2024年九年级中考数学复习讲义 二次函数与角综合问题

二次函数与角综合问题 二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题： （1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系 （2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形 2.角的数量关系问题 （1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题 3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答 一、固定角度（特殊角，如45°等） 1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 (m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，顶点为C点． （1）求点A和点B的坐标； （2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式． 2、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式；y=x²-4x-5 (2)直线l过点A与抛物线交于点P，当时，求点P的坐标； 3、如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD． （1）求抛物线的解析式；y= （2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标； 4、已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式；y=x²-2x-3 (2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标； 5、在平面直角坐标系中，抛物线与轴角于点，与x轴的正半轴交于点，点D在线段OB上，且，联结AD、将线段AD绕着点D顺时针旋转得到线段DE过点E作直线轴，垂足为H，交抛物线于点F． （1） 求这条抛物线的解析式； （2） 联结DF，求COS∠EDH的值； （3） 点G在直线上，且，求点G的坐标． 6、二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(−1，0)、B(4，0)． (1)求此二次函数的表达式；y=-x²+3x+4 (2)点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标． 7、如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C． （1）求抛物线与直线AB的解析式； （2）点M为坐标轴上的动点，当∠AMB＝45°时，求出点M的坐标． 8、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值； （3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9、抛物线与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；y=x²-2x-3 （2）点（n为任意实数），当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D到直线l的距离相等，求k的值； （3）M为抛物线在第二象限内一动点，若，求点M的横坐标的取值范围． 二、角度相等关系 1、如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式；y=-x²+2x+3 （2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 2、如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． （1）求抛物线解析式；y=-x²+2x+3 （2）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）． （1）求抛物线的解析式；y=-x²-2x+3 （2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长； 4、如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A在原点左侧，2CO=9AO，连接BC． (1)求点A坐标： (2)求该抛物线的解析式： (3)点D在该抛物线上，∠DCB=∠ABC，求出点D的坐标． 5、如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)． (1)求二次函数的表达式； (2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若∠PBC＝∠OAD，直接写出点P的坐标． 6、如图，为已知抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结． （1）求该抛物线的表达式；y=x²+6x+5 （2）点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 三、二倍角关系 1、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求D点的坐标； （3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，且以BO为边时，请直接写出所有符合条件的点E的坐标． 2、图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 3、如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式；y=x²-6x+5 （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；，y= --x-2 （2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标； （3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标． 四、角度加减关系 1、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB． （1）求该抛物线的解析式；y=-x²+2x+3 （2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标； 2、如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值； （3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标． 3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM． （1）求b的值及点M的坐标； b=3，M（3，-3） （2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°； 4、如图，已知抛物线（其中）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，且点D恰好在线段BC的垂直平分线上． （1）求抛物线的关系式；（需要计算） （2）过点的线段MN∥y轴，与BC交于点P，与抛物线交于点N．若点E是直线l上一点，且∠BED＝∠MNB－∠ACO时，求点E的坐标． 5、如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点（在左边），交轴于点． （1）求抛物线的解析式；y=x²-4x+3 （2）为抛物线上一动点，，求点的坐标； 固定角度 1、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点． (1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点； (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式； 2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3、如图1，抛物线与轴交于点（2，0）（6，0），与轴交于点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标． 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5、如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点B（3，0）． （1）求直线BC及抛物线的函数表达式； （2）P为x轴上方抛物线上一点． ①若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标； ②如图，PD∥y轴交BC于点D，DE∥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值； （3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标． 6、如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，2），B（8，0），点D是第一象限抛物线上的一点，CD⊥AB于点C． （1）直接写出抛物线的表达式 　 　； （2）如图1，当CD取得最大值时，求点D的坐标，并求CD的最大值； （3）如图2，点D满足（2）的条件，点P在x轴上，且∠APD＝45°，求出满足条件的P点坐标． 7、已知二次函数y＝x2+（k﹣2）x﹣2k． -（2）当k＞0时，直线y＝kx十2交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧），点P在线段AB上，过点P做PM垂直x轴于点M，交抛物线于点N． ①求PN的最大值（用含k的代数式表示）； ②若抛物线与x轴交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线y＝kx+2上是否存在唯一一点Q，使得∠EQO＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 8、如图，已知抛物线yx2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 角度相等 1、如图，抛物线经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)点D在y轴上，且，求点D的坐标； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 2、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标． （2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ． 3、抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标； 4、如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C， （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由． 5、如图1，抛物线交轴于，两点（在的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点在抛物线上，且满足，求点的坐标； 二倍角 1、已知二次函数y＝ax2+bx+6的图象开口向下，与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是该函数图象上的一个动点（不与点C重合）． （1）求二次函数的关系式； （2）如图1，当点P是该函数图象上一个动点且在线段AC的上方，若△PCA的面积为12，求点P的坐标； （3）如图2，该函数图象的顶点为D，在该函数图象上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由． 2、如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．直线经过点、． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接、，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3、如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由． 4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC； ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标． 角度加减 1、如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点． （1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标； （2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围； （3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接写出AM的长． 2、如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF． （1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式； （2）设点P的横坐标为m（0＜m＜3），在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值； （3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 3、在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC； ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$