精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区“FF联盟”中考冲刺卷数学试题

黑龙江省哈尔滨市南岗区“联盟”2024市级名校中考冲刺卷数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上，用铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 2. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 5. 八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 内角和为540°的多边形是（ ） A. B. C. D. 8. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 10. 自1993年起，联合国将每年的3月11日定为“世界水日”，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护，某木在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级随机选出10名学生统计出各自家庭一个月的节约用水量，有关数据整理如下表， 节约用水量 （单位：吨） 1 1 家庭数 4 6 5 3 1 这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. , 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则=________. 12. 如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=__． 13. 已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝_____． 14. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 15. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果，，，那么______． 16. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0．甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下(单位：公斤)：如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派______(填“甲”或“乙”)，理由是______． 年份 选手 2015上半年 2015下半年 2016上半年 2016下半年 2017上半年 2017下半年 甲 290(冠军) 170(没获奖) 292(季军) 135(没获奖) 298(冠军) 300(冠军) 乙 285(亚军) 287(亚军) 293(亚军) 292(亚军) 294(亚军) 296(亚军) 三、解答题 （共8题，共72分） 17. 如图，在矩形中，，点E在边上，连接，以为边向右上方作正方形，，垂足为 H，连接． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大? 18. 在矩形中，点E在上，，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，且，求． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与函数的图象的两个交点分别为A（1，5），B． （1）求，的值； （2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出n的取值范围． 20. 已知点O是正方形对角线的中点． （1）如图1，若点E是的中点，点F是上一点，且使得，过点E作，交于点M，交于点N． ①； ②点F是的中点； （2）)如图2，若点E是上一点，点F是上一点，且使，请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，若E是上的动点(不与O，D重合)，连接，过E点作，交于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论)． 21. 《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 22. 如图1，点P是平面直角坐标系中第二象限内的一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点P绕点A顺时针旋转60°得到点P'，我们称点P'是点P的“旋转对应点”． （1）若点P（﹣4，2），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为　 　；若点P的“旋转对应点”P'的坐标为（﹣5，16）则点P的坐标为　 　；若点P（a，b），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为　 　； （2）如图2，点Q是线段AP'上的一点（不与A、P'重合），点Q的“旋转对应点”是点Q'，连接PP'、QQ'，求证：PP'∥QQ'； （3）点P与它的“旋转对应点”P'的连线所在的直线经过点（，6），求直线PP'与x轴的交点坐标． 23. 如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF． 24. 如图，，,求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市南岗区“联盟”2024市级名校中考冲刺卷数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上，用铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里， 【详解】∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°， ∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°． ∴NP＝NM＝80（海里）． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和的定理，解决此题的关键是计算要细心，不要出错． 2. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值． 【详解】∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AB=3AE， ∴AE：AB=1：3， ∴S△AEF：S△ABC=1：9， 设S△AEF=x， ∵S四边形BCFE=16， ∴， 解得：x=2， ∴S△ABC=18， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键. 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等号左边提公因式，用因式分解法即可求出方程的解； 【详解】解：原方程可化为：， 因此或， 所以，． 故选：D． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m＜， 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 5. 八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式进行计算即可得解． 【详解】解：八边形的内角和为， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】分为三种情况：①AP=OP，②AP=OA，③OA=OP，分别画出即可． 