2.4.4 向量与距离同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4.4　向量与距离 A级 必备知识基础练 1.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为(　　) A. B. C. D. 2.直线l的方向向量为m=(1,1,0),且l过点A(1,1,1),则点P(2,2,-1)到直线l的距离为(　　) A. B. C.2 D.3 3.空间直角坐标系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为(　　) A. B. C. D. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则点A到直线B1E的距离为(　　) A. B.1 C. D. 5.已知点M(-1,1,-2),平面π过原点O,且垂直于向量n=(1,-2,2),则点M到平面π的距离是　　　　　.  6.已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内.若点P(-2,1,4)到平面α的距离d为,则x=　　　　　.  7. [人教B版教材例题]如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=1.求点D到平面PBC的距离. B级 关键能力提升练 8.(多选题)已知平面α的法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为α内一点.若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为(　　) A.2 B.1 C.-3 D.-6 9. 如图,在圆锥SO中,AB是底面圆O的直径,SO=AB=4,AC=BC,D为SO的中点,N为AD的中点,则点N到平面SBC的距离为(　　) A. B. C.1 D.2 10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A. B. C. D. 11.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=(-6,2,-8),=(4,-2,3),=(-4,1,0),则该三棱柱的高为　　　　　.  12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,已知点H,A,C1三点共线,且=0,则点H到平面ABCD的距离为　　　　　.  13.PA,PB,PC是从点P出发的三条线段,每两条线段的夹角均为60°,PA=PB=PC=1,AB=1.若点M满足+2+3,则点M到直线AB的距离为　　　　　.  14. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. C级 学科素养创新练 15.[北师大版教材例题]已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值. 16. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值; (2)求点A1到平面AED的距离. 参考答案 1.A　依题意,=(0,1,2),而a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d=.故选A. 2.C　∵A(1,1,1),P(2,2,-1), ∴=(1,1,-2),又m=(1,1,0), ∴在m方向上的投影为||·cos<,m>=,∴点P到直线l的距离d==2.故选C. 3.A　由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)与向量都垂直,则取x=1,则n=(1,3,-4),又平面α∥平面β,因此平面α与平面β间的距离d=. 4. B　建立如图所示的空间直角坐标系,连接B1A,B1E,由已知得A(0,0,0),E(0,1,),B1(1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,-),所以上的投影为=1,所以点A到直线B1E的距离为=1.故选B. 5.　由题意,=(1,-1,2),n=(1,-2,2), ∴·n=1+2+4=7.设与n的夹角为α,则由·n=||·|n|cos α可知点M到平面π的距离为d=. 6.-1或-11　由题意=(x+2,2,-4),由空间中点到平面距离的向量公式d=,即,解得x=-1或-11. 7.解依题意,AB,AD,AP是两两互相垂直的. 以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以=(0,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,-1). 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=1,则得x=1,y=0,此时n=(1,0,1). 因为, 所以点D到平面PBC的距离为. 8.AD　由向量法可知,∵=(0,1,2)-(x2,2x+1,2)=(-x2,-2x,0),n=(-1,-2,2), ∴·n=x2+4x,|n|==3,由点P(0,1,2)到平面α的距离为4,由点P到平面α的距离公式为d==4,解得x=2或x=-6.故选AD. 9.B　因为AC=BC,O为AB的中点,则OC⊥AB, 由圆锥的几何性质可知SO⊥平面ABC, 以点O为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则S(0,0,4),B(0,-2,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(0,0,2),N(0,1,1). 设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),=(2,2,0),=(0,2,4), 则 取y=-2,可得n=(2,-2,1), 又因为=(0,3,1),所以点N到平面SBC的距离为d=.故选B. 10.D　由正方体的性质知AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,且AB1⊂平面AB1D1,D1B1⊂平面AB1D1,DC1⊂平面BDC1,DB⊂平面BDC1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离. 以D为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示. 由正方体的棱长为1,所以A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1), 所以=(1,-1,1),=(0,-1,0),=(0,1,1),=(-1,-1,0). 连接A1C,由=(1,-1,1)·(0,1,1)=0,=(1,-1,1)·(-1,-1,0)=0, 所以CA1⊥AB1,CA1⊥B1D1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,且AB1∩B1D1=B1,可知CA1⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一个法向量为=(1,-1,1), 则两平面间的距离d===.故选D. 11.2　由题意知=(-4,1,0),依题意三棱柱的高即点A1到平面ABC的距离d. 设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量, 则 令x=1,解得y=4,z=, ∴n=(1,4,). ∴d==2. 12.　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B1(2,0,1),C1(2,2,1),=(2,2,1),因为点H,A,C1三点共线, 令=t=(2t,2t,t),点H(2t,2t,t),则=(2t-2,2t,t-1),又=0,则2t(2t-2)+4t2+t(t-1)=0,解得t=. 所以点H()到平面ABCD的距离为. 13.3　由=2+3可知||=,而=(2+3)·()=2-2+3-3=2-2×1×1×+3×1×1×-3×1×1×=1,因此点M到直线AB的距离d==3. 14. 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=(1,,-1),=(,1,-1),=(0,0,1).设平面PEF的法向量为n=(x,y,z), 则 解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3), 因此点D到平面PEF的距离为. (2)由(1)知=(-1,0,1),因为E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥AC, 又EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF, 所以AC∥平面PEF, 所以AC到平面PEF的距离为. 15. 解如图所示,=a+b,n=-(a+b),要使向量n=-(a+b)的长度最小,也就是线段MY的长度最短. 由点到平面距离的定义,当且仅当n⊥平面Oxy时,线段MY的长度最短.这时,由n=-(a+b)=(4-a,3-2b,3),=(1,0,0),=(0,2,0), 得 即解得 所以当n=-(a+b)的长度最小时,a=4,b=. 16. 解(1)连接BG,则BG是BE在平面ABD内的射影,即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 建立如图所示的空间直角坐标系,坐标原点为C. 设CA=2a(a>0),则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1), A1(2a,0,2),E(a,a,1),G. ∴=(0,-2a,1). ∴=-a2+=0,解得a=1. ∴=(2,-2,2),. ∴cos∠A1BG=. (2)由(1)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1),则=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0,=(0,0,2)·(-1,-1,0)=0,∴ED⊥平面AA1E. 又ED⊂平面AED,∴平面AED⊥平面AA1E. 又平面AED∩平面AA1E=AE, ∴点A1在平面AED上的射影K在AE上. 设=λ(λ∈R),则=(-λ,λ,λ-2).由=0,得λ+λ+λ-2=0,解得λ=. ∴. ∴||=. 故点A1到平面AED的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$