广西南宁市第二中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题

南宁二中2024年8月高三开学考试 数学 （时间120分钟，共150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：∀x∈R，x2＜x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　） A. p，q B. ¬p，q C. p，¬q D. ¬p，¬q 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 12 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，设函数，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数则（ ） A. 的最小正周期为10 B. 的图象关于点对称 C. 在上有最小值 D. 的图象关于直线对称 10. 椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ） A. 椭圆C的焦距为2 B. 的周长为8 C. 椭圆C的离心率为 D. 的面积为 11. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则正数的值为______． 13. 寒假里名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排、、、、五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，共有_______种不同的坐法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为___________．（用数字作答） 14. 已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为______． 四、解答题（本题共6小题，其中16题18分，16、17题各16分，18、19题各17分，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）证明：； （2）若，，求a的值． 16. 已知函数（k为常数）． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，，M为BP的中点，平面． （1）求证：； （2）若，，．求平面与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线：过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值. （3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积. 19. 一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为. （1）求，； （2）设经过步到达点的概率为，求的值； （3）求. 南宁二中2024年8月高三开学考试 数学 （时间120分钟，共150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共6小题，其中16题18分，16、17题各16分，18、19题各17分，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） 由及正弦定理可得，， ， 即， 所以， 整理得， 即， 又，是的内角， 所以，， 所以或（舍去）， 即． （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，， 又，所以，所以，，，四点共面， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以． （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，，， 由消去x并整理得：，设， 则，而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. （3） 由（2）知，点，则，， 面积， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 【19题答案】 【答案】（1），，（2）当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $