2.4.3 向量与夹角同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4.3　向量与夹角 A级 必备知识基础练 1.已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为(　　) A. B. C. D. 2.已知异面直线a,b的方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),则a,b夹角的大小是(　　) A. B. C. D. 3. 如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(　　) A.(1,1,1) B.(1,1,) C.(1,1,) D.(1,1,2) 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 5.如图,矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面,AB=2,AD=3,点E在上底面圆周上,且=2,则异面直线AE与O2C所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.在一个锐二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为　　　　　.  7. [人教B版教材例题]如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=1,AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. B级 关键能力提升练 8. 在如图所示的圆锥中,S是圆锥的顶点,正三角形ABC的顶点在底面圆周上,D是母线SA的中点,若该圆锥的母线长是底面半径的2倍,则异面直线AC与BD夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E在线段CD1上,若直线BE与AD1夹角的余弦值为,则线段BE的长为(　　) A. B. C. D. 10.[2024广东东莞高二月考]古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,AA1=3,AB=4,CD=2,点E为弧A1B1的中点,则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 11.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=AD=1,P为线段AD1上的动点,则PB1与平面BCC1B1所成角的余弦值的最小值为(　　) A. B. C. D. 12. 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为,则正四棱柱的高为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 13.(多选题)已知平面α的法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为α内一点.若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为(　　) A.2 B.1 C.-3 D.-6 14. 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2BC=2,AB=,E为CD中点. (1)求证:CD⊥平面PAE; (2)若PA=,求二面角A-PB-E的余弦值. 15. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AP∥CQ,AB=2BC=2,CQ=AP=3. (1)求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值; (2)求平面APQ与平面BPQ所成角的余弦值. 16. [2023全国新高考卷Ⅰ,18(2)]如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P. C级 学科素养创新练 17. 三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在棱A1B1上,且满足=λ(0≤λ≤1).求当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时λ的值. 参考答案 1.B　易知y轴的方向向量为m=(0,1,0),解得sin α=|cos<n,m>|=||=,则α=.故选B. 2.C　∵异面直线a,b的方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2).∴cos<m,n>==-.∵异面直线a,b夹角的取值范围为(0,], ∴a,b夹角的大小是.故选C. 3.A　设|PD|=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,), ∴=(0,0,a),=(-1,1,). ∵cos<>=,∴=a, ∴a=2,∴E的坐标为(1,1,1).故选A. 4.A　如图, 以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则A(2,0,0),E(2,1,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),=(0,2,0),=(-2,0,2),=(0,1,2), 设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z), 则 ∴令x=1,则n=(1,0,1). 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,于是直线AE与平面ABC1D1所成角的余弦值为.故选A. 5. B　根据题意可得O2为坐标原点,O2B,O2O1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则O2(0,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,3),E(,-,3),故=(,3),=(0,1,3),故cos<>=,故异面直线AE与O2C所成角的余弦值为.故选B. 6.　设这两个向量分别为a=(0,-1,3),b=(2,2,4), ∴a·b=0×2+(-1)×2+3×4=10,|a|=,|b|==2, ∴cos<a,b>=, ∴这个锐二面角的余弦值为. 7.解依题意,CA,CB,CC1两两互相垂直.以C为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2), 所以=(0,1,0),=(1,0,1),=(-1,0,1),=(0,-1,2). 设平面BDC的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则 令z1=1,则得x1=-1,y1=0,此时n=(-1,0,1). 设平面BDC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2), 则 令z2=1,则得x2=1,y2=2,此时m=(1,2,1).因为n·m=0,所以<n,m>=90°,从而可知平面BDC与平面BDC1所成角的大小为90°,也就是说,这两个平面是互相垂直的. 8. A　因为圆锥的母线长是底面半径的2倍,所以母线长与底面直径相等,设底面半径为1,以底面圆心O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(-,-,0),C(,-,0),D(0,),=(,-,0),=(,1,),则cos<>==-,故异面直线AC与BD所成角的余弦值为.故选A. 9.B　连接AD1,BE,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C(0,1,0).设E(0,t,1-t),则=(-1,0,1),=(-1,t-1,1-t).∵直线BE与AD1夹角的余弦值为,∴|cos<>|=, 解得t==(-1,-), ∴||=.故选B. 10.D　在 半圆柱下底面半圆所在平面内过点A作直线AB的垂线,由于AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,则以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,于是A(0,0,0),B(0,4,0),C(0,3,0),D(0,1,0),A1(0,0,3),B1(0,4,3),C1(0,3,3),D1(0,1,3), 又点E为弧A1B1的中点,则E(2,2,3),=(2,-2,0),=(0,-3,-3),=(2,-1,3), 设平面DEB1的法向量n=(x,y,z), 则令x=1,得n=(1,1,-1), 设直线CE与平面DEB1所成角为θ,则sin θ= |cos<,n>|== ,所以直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为. 故选D. 11. D　建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,2),P(a,0,2-2a)(0≤a≤1). ∵CD⊥平面BCC1B1,∴平面BCC1B1的法向量为=(0,1,0). ∵=(a-1,-1,-2a), 设PB1与平面BCC1B1所成角为α, ∴cos α= = = =. ∵5a2-2a+2=5, ∴(cos α)min=.故选D. 12. C　以D为原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建立空间坐标系如图所示,设DD1=a,则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,a),D1(0,0,a).则=(-2,2,0),=(-2,0,a),=(0,0,a), 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则 ∴ 令x=1可得n=(1,1,), 故cos<n,>=. ∵直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为, ∴,解得a=4.故选C. 13.AD 14. (1)证明连接AC,如图所示.在Rt△ABC中,AC==2,AC=AD,△ACD为等腰三角形,E为CD中点, ∴CD⊥AE. 又PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. 又CD⊥AE,且PA∩AE=A, ∴CD⊥平面PAE. (2)解以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(,0,0),P(0,0,),E(,0), ∴=(-,0,),=(,-). 又易知平面PAB的一个法向量m=(0,1,0), 设平面PBE的一个法向量为n=(x,y,z), 则 取n=(,1,),设二面角A-PB-E的平面角为θ, 则cos θ=, ∴二面角A-PB-E的余弦值为. 15.解(1)因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形, 以点A为坐标原点,DA,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,2),Q(-1,2,3),设平面BPQ的法向量为m=(x1,y1,z1),=(0,-2,2),=(-1,0,3), 由 取z1=1,可得m=(3,1,1),=(-1,0,-2), 则cos<,m>==-, 因此,直线PD与平面BPQ所成角的正弦值为. (2)设平面APQ的法向量为n=(x2,y2,z2),=(0,0,2),=(-1,2,3),由取y2=1,可得n=(2,1,0),cos<m,n>=. 因此,平面APQ与平面BPQ所成角的余弦值为. 16.解在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以点C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),设点P(0,2,a),其中0≤a≤4. =(2,2,-2),=(2,0,-1),=(0,2,a-3). 设平面A2C2D2的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 取x1=1,可得y1=1,z1=2,故n1=(1,1,2). 设平面PA2C2的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则取z2=2,可得x2=a-1,y2=3-a,故n2=(a-1,3-a,2). 因为二面角P-A2C2-D2为150°,所以|cos<n1,n2>|=,整理可得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3. 结合图形可知,当a=3或a=1时,B2P=1,此时二面角P-A2C2-D2为150°. 17. 解如图,以AB,AC,AA1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则P(λ,0,1),N(,0),=(-λ,,-1),平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1). 设直线PN与平面ABC所成的角为θ, ∴sin θ=, ∴当λ=时,(sin θ)max=,此时角θ最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$