2024年九年级数学中考总复习_几何选填

第2讲 几何选填 知识图谱 三视图 知识精讲 三视图 1、 长对正,高平齐,宽相等 2、 看得见部分的轮廓线画成实线；看不见部分的轮廓线画成虚线 三点剖析 一．考点：立体图形三视图   二．重难点：立体图形三视图及由三视图求解立体图形   三．易错点：1.画三视图时看不见的线应该用虚线； 2.三视图与立体图形的对应关系 题模精讲 题模一：三视图 例1.1.1 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　　） A. B. C. D. 例1.1.2 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D A.图A B.图B C.图C D.图D 例1.1.3 某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 例1.1.4 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 例1.1.5 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 例1.1.6 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 例1.1.7 将一个正方体沿图1所示切开，形成如图2的图形，则图2的左视图为（ ） A. B. C. D. 例1.1.8 一个几何体由几个相同的小正方体搭成，它的三视图如图所示，搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 随堂练习 随练1.1 如图几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 随练1.2 如图，立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 随练1.3 如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 随练1.4 如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 随练1.5 “2018年平昌冬季奥运会”的颁奖台如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 随练1.6 几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图及左视图如图所示，构成该几何体的小正方形体个数最多是（ ） 俯视图 左视图 A.5个 B.7个 C.8个 D.9个 随练1.7 由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图是 A. B. C. D. 平行相关计算 知识精讲 平行线的性质 1、两直线平行，同位角相等； 2、两直线平行，内错角相等； 3、两直线平行，同旁内角互补 4、两条平行线之间的距离：在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两平行线之间的距离． 5、拐点辅助线 平行类相似 1、平行线分线段成比例 梯型： 如图，，则有． “8”字型 如图，，则有． 2、相似三角形平行类相似模型 “A”型 如图，，则有． “8”字型 如图，，则有． 其他平行相关的性质定理等 1、中位线定理 2、平移的性质 3、角平分线、平行、等腰三角形   三点剖析 一．考点：熟练地运用所学知识计算角度和线段长   二．重难点：角之间的数量关系，线段之间的位置和数量关系   三．易错点：全等、相似中的对应关系 题模精讲 题模一：平行相关计算 例2.1.1 如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A.55° B.60° C.70° D.75° 例2.1.2 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=________． 例2.1.3 将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为____°． 例2.1.4 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放， 两个三角板的一直角边重合， 含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 例2.1.5 如图，，，，，则________． 例2.1.6 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 随堂练习 随练2.1 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 随练2.2 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A.， B. C.， D. 随练2.3 如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，EF⊥FH，FH与AB相交于点G，若∠CFE=40°，则∠EGF的度数为（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 随练2.4 如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB＝90°．若∠1＋∠B＝70°，则∠2的度数为（ ） A.20° B.40° C.30° D.25° 随练2.5 如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A＝35°，则∠ADC的度数（ ） A.105° B.115° C.125° D.135° 随练2.6 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，，DE=6，则EF=______． 平行四边形 知识精讲 一、平行四边形的性质 性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行 且相等 四个角 都是直角 对角线互相平分且相等 中心对称图形 轴对称图形 菱形 对边平行 且四边相等 对角相等 邻角互补 对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形 正方形 对边平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形 二、平行四边形的判定 四边形 判别条件 平行四边形 1、两组对边分别平行的四边形 2、两组对边分别相等的四边形 3、一组对边平行且相等的四边形 4、对角线互相平分的四边形 5、两组对角分别相等的四边形平行四边形 矩形 1、有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 菱形 1、一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 正方形 1、一组邻边相等的矩形是正方形 2、对角线互相垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、两条对角线相等的菱形是正方形 三、其他定理及公式 三角形中位线 1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2、性质：DE∥BC， 直角三角形斜边中线 1、斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 2、逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角 菱形面积公式 如下图：．   三点剖析 一．考点：1．平行四边形的性质；2．平行四边形的判定．   二．重难点：1．利用相关性质，求线段角度问题；2．选取合适的方法，灵活证明平行四边形．   三．易错点：1，特殊平行四边形之间的区别与联系；2.直角三角形斜边中线问题；3.菱形面积的计算 题模精讲 题模一：平行四边形综合 例3.1.1 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（－1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 例3.1.2 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ） A.（，1） B.（2，1） C.（1，） D.（2，） 例3.1.3 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点F，若BE=6，AB=5，则AF的长为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 例3.1.4 如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长为________． 例3.1.5 如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（ ） A.4 B.2 C.7 D.8 例3.1.6 如图，在直角坐标系中，正方形ABCO的点B坐标（3，3），点A、C分别在y轴、x轴上，对角线AC上一动点E，连接BE，过E作DE⊥BE交OC于点D．若点D坐标为（2，0），则点E坐标为________． 随堂练习 随练3.1 如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，AE=2ED，连接EB交AC于点F，若AC=10，则AF为______． 随练3.2 如图，▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE：EC=2：1，EF∥CD，交对角线AC于点G，则=_________． 随练3.3 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ） A.5 B.4 C. D. 随练3.4 如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　） A.（1，﹣1） B.（﹣1，﹣1） C.（，0） D.（0，﹣） 随练3.5 如图，▱ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为　 　． 随练3.6 如图，在□ABCD中，AB＝8，P、Q为对角线AC的三等分点，延长DP交AB于点M，延长MQ交CD于点N，则CN＝________． 圆相关计算 知识精讲 定理 内容 圆心角、弧、弦三者关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等． 若，则，，． 2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 圆周角定理 1.      定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2.      推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 垂径定理 1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3、应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． 切线的性质与判定 1.        性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 如图，由可得：①②，即：是的平分线． 圆内接四边形 圆内接四边形的性质 性质1：圆内接四边形的对角互补． 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．   三点剖析 一、考点 1、圆的性质及定理 2、圆中线段和角度的计算   二、重难点 1、垂径定理的应用 2、切线的计算与证明 3、圆周角及其推论   三、易错点 弦、弧、圆周角、圆心角之间的对应关系 题模精讲 题模一：圆相关计算 例4.1.1 已知：如图，，是的两条半径，且，点在上，则的度数为________． 例4.1.2 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为________． 例4.1.3 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为 ． 例4.1.4 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为 ． 例4.1.5 圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A=　　　　　　°． 例4.1.6 如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第24秒，点在量角器上对应的读数是________度． 例4.1.7 如图，已知直线是的切线，点为切点，交于点，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 例4.1.8 如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且==，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2，则⊙O的半径为（　　） A.2 B.4 C.2 D.4 随堂练习 随练4.1 如图，四边形内接于，，则（ ） A. B. C. D. 随练4.2 如图，已知AB是⊙O直径，BC是弦，∠ABC＝40°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB为（ ） A.20° B.25° C.30° D.35° 随练4.3 如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ） A. B. C. D. 随练4.4 如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　） A.60° B.45° C.35° D.30° 随练4.5 如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 随练4.6 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ） ①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③；④DE是⊙O的切线． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 能力拓展 拓展1 由6个小正方体搭成的几何体如图①所示，它的主视图是图②，则它的②俯视图为（ ） A. B. C. D. 拓展2 如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ） A. B. C. D. 拓展3 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ） A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.主视图和俯视图 拓展4 如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 拓展5 下面几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 拓展6 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 拓展7 如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1＝27°，则∠2的度数是（ ） A.53° B.63° C.73° D.83° 拓展8 如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠BCD＝140°，则∠ABC的度数为（ ） A.60° B.50° C.40° D.30° 拓展9 如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（　　） A.80° B.90° C.100° D.102° 拓展10 如图，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（　　） A.40° B.50° C.60° D.70° 拓展11 如图，若AB∥CD，∠C=60°，则∠A+∠E=　　度． 拓展12 如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ） A.2 B. C. D. 拓展13 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ） A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 拓展14 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为_________． 拓展15 在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB=10cm，AD=8cm，则OB=_______cm． 拓展16 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（ ） A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2 拓展17 如图，在▱ABCD中，DB=DC，∠C=58°，AE⊥BD于E，则∠DAE=　 　度． 拓展18 在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ） A. B. C. D. 拓展19 在平面内直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（　　） A.（）2016 B.（）2017 C.（）2016 D.（）2017 拓展20 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线与BA的延长线相交于点F，下列结论不一定正确的是（　　） A.∠CDB=∠BFD B.△BAC∽△OFD C.DF∥AC D.OD=BC 拓展21 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ） A. B. C.2 D.3 拓展22 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（ ） A.∠ACD B.∠ADB C.∠AED D.∠ACB 拓展23 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为（ ） A.40° B.50° C.80° D.100° 拓展24 如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为（　　） A.4 B.2 C.5 D.6 拓展25 如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是________°． 答案解析 三视图 题模精讲 题模一：三视图 例1.1.1 【答案】C 【解析】A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误； B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误； C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确； D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误； 例1.1.2 【答案】B 【解析】俯视图是从物体上面往下看到的平面图形，中间的竖线应是实线，故选B． 例1.1.3 【答案】D 【解析】从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1， D不符合， 例1.1.4 【答案】A 【解析】从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形． 例1.1.5 【答案】C 【解析】从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示． 例1.1.6 【答案】D 【解析】由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成． 例1.1.7 【答案】C 【解析】如图所示：图2的左视图为： ． 例1.1.8 【答案】B 【解析】综合三视图可知，这个几何体的底层应该有5个小正方体， 第二层应该有1个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是5+1=6个． 故选：B． 随堂练习 随练1.1 【答案】B 【解析】从上边看是左右并排的三个矩形，中间的矩形大 随练1.2 【答案】C 【解析】如图所示的立体图形的俯视图是C． 随练1.3 【答案】B 【解析】该几何体的左视图是： 随练1.4 【答案】D 【解析】所给图形的俯视图是选项所给的图形． 随练1.5 【答案】C 【解析】从上边看是水平排列的等宽的三个矩形． 随练1.6 【答案】B 【解析】由俯视图及左视图知，构成该几何体的小正方形体个数最多的情况如下： 随练1.7 【答案】B 平行相关计算 题模精讲 题模一：平行相关计算 例2.1.1 【答案】A 【解析】∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3的对顶角+∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°，∴∠4=180º－125º=55º，故选A． 例2.1.2 【答案】 【解析】∵DE//AC，∴DB︰AD=BE︰CE，∴4︰2=3︰EC，． 例2.1.3 【答案】15 【解析】 解：∵∠A=60°，∠F=45°， ∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°， ∵ED∥BC， ∴∠2=∠1=30°， ∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°． 故答案为：15°． 例2.1.4 【答案】A 【解析】如图，过点作， ， ， ， ， 而， ， ． 例2.1.5 【答案】4 【解析】∵， ∴，即， 解得，， ∴． 例2.1.6 【答案】B 【解析】如图， 过点作， ， ， ， ，， ， 随堂练习 随练2.1 【答案】C 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴， ∴。 随练2.2 【答案】D 【解析】∵四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点分别作，边上的高为，．则 （两纸条相同，纸条宽度相同）； ∵平行四边形中，，即， ∴，即．故B正确； ∴平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． ∴，（菱形的对角相等），故A正确； ，（平行四边形的对边相等），故C正确； 如果四边形是矩形时，该等式成立．故D不一定正确． 随练2.3 【答案】B 【解析】∵EF⊥FH， ∴∠EFG=90°， ∵∠CFE=40°， ∴∠GFD=50°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF=∠GFD=50° 随练2.4 【答案】A 【解析】∵∠3为三角形的外角， ∴∠3＝∠1＋∠B＝70°， ∵a∥b， ∴∠3＋∠4＋∠2＝180°， ∵∠4＝90°，∠3＝70°， ∴∠2＝20°． 随练2.5 【答案】C 【解析】∵BE∥AF，∠A＝35°， ∴∠B＝∠A＝35°， 又∵DC⊥BE， ∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝35°＋90°＝125°． 随练2.6 【答案】9 【解析】解：∵AD∥BE∥CF， ∴，即， ∴EF=9． 故答案为9． 平行四边形 题模精讲 题模一：平行四边形综合 例3.1.1 【答案】A 【解析】∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（－1，2）， ∴AH＝1，HO＝2， ∴Rt△AOH中，， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG＝∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO＝∠EOG， ∴∠AGO＝∠AOG， ∴， ∴， ∴． 例3.1.2 【答案】D 【解析】∵AD′=AD=2， AO=AB=1， ∴OD′==， ∵C′D′=2，C′D′∥AB， ∴C（2，） 例3.1.3 【答案】C 【解析】∵AF平分∠BAD，AD∥BC， ∴∠BAF=∠DAF=∠AFB， ∴AB=BF， ∵AE=AB，AH=AH， ∴△ABH≌△AEH， ∴∠AHB=∠AHE=90°，∠ABH=∠AEH=∠FBH，BH=HE=3， ∴Rt△ABH中，AH==4， ∴AF=2AH=8， 例3.1.4 【答案】13 【解析】因为正方形的面积为， 所以， 因为菱形的面积为， 所以， 所以菱形的边长． 例3.1.5 【答案】D 【解析】如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大， 在Rt△PNE中，PN=4，NE=MN=3， 根据勾股定理得：PE==5， 在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线， ∴AE=MN=3， 则AP的最大值为AE+EP=5+3=8． 例3.1.6 【答案】（1，2） 【解析】连接OE，过E作FH⊥OC于H，交AB于F， ∵四边形ABCO是正方形， ∴AB∥OC，∠OAB＝∠AOC＝90°，∠OAC＝∠BAC＝∠OCA＝45°，OA∥BC， ∵FH∥AB， ∴FH∥OA， ∴FH⊥OC，∠HEC＝∠OAC＝45°＝∠OCA，∠BFH＝∠OAB＝90°，∠DHE＝∠AOC＝90°， ∴EH＝CH＝BF， ∵DE⊥BE，FH⊥AB， ∴由角的互余关系得：∠EBF＝∠DEH， 在△BEF和△EDH中 ， ∴△BEF≌△EDH（ASA）， ∴BE＝DE， ∵点D坐标为（2，0）， ∴OD＝2， 由正方形的对称性质得：OE＝BE， ∵BE＝DE， ∴OE＝DE， ∵FH⊥OC， ∴， ∵△BEF≌△EDH， ∴EF＝DH＝1， ∵FH＝OA＝3， ∴EH＝3－1＝2， ∴点E的坐标为（1，2）， 随堂练习 随练3.1 【答案】4 【解析】在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC， ∵AE=2ED， ∴AE=AD=BC， ∵AD∥BC， ∴=， ∵AC=10， ∴AF=×10=4． 故答案为：4． 随练3.2 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD、BC∥AD，且AD=BC， ∵EF∥CD， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴BE=AF， ∵=2， ∴=、=， 设S△ECG=a 由BC∥AD知△ECG∽△FAG， 则=（）2，即=，则S△FAG=4a； 由EF∥AB知△ECG∽△BCA， 则=（）2，即=，则S△BCA=9a， ∴S四边形ABEG=S△BCA﹣S△ECG=8a， 则== 随练3.3 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB， ∴OM是△ADC的中位线， ∵OM＝3， ∴DC＝6， ∵AD＝BC＝10， ∴， ∴． 随练3.4 【答案】B 【解析】菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得 D点坐标为（1，1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得 45°×60=2700°， 2700°÷360=7.5周， OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1） 随练3.5 【答案】6 【解析】∵CF平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠BCE=∠DFC， ∴∠BCE=∠EFA， ∵BE∥CD， ∴∠E=∠DCF， ∴∠E=∠BCE， ∵AD∥BC， ∴∠BCE=∠EFA， ∴∠E=∠EFA， ∴AE=AF=AB=3， ∵AB=AE，AF∥BC， ∴△AEF∽△BEC， ∴， ∴BC=2AF=6． 故答案为：6． 随练3.6 【答案】2 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CNQ＝∠AMQ，∠NCQ＝∠MAQ， ∴△NQC∽△MQA， 同理得：△DPC∽△MPA， ∵P、Q为对角线AC的三等分点， ∴，， 设CN＝x，AM＝2x， ∴， x＝2， ∴CN＝2 圆相关计算 题模精讲 题模一：圆相关计算 例4.1.1 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴。 例4.1.2 【答案】 【解析】过点O作OD⊥BC于D， 则BC＝2BD， ∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补， ∴∠BOC＝2∠A，∠BOC＋∠A＝180°， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴， ∵⊙O的半径为4， ∴， ∴． 例4.1.3 【答案】62° 【解析】连接OB． 在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径）， ∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）； 又∵∠OAB=28°， ∴∠OBA=28°； ∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°； 而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∴∠C=62°； 故答案是：62°． 例4.1.4 【答案】100° 【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D=180°， ∴∠D=180°﹣130°=50°， 由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=100°， 故答案为：100°． 例4.1.5 【答案】40 【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD=180°﹣∠A， ∵∠CBF=∠A+∠E，∠DCB=∠CBF+∠F， ∴180°﹣∠A=∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A=∠A+40°+60°， 解得∠A=40°． 例4.1.6 【答案】144 【解析】连接， ， ，，在以点为圆心，为直径的圆上， 点，，，共圆， ， ． 点在量角器上对应的读数是：． 例4.1.7 【答案】D 【解析】为圆的切线， ，即， ， ， 与都对， ． 例4.1.8 【答案】D 【解析】连结BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵==， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=2， ∴AC=2CD=4， 在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2， 即（4）2+（AB）2=AB2， ∴AB=8， ∴⊙O的半径为4． 故选D． 随堂练习 随练4.1 【答案】A 【解析】∵四边形内接于， ∴， 由圆周角定理得，． 随练4.2 【答案】B 【解析】如图，OD交BC于E． ∵OD⊥BC， ∴∠OEB＝90°， ∵∠ABC＝40°， ∴∠BOD＝50°， ∴． 随练4.3 【答案】C 【解析】∵∠BAC与∠BOC互补， ∴∠BAC＋∠BOC＝180°， ∵∠BAC＝∠BOC， ∴∠BOC＝120°， 过O作OD⊥BC，垂足为D， ∴BD＝CD， ∵OB＝OC， ∴OB平分∠BOC， ∴∠DOC＝∠BOC＝60°， ∴∠OCD＝90°－60°＝30°， 在Rt△DOC中，OC＝2， ∴OD＝1， ∴DC＝， ∴BC＝2DC＝， 随练4.4 【答案】D 【解析】连结OC，如图， ∵， ∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°． 故选D． 随练4.5 【答案】C 【解析】设的度数，的度数； ∵四边形是平行四边形， ∴； ∵，；而， ∴， 解得：，，。 随练4.6 【答案】D 【解析】∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC，故①正确； 连接DO， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD， ∴△ACD≌△ABD（SAS）， ∴AC＝AB，∠C＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C，OD∥AC， ∴∠ODE＝∠CED， ∴ED是圆O的切线，故④正确； 由弦切角定理知，∠EDA＝∠B，故②正确； ∵点O是AB的中点，故③正确， 能力拓展 拓展1 【答案】C 【解析】从上面向下看，从左到右有二排，且其正方形的个数分别为3、2 拓展2 【答案】B 【解析】从几何体的左面看所得到的图形是：． 拓展3 【答案】B 【解析】根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图． 拓展4 【答案】D 【解析】该几何体的左视图是： 拓展5 【答案】D 【解析】从左边看是一个梯形加一个三角形 拓展6 【答案】B 【解析】结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角 拓展7 【答案】B 【解析】∵∠1＝27°， ∴∠3＝90°－∠1＝90°－27°＝63°． ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝63°． 拓展8 【答案】B 【解析】过点C作CG∥AB， 由题意可得：AB∥EF∥CG， 故∠B＝∠BCG， ∵CD⊥EF于点D， ∴∠GCD＝90°， ∵∠BCD＝140°． ∴∠BCG＝50°， ∴∠ABC＝50°． 拓展9 【答案】A 【解析】∵AB∥CD， ∴∠A=∠3=40°， ∵∠1=120°， ∴∠2=∠1﹣∠A=80°， 故选A． 拓展10 【答案】D 【解析】∵a∥b，∠3=40°， ∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2=∠4． ∵∠1=∠2， ∴∠2=×140°=70°， ∴∠4=∠2=70°． 故选D． 拓展11 【答案】60 【解析】∵AB∥CD，∴∠C与它的同位角相等， 根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和， 所以∠A+∠E=∠C=60度． 故填60． 拓展12 【答案】C 【解析】∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°， ∴∠AOP＝∠COP＝30°， ∵CP∥OA， ∴∠AOP＝∠CPO， ∴∠COP＝∠CPO， ∴OC＝CP＝2， ∵∠PCE＝∠AOB＝60°，PE⊥OB， ∴∠CPE＝30°， ∴， ∴， ∴， ∵PD⊥OA，点M是OP的中点， ∴． 拓展13 【答案】A 【解析】如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点， ∴ED是Rt△ABC的中位线， ∴ED∥FC．BC＝2DE， 又 EF∥DC， ∴四边形CDEF是平行四边形； ∴DC＝EF， ∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AB＝2DC， ∴四边形DCFE的周长＝AB＋BC， ∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm， ∴BC＝25﹣AB， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝（25﹣AB）2＋52， 解得，AB＝13cm 拓展14 【答案】110° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAE=∠1=20°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE=90°， ∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°． 拓展15 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8cm，OB=OD，OA=OC， ∵AC⊥BC， ∴AC===6（cm）， ∴OC=AC=3cm， ∴OB===（cm） 拓展16 【答案】C 【解析】A、正确．对角线相等是平行四边形的菱形． B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形． C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形． D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形． 拓展17 【答案】32 【解析】∵DC=BD， ∴∠C=∠DBC=58°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD=58°， ∵AE⊥BD于E， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE=32°， 故答案为：32． 拓展18 【答案】A 【解析】如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ED∥BC，BC＝AD， ∴△DEF∽△BCF， ∴， 设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k； ∴． 拓展19 【答案】A 【解析】∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°， ∴D1E1=C1D1sin30°=， 则B2C2===（）1， 同理可得：B3C3==（）2， 故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1， 则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016， 故选：A． 拓展20 【答案】D 【解析】∵AD是切线， ∴OD⊥DF，∵AC⊥OD， ∴DF∥AC，故C正确， ∴∠F=∠CAB， ∵∠CDB=∠CBA， ∴∠CDB=∠BFD，故A正确， ∵AB是直径， ∴∠AEO=∠ACB=90°， ∴OE∥BC， ∴△BAC∽△OAE，∵△OAE∽△OFD， ∴△BAC∽△OFD，故B正确， 无法证明OD=BC， 故选D． 拓展21 【答案】A 【解析】解：过点O作直线l的垂线，垂足为P，过P作⊙O的切线PQ，切点为Q，连接OQ，此时PQ为最小， ∴OP=3，OQ=2， ∵PQ切⊙O于点Q， ∴∠OQP=90°， 由勾股定理得：PQ=， 则PQ的最小值为， 拓展22 【答案】A 【解析】A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD， ∴∠ABD=∠ACD，故A选项正确； B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说， ∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误； C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误； D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说， ∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误； 故选：A． 拓展23 【答案】C 【解析】∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线， ∴∠OCD＝90°， ∵∠BCD＝50°， ∴∠OCB＝40°， ∴∠AOC＝80°． 拓展24 【答案】B 【解析】连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC， ∵直线AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB， ∵弦CD∥AB， ∴AH⊥CD， ∴CH=CD=×4=2， ∵⊙O的半径为， ∴OA=OC=， ∴OH==， ∴AH=OA+OH=+=4， ∴AC==2． ∵∠CDE=∠ADF， ∴=， ∴=， ∴EF=AC=2． 拓展25 【答案】40 【解析】连接OB， ∵∠A与∠BOC是所对的圆周角与圆心角，∠A＝50°， ∴∠BOC＝2∠A＝2×50°＝100°， ∵OB＝OC，OD⊥BC， ∴， 在Rt△DOC中， ∵∠ODC＝90°，∠DOC＝50°， ∴∠OCD＝90°－∠DOC＝90°－50°＝40°． 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$