【详解】如图， 分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论． ∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解． 7. 内角和为540°的多边形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设它是n边形， 根据题意得，（n﹣2）•180°=540°， 解得：n=5． 故选：C． 8. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】210万=2100000， 2100000=2.1×106， 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 9. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【详解】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 10. 自1993年起，联合国将每年的3月11日定为“世界水日”，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护，某木在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级随机选出10名学生统计出各自家庭一个月的节约用水量，有关数据整理如下表， 节约用水量 （单位：吨） 1 1 家庭数 4 6 5 3 1 这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. , 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义，把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数一组数据中出现次数最多的数据是众数． 根据众数、中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的中位数是 ，这组数据的众数是1.1． 故选 D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则=________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知的等式可知，与是同类项，据此可得出a，b的值，从而代入求得结果. 【详解】解：由可知，与是同类项， ∴a=2，b=1， ∴a+b=3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 12. 如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF=__． 【答案】15° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解答： 连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC， ∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形. ∵OF⊥OC,OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°. 由圆周角定理得 ， 故答案为15°. 13. 已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝_____． 【答案】17 【解析】 【分析】先利用完全平方公式展开，然后再求和. 【详解】根据（x+y）2=25，x2+y2+2xy=25;（x﹣y）2=9, x2+y2-2xy=9,所以x2+y2=17. 【点睛】(1)完全平方公式：. (2)平方差公式：(a+b)(a-b)=. (3)常用等价变形： , , . 14. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 15. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得,又由AC＝3，CE＝5，DF＝4，即可求得BD的长. 【详解】解：由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理, 即可得, 又由AC＝3，CE＝5，DF＝4 可得： 解得：BD=. 故答案为. 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用. 16. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0．甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下(单位：公斤)：如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派______(填“甲”或“乙”)，理由是______． 年份 选手 2015上半年 2015下半年 2016上半年 2016下半年 2017上半年 2017下半年 甲 290(冠军) 170(没获奖) 292(季军) 135(没获奖) 298(冠军) 300(冠军) 乙 285(亚军) 287(亚军) 293(亚军) 292(亚军) 294(亚军) 296(亚军) 【答案】 ①. 乙 ②. 乙的比赛成绩比较稳定． 【解析】 【分析】甲的比赛成绩波动幅度较大，故甲的比赛成绩不稳定；乙的比赛成绩波动幅度较小，故乙的比赛成绩比较稳定，据此可得结论． 【详解】由图表可知，甲的比赛成绩波动幅度较大，故甲的比赛成绩不稳定； 乙的比赛成绩波动幅度较小，故乙的比赛成绩比较稳定； 所以选派一名选手参加国际比赛，会选派乙，理由是乙的比赛成绩比较稳定． 故答案为：乙；乙的比赛成绩比较稳定． 【点睛】本题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 三、解答题 （共8题，共72分） 17. 如图，在矩形中，，点E在边上，连接，以为边向右上方作正方形，，垂足为 H，连接． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大? 【答案】（1） 证明: ∵四边形是正方形, ∴， ∵, ∴， ， ∴． （2）时，的面积最大 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形性质、矩形性质、全等三角形的判断和性质、三角形的面积等知识点，熟记全等三角形的各和判断方法是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得,再根据,进而可得，结合已知条件，利用“”即可证明, 由全等三角形的性质可得； （2）设，用含a的函数表示的面积，再利用函数的最值求面积最大值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解: 设, 则, ， ∴当时,的面积最大． 18. 在矩形中，点E在上，，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，且，求． 【答案】（1） 证明: 在矩形中, ∵, ∴, 又∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴． （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先利用“”证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得 即可得到 根据结合即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：, ∴, , , ． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与函数的图象的两个交点分别为A（1，5），B． （1）求，的值； （2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，写出n的取值范围． 【答案】（1），；（2）0＜n＜1或者n＞5． 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题； (2)利用图象法即可解决问题； 【详解】解：（1）∵A（1，5）在直线上， ∴， ∵A（1，5）在的图象上， ∴． （2）观察图象可知，满足条件的n的值为：0＜n＜1或者n＞5． 【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，解题关键在于利用数形结合的思想求解. 20. 已知点O是正方形对角线的中点． （1）如图1，若点E是的中点，点F是上一点，且使得，过点E作，交于点M，交于点N． ①； ②点F是的中点； （2）)如图2，若点E是上一点，点F是上一点，且使，请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，若E是上的动点(不与O，D重合)，连接，过E点作，交于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论)． 【答案】（1） 证明：①过点E作，垂足为G， 则四边形为正方形，，， 即， 又， ． 又，， ． ， ∵四边形为正方形， ，，， ． ，又， ，又， ． ②设， ，又， ， ， 由四边形为矩形知，， 在中，， ， ， ． 在中，， ， 又， ， ∴点F是的中点． （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： 过点E作，垂足为M，延长交于点N， 过点E作，垂足为G． 则， ， 设，则，，，． ， 又， ， 又， ， ， ，， 又，， ，， 又， ， ， 即，又， 是等腰直角三角形． （3） 【解析】 【分析】(1)①过点E作，垂足为G，根据证明得，再根据证明得，在中根据等腰三角形“三线合一”即可证明结论成立； ②设，则，在中，，，，．在中，，，又，从而，得到点F是的中点．； (2)过点E作，垂足为M，延长交于点N，过点E作，垂足为G．则，再证明，从而可得是等腰直角三角形． (3)方法同第(2)小题．过点E作，垂足为M，延长交于点N，过点E作，垂足为G．则，再证明，得，设，则，，，，，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点E作，垂足为M，延长交于点N， 过点E作，垂足为G． 则， ． ， ， ． 又， ， ， ， ， ， ． 设，则，，， ， ， ． 【点睛】本题是综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 21. 《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【答案】甲有钱 ，乙有钱25 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键． 设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y， 由题意得： 解得： 答：甲有钱 乙有钱25． 22. 如图1，点P是平面直角坐标系中第二象限内的一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点P绕点A顺时针旋转60°得到点P'，我们称点P'是点P的“旋转对应点”． （1）若点P（﹣4，2），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为　 　；若点P的“旋转对应点”P'的坐标为（﹣5，16）则点P的坐标为　 　；若点P（a，b），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为　 　； （2）如图2，点Q是线段AP'上的一点（不与A、P'重合），点Q的“旋转对应点”是点Q'，连接PP'、QQ'，求证：PP'∥QQ'； （3）点P与它的“旋转对应点”P'的连线所在的直线经过点（，6），求直线PP'与x轴的交点坐标． 【答案】（1）（﹣2，2+2），（﹣10，16﹣5），（，b﹣a）； （2）证明：如图2，过点Q作QB⊥y轴于B， ∴∠BQQ'=60°， 由题意知，△PAP'是等边三角形， ∴∠PAP'=∠PP'A=60°， ∵QB⊥y轴，PA⊥y轴， ∴QB∥PA， ∴∠P'QQ'=∠PAP'=60°， ∴∠P'QQ'=60°=∠PP'A， ∴PP'∥QQ'； （3）直线PP'与x轴的交点坐标（﹣，0） 【解析】 【分析】（1）①当P（-4，2）时，OA=2，PA=4，由旋转知，∠P'AH=30°，进而P'H=P'A=2，AH=P'H=2，即可得出结论； ②当P'（-5，16）时，确定出P'A=10，AH=5，由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH-AH=16-5，即可得出结论； ③当P（a，b）时，同①的方法得，即可得出结论； （2）先判断出∠BQQ'=60°，进而得出∠PAP'=∠PP'A=60°，即可得出∠P'QQ'=∠PAP'=60°，即可得出结论； （3）先确定出yPP'=x+3，即可得出结论． 【详解】解:（1）如图1， ①当P（﹣4，2）时， ∵PA⊥y轴， ∴∠PAH=90°，OA=2，PA=4， 由旋转知，P'A=4，∠PAP'=60°， ∴∠P'AH=30°， 在Rt△P'AH中，P'H=P'A=2， ∴AH=P'H=2， ∴OH=OA+AH=2+2， ∴P'（﹣2，2+2）， ②当P'（﹣5，16）时， 在Rt△P'AH中，∠P'AH=30°，P'H=5， ∴P'A=10，AH=5， 由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH﹣AH=16﹣5， ∴P（﹣10，16﹣5）， ③当P（a，b）时，同①的方法得，P'（，b﹣a）， 故答案为（﹣2，2+2），（﹣10，16﹣5），（，b﹣a）； （2）略 （3）设yPP'=kx+b'， 由题意知，k=， ∵直线经过点（，6）， ∴b'=3， ∴yPP'=x+3， 令y=0， ∴x=﹣， ∴直线PP'与x轴的交点坐标（﹣，0）． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，解本题的关键是理解新定义． 23. 如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF． 【答案】 证明：在菱形ABCD中， AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， ∵点E、F分别是BC、CD边的中点， ∴BE＝BC，DF＝CD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF． 【解析】 【分析】因为点E、F分别是BC、CD边的中点，利用菱形的性质得到BE＝DF，根据SAS证明△ABE≌△ADF从而推出AE=AF． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握菱形的各边相等，对角相等的性质． 24. 如图，，,求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、含直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明可得；再根据含直角三角形的性质以及勾股定理可得，最后代入化简即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $