精品解析：2024年江西省抚州市金溪县锦绣中学中考模拟预测数学试题

金溪县锦绣中学2024年中考适应性考试 数学试题卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意； B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C. 与不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4. 如图是由个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的（ ） A. 主视图会发生改变 B. 俯视图会发生改变 C. 左视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】A 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变． 故选． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 5. 如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图可知：垂直平分，得到，于是得到点O为的对称中心，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴点O为的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∴，故A正确； ∴四边形是菱形， ∴，故C正确； 与不一定相等，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 6. 如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：根据图象知，时，铁桶注满了水，，是一条斜线段，，是一条水平线段， 当时，长方体水池开始注入水；当时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当时，长方体水池满了水， ∴开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段， 观察函数图象，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 港珠澳大桥连接着香港、珠海与澳门，全长55000米，耗资1269亿元，是中国最长的跨海大桥．数据55000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数据55000用科学记数法表示为． 故答案为：． 8. 计算： __________． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算有理数的乘方，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 此题考查了有理数的乘方，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 故答案为：． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 如图（1），将边长为4的正方形纸片的阴影部分裁剪掉，剩余部分折成如图（2）所示的正方体，则正方体的体积是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．根据正方形的性质得到，，然后由等腰直角三角形的性质设，然后根据勾股定理表示出，，然后根据正方形的边长为4列方程求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵四边形，，是正方形， ∴，， 根据题意得，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方体的体积是． 故答案为：． 11. 已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键． 【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为∶． 12. 如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三角形时，的长为_________． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理及解方程等知识，由是等腰三解形，分三种情况：，作出图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三解形， 分三种情况：： ①当时，是等腰三解形； ②当时， ， 点的位置如图所示： 过点作于点，如图所示： 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线，即， 设，则， 在中，，即； 在中，，即； ，即，解得， ； 当时，如图所示： 由②中，可知是等腰直角三角形，即， 当时，，则，即是等腰直角三角形， ，则，解得； 综上所述，的长为，或， 故答案为：，或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知a，b为实数，，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）首先化简二次根式，特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）首先将变形为，然后代入求解即可． 此题考查了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，分式的求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ． 14. 在的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）． （1）如图1，作以为腰的锐角三角形； （2）如图2，作以为底的锐角三角形． 【答案】（1）如图1，即为所求（答案不唯一）． （2）如图2，即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． （2）根据等腰三角形的判定，使，且满足为锐角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥学生团员的先锋带头作用，某校组织部分九年级团员学生打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名团员志愿者中随机抽取两人． （1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是______事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率． 【答案】（1）必然 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、必然事件，熟练掌握列表法与树状图法、必然事件的定义是解答本题的关键． （1）根据必然事件的定义可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及乙、丁都被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是必然事件． 故答案为：必然． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中乙、丁都被抽中的结果有：乙丁，丁乙，共2种， ∴乙、丁都被抽中的概率为． 16. 如图，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，其中，． （1）求的值； （2）求一次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及由反比例函数性质求参数、待定系数法确定一次函数解析式、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）由反比例函数过点，将点代入解析式解方程即可得到答案； （2）设，如图所示，可知，由，利用两点之间距离公式列方程求解得到坐标，再由待定系数法确定函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， 设，由图可知， ， ，则， 或，解得或（正值舍去），则， 直线：， 将、代入解析式得，解得， 一次函数的解析式为． 17. 正方形和如图摆放，点在边上，交于点，，，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．过点作于点，根据正方形的性质证明，得，再证明，得，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象同时经过点，两点． （1）则______． （2）若． ①求反比例函数的解析式； ②延长AB交x轴于C点，求C点坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把，代入，求出m、n，再求比值； （2）过A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，并交DA延长线于E点，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出A、B的坐标，再求反比例函数和直线AB的解析式，就可以求出点C的坐标． 【小问1详解】 ∵，在反比例函数的图象上， ∴，， ， 故答案为：. 【小问2详解】 ①过A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，并交DA延长线于E点， ∴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∴．∴． 又，，∴．∴． 故反比例函数解析式为． ②法一：由①可知，，． 设直线AB解析式为，将A，B两点坐标代入， 得解得． 故．当时，．∴C点坐标为． 法二：延长EB交x轴于F点， ∵，，．∴． ∴． 故． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，构造相似三角形是解题的关键． 19. 如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 【答案】（1）AP=；（2）＜AP＜或AP=5． 【解析】 【分析】（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，由⊙P与边CD相切于点F，根据已知可推导得出△DPF∽△DAC，根据相似三角形对应边成比例即可求得AP长； （2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，利用面积法求出PG=，然后分两种情况①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点，②⊙P过点A、C、D三点，分别讨论即可得. 【详解】（1）如图2所示，连接PF， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==8. 设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x， ∵⊙P与边CD相切于点F， ∴PF⊥CD. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∵AB⊥AC， ∴AC⊥CD， ∴AC∥PF， ∴△DPF∽△DAC， ∴， ∴， ∴x=，即AP=； （2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3， S▱ABCD=×6×8×2=10PG， PG=， ①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， ②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， 此时AP=5， 综上所述，AP的值的取值范围是＜AP＜或AP=5． 故答案为＜AP＜或AP=5． 【点睛】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键. 20. 如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60m，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1m，HF段的长为1.50m，篮板底部支架HE的长为0.75m． (1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数． (2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1 m；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414) 【答案】（1）∠FHE＝60°；（2）篮板顶端 F 到地面的距离是 4.4 米． 【解析】 【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出cos∠FHE=，进而得出答案； （2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1 ）由题意可得：cos∠FHE＝，则∠FHE＝60°； （2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AG⊥FM 于 G， 在 Rt△ABC 中，tan∠ACB＝， ∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392， ∴GM＝AB＝2.2392， 在 Rt△AGF 中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝， ∴sin60°＝＝， ∴FG≈2.17（m）， ∴FM＝FG+GM≈4.4（米）， 答：篮板顶端 F 到地面的距离是 4.4 米． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）． 21. 如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，． （1）填空：的度数是_________，的长为_________； （2）求的面积； （3）如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值． 【答案】（1），5； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线性质和勾股定理分别求解即可； （2）由面积法求出，再利用勾股定理求，则的面积可求； （3）先证明，得到，利用，分别得到，进而计算，，在分别求出则问题可解； 【小问1详解】 解：∵是的直径，是的切线， ∴的度数是； ∵， ∴； 故答案为：，5； 【小问2详解】 如图， ∵是的直径， ∴， ， ∴由面积法， ∴ ， ； 【小问3详解】 方法一：如图， 由 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形 ， ∴， ∴， ， ， ， ． 方法二：如图 由 设 ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质和相似三角形的性质和判定，解答关键是根据条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质解答问题． 22. 如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）令．求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2） （3） 证明：过作于，连接，，，如图： 点为矩形的对称中心，过点， 为中点，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，而四边形与关于所在直线成轴对称，有，故，； （2）过作于，设，可知，，根据点为矩形的对称中心，可得，故，在中，，解得的值从而可得的长为； （3）过作于，连接，，，由点为矩形的对称中心，过点，可得为中点，，，证明，得，即，故，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于，如图： 设，则， ， ， 四边形是矩形， ，， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， ， 解得（此时大于，舍去）或， ； 的长为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 六、解答题（本大题共12分） 23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 【答案】（1）①，；②，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①在图1中，连接EF，三角形中位线定理和相似得到，，根据等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在图2中，根据含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解. （2）三角形中位线定理和相似得到，，结合勾股定理，即可求解； （3）证明：，，则，即可求解． 【详解】解：如图1、2、3、4，连接，则是的中位线， 则，，， ①， （1）如图1，在直角三角形能ABP中，， ∴， ； ②在图2中，在直角三角形能ABP中，，, ∴ 则，； （2）关系为：， 证明：如图3，由①得：，， 则； （3）在菱形中,分别为线段，的中点 ，， ，则， 同理，， ， ，， ，， 同理：， 则． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金溪县锦绣中学2024年中考适应性考试 数学试题卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图是由个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的（ ） A. 主视图会发生改变 B. 俯视图会发生改变 C. 左视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 5. 如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 港珠澳大桥连接着香港、珠海与澳门，全长55000米，耗资1269亿元，是中国最长的跨海大桥．数据55000用科学记数法表示为________． 8. 计算： __________． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 10. 如图（1），将边长为4的正方形纸片的阴影部分裁剪掉，剩余部分折成如图（2）所示的正方体，则正方体的体积是________． 11. 已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于_________． 12. 如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三角形时，的长为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知a，b为实数，，求的值． 14. 在的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）． （1）如图1，作以为腰的锐角三角形； （2）如图2，作以为底的锐角三角形． 15. 2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥学生团员的先锋带头作用，某校组织部分九年级团员学生打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名团员志愿者中随机抽取两人． （1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是______事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率． 16. 如图，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，其中，． （1）求的值； （2）求一次函数的解析式． 17. 正方形和如图摆放，点在边上，交于点，，，连接，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象同时经过点，两点． （1）则______． （2）若． ①求反比例函数的解析式； ②延长AB交x轴于C点，求C点坐标． 19. 如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长； （2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　． 20. 如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60m，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1m，HF段的长为1.50m，篮板底部支架HE的长为0.75m． (1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数． (2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1 m；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414) 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）． 21. 如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，． （1）填空：的度数是_________，的长为_________； （2）求的面积； （3）如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值． 22. 如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）令．求证：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $