是，且，解得：， 则内层函数的单调递减区间是，综上可知函数的单调递增区间是. 故选：A 6. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，比较大小即可． 【详解】∵，，，∴， 故选：B． 7. 将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按题意平移、伸缩变换求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. ∴. 故选：B. 8. 已知为锐角，为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案. 【详解】因为为锐角，为钝角，， 所以， ， 则 . 故选：C. 9. 若规定，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意化简，直接求解即可. 【详解】由，结合题意可得，所以， 所以或，所以不等式的解集为或. 故选：D. 10. 已知,函数与函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到互为倒数，故的单调性相同，由此得出正确选项. 【详解】由于，故互为倒数，而，，故的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C. 【点睛】本小题主要考查对数的加法运算，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题. 11. 若函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意函数单调递增， 需满足，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 12. 已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由，的周期为6，及函数的单调性分析判断. 【详解】①：对于任意，都有成立， 令，则，解得， 又因为是R上的偶函数，所以， 所以，所以函数的周期为6， 所以， 又由，故；故①正确； ②：由（1）知的周期为6， 又因为是R上的偶函数，所以， 而的周期为6，所以，， 所以：， 所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确； ③：当，且时，都有． 所以函数在上为严格增函数， 因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数， 而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确； ④：，的周期为6，所以， 又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点， 所以在和上各有一个零点， 所以函数在上有四个零点．故④正确； 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知幂函数满足，则 ______________ 【答案】 【解析】 【分析】先求得的解析式，然后求得. 【详解】设， 则 故答案为： 14. 函数的定义域是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据偶次根式的被开方数为非负数，即，解不等式可得结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以函数的定义域是 故答案为：. 15. 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是______cm 【答案】6 【解析】 【分析】设扇形的半径为,弧长为,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得. 【详解】设扇形的半径为,弧长为, 依题意可得,,解得, 所以扇形的周长为. 故答案为:6 【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题. 16. 已知，且，求的最小值________. 【答案】3 【解析】 【分析】将变形为，展开，利用基本不等式解之． 【详解】解：已知，，， 则， 当且仅当时等号成立； 故答案为3 【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；关键是变形为能够利用基本不等式的形式． 17. 设函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可得，，求出周期，再利用周期公式求出，然后将代入函数解析式中结合可求出的值，从而可求出函数解析式. 【详解】由图象知，， 又，， 所以，得． 所以， 将点代入，得， 即，又， 所以． 所以． 故答案为：． 18. 若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得存在，使得函数在区间上有零点，分情况讨论，若不是函数的零点则转化为在的值域与有交集，然后分，和三种情况求的值域，然后由值域与有交集可求得a的取值范围. 【详解】存在，使得函数在区间上有零点， 若为函数的零点，则， 若不是函数的零点，则，由， 得，则在的值域与有交集， ①若，则由对勾函数的性质可知在上递增，在上递增， 所以其值域为，此时无交集，舍去； ②若，则由对勾函数的性质可知在和上递减，在和上递增， 所以其值域为，则，故； ③若，则在和上递减， 所以其值域为，则，故． 综上． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查对勾函数的性质的应用，考查余弦函数的性质，解题的关键是将问题转化为函数在的值域与有交集，考查分类思想和计算能力，属于较难题. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. （1）已知，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）7；（2）；（3）11. 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）根据指数幂运算即可求解； （3）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， 化简得； （2）解：原式 （3）解： ， 又，所以，原式． 20. 已知 ，且 为第三象限角. （1）求 的值； （2）求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据诱导公式得，再根据同角三角函数关系求（2）先根据诱导公式化简，再代入、、值，计算可得结果 试题解析：解：（1）已知得 ，且为第三象限角,所以 （2） 21. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）解不等式. 【答案】（1），； （2）∵，，∴， 设，则， ∵，∴，则，即在上为减函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据和计算得到答案. （2），设，计算得到答案. （3）根据函数的奇偶性和单调性得到，解得答案. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，即， 得，， 则，，则， 即，即，得. （2）略 （3）由，得， ∵是奇函数，且在上是减函数，∴不等式等价为， 即.得. 即实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，单调性的证明，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 22. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标． 【答案】（1）；（2）； （3）对称轴为，对称中心为. 【解析】 【分析】 （1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果； （2）可通过正弦函数的单调性得出结果； （3）可通过正弦函数的对称性得出结果. 【详解】（1） ， 最小正周期. （2）当时， 即时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间为. （3），即， ，即， 则函数的对称轴方程为，对称中心为. 23. 已知是函数的零点，. （1）求实数的值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据零点含义，即可求得答案； （2）分离参数k，可得，换元后，结合题意，将问题转化为求解函数的最值问题，即可得答案. （3）将原方程整理变形，并换元可得一元二次方程，求得其解或解的表达式，结合题意并结合指数型函数的图象，数形结合，可得关于k的不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为是函数的零点， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以存在，使得不等式成立， 即存在，使得不等式成立， 因为，故， 故即为， 令，则， 由于，故， 因为存在，使得不等式成立， 即存在，使得不等式成立， 故. 【小问3详解】 方程即， 且， 故， 由题意可知该方程有三个不同的实数解， 令，则， 解得或， 当时，，则， 当时，要使方程有三个不同的实数解， 需使有两个不同的实数解， 结合函数的图像可知需使, 即实数的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问，根据方程解的个数求解参数范围，解答时要将原方程整理变形，并换元，得一元二次方程，求出其解，结合指数型函数图象，数形结合，解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $