2.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.3.2　空间向量运算的坐标表示 A级 必备知识基础练 1.已知向量m=(1,2,λ),n=(2,2,1),p=(2,1,1),满足条件(p-m)⊥n,则λ的值为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.若向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2),则2a-b=(　　) A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4) 3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=(　　) A.2 B.-2 C.-2或 D.2或- 4.(多选题)在四面体P-ABC中,P(0,0,3),A(2,2,5),B(1,3,2),C(3,1,2),则以下选项正确的有(　　) A.=(-1,1,-3) B.||=|| C. D.=11 5.(多选题)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),向量a与b平行,向量c与b垂直,则(　　) A.x=y=-1 B.z=1 C.a+c的模为5 D.向量a与b的夹角为180° 6.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·2b=-2,则x=　　　　　.  7.已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1). (1)若a∥c,求|c|; (2)若b⊥c,求cos<a,c>的值. B级 关键能力提升练 8.已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),则下列说法不正确的是(　　) A.a⊥b B.|a|>|b| C.cos<a+b,a>= D.|a+b|=|a-b| 9.(多选题)已知空间向量a=(1,1,1),b=(-1,0,2),则下列正确的是(　　) A.a+b=(0,1,3) B.|a|= C.a·b=2 D.<a,b>= 10.[2024山东烟台高二月考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BD1上,且=λ(0<λ<1).当∠APC为锐角时,实数λ的取值范围为(　　) A.0, B.,1 C.0, D.,1 11.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则<b,c>=　　　　　.  12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱B1C1,DD1上的点,如果BE⊥平面A1B1F,则C1E与D1F长度之和为　　　　　.  13.若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是　　　　　.  14.在空间直角坐标系A-xyz中,E(0,0,1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0). (1)求向量在向量上的投影. (2)是否存在实数a,使得点E,F,C,B共面?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. C级 学科素养创新练 15. 在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,得到四棱锥P-AEFG;第二步,将剩下的几何体沿平面ACF切开,得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中,为方便切割,需先在模型表面画出截面四边形AEFG,若,则的值为　　　　　.  16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于线段AB何处时,MN⊥MC1? 参考答案 1.A　因为p-m=(1,-1,1-λ),所以(p-m)·n=1×2+(-1)×2+(1-λ)×1=0,解得λ=1.故选A. 2.C　因为向量a=(2,0,-1),向量b=(0,1,-2), 所以2a-b=2(2,0,-1)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C. 3.C　因为a=(1,λ,2),b=(2,-1,2), 所以a·b=6-λ,|a|=,|b|==3, 由题知,3=6-λ,即55λ2+108λ-4=0,解得λ=-2或λ=.故选C. 4.AB　因为=(-1,1,-3),所以选项A正确; 因为=(-1,1,-3),=(1,-1,-3), 所以有||=,||=,因此选项B正确; 因为=(2,2,2),=(1,-1,-3),所以有=2-2-6=-6≠0,因此选项C不正确; 因为=(-1,1,-3),=(1,-1,-3),所以=-1-1+9=7,因此选项D不正确.故选AB. 5.ABD　因为向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),向量a与b平行,向量c与b垂直,所以b·c=0,a=λb,即解得故A,B选项正确; a+c=(2,2,3),|a+c|=,故C选项错误; 因为a=-b,所以向量a与b互为相反向量,夹角为180°,故D选项正确.故选ABD. 6.2　c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),由(c-a)·2b=-2得2(1-x)=-2,解得x=2. 7.解(1)空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1),因为a∥c,所以存在实数k,使得c=ka, 所以 解得x=1,则|c|=. (2)因为b⊥c,则b·c=-x+0-2=0,解得x=-2, 所以c=(-2,2,-1),故cos<a,c>=. 8.C　因为向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),所以a·b=-1×1+2×1+1×(-1)=0,故a⊥b,所以选项A正确; |a|=,|b|=,所以|a|>|b|,故选项B正确; a+b=(0,3,0),所以cos<a+b,a>=,故选项C错误; a-b=(-2,1,2),所以|a+b|=3,|a-b|=3,故|a+b|=|a-b|,所以选项D正确.故选C. 9.AB　∵向量a=(1,1,1),b=(-1,0,2), ∴a+b=(1,1,1)+(-1,0,2)=(0,1,3),则A正确; ∴|a|=,则B正确; ∴a·b=1×(-1)+1×0+1×2=1,则C错误; ∴cos<a,b>=≠cos,则D错误. 故选AB. 10.C　如图, 建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 则=(1,1,-1),所以=λ=(λ,λ,-λ), 所以=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1), 由图可知,∠APC≠0, 所以∠APC为锐角等价于cos∠APC>0, 所以=(1-λ,-λ,λ-1)·(-λ,1-λ,λ-1)=(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)>0, 又0<λ<1,解得0<λ<.故选C. 11.　(2a+b)·c=2a·c+b·c=-10, 又a·c=4,∴b·c=-18,又|c|=3,|b|=12, ∴cos<b,c>==-, ∵<b,c>∈[0,π],∴<b,c>=. 12. 1　设C1E=x(0≤x≤1),D1F=y(0≤y≤1),以D为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),E(x,1,1),F(0,0,1-y),A1(1,0,1),则=(x-1,0,1),=(1,0,y). 因为BE⊥平面A1B1F,所以BE⊥FA1,则=x-1+y=0⇒x+y=1,即C1E,D1F的长度和为1. 13.6　|a|=,|b|=.设θ为a与b的夹角,则cos θ==-,所以sin θ=. 所以S平行四边形=|a||b|sin θ=14×=6. 14.解(1)因为E(0,0,1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0),所以=(0,2,1),=(a-1,2,0). 所以向量在向量上的投影为. (2)=(1,0,-1),=(0,2,1),=(a-1,2,0),若点E,F,C,B共面,则存在实数x和y使得=x+y, 所以 解得 所以存在实数a=2使得点E,F,C,B共面. 15.　建立如图所示空间直角坐标系. 设P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,-a,0),C(-a,0,0)(a,b均不为0), 则=(0,a,-b),=(-a,0,-b),=(0,-a,-b),=(a,0,-b), 所以=0,,-,=-,0,-. 由题意A,E,F,G四点共面,则=x+y+z,其中x+y+z=1. 设=λ=(0,-aλ,-bλ),λ∈(0,1), 所以(a,0,-b)=x0,,-+y-,0,-+z(0,-aλ,-bλ)=--aλz,--bλz. 由方程组 即 解得λ=,即. 16. 解以A为坐标原点,棱AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为a,则M,C1(a,a,a). 设N(x,0,0),则. 由=xa-=0,得x=. 所以点N的坐标为,即N为线段AB的四等分点且靠近点A时,MN⊥MC1. 学科网（北京）股份有限公司 $$