湖北省武汉市武昌区武珞路中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷

2022-2023学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）有理数﹣2022的绝对值为（　　） A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣ 2．（3分）如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各组式或数中不是同类项的是（　　） A．52与25 B．﹣ab与﹣ba C．0.2a2b与a2b D．a2b3与﹣a3b2 4．（3分）在下列方程中，一元一次方程是（　　） A．2x2﹣5x﹣3＝0 B．2x﹣y＝0 C．x＝0 D．2x+﹣3＝0 5．（3分）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（　　） A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60° 6．（3分）如图，C是线段AB上一点，D是AC中点，E是CB中点，若AD＝3，AB＝10，则DE＝（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（　　） A． B． C． D． 8．（3分）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，最多可以制作（　　）张桌子． A．10 B．40 C．160 D．200 9．（3分）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝22°，则∠B'CD'的度数为（　　） A．48° B．46° C．44° D．42° 10．（3分）已知线段AB＝m，延长BA至点C，使，点D、E均为线段BA延长线上两点，且4BD＝3AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为（　　） A． B． C．或 D．m或 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝1，则a的值等于 　 　． 12．（3分）已知∠α＝59°20'，则∠α的余角等于 　 　． 13．（3分）一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．设每个房间需要粉刷的墙面面积为x m2，则可列正确的方程为　 　． 14．（3分）已知线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC：BC＝1：3，D为AC的中点，则BD的长为 　 　． 15．（3分）如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 正确的是 　 　． 16．（3分）记Sn＝a1+a2+a3+⋯+an，令称Tn为a1，a2…an这列数的“理想数”．已知a1，a2…a500的“理想数”为2505，那么24，a1，a2…，a500的“理想数”为 　 　． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣25）． （2）． 18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2，y＝﹣3． 19．（8分）解方程： （1） （2） 20．（8分）如图，已知A、B、C、D四点，请按要求作图，并解答． （1）画直线AB； （2）画射线DB； （3）连接AC与射线DB交于点P； （4）若点M是线段BD的中点，BP＝3，DP＝7，则MP＝　 　． 21．（8分）用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱装多少个产品？ 22．（10分）芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． （1）A种商品每件进价为 　 　元，每件B种商品利润率为 　 　． （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 23．（10分）O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足（a﹣20）2+|b+10|＝0． （1）写出a、b的值； （2）P是A右侧数轴上的一点，M是AP的中点．设P表示的数为x，求点M、B之间的距离； （3）若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，求几秒后C、D两点相距5个单位长度？ 24．（12分）已知：如图1，∠AOB＝30°，∠COB的补角是∠AOB的3倍， （1）求∠AOC的度数； （2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值； （3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果） 2022-2023学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）有理数﹣2022的绝对值为（　　） A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣ 【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案． 【解答】解：﹣2022的绝对值是2022． 故选：C． 2．（3分）如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三视图的知识得出结论即可． 【解答】解：由题意知，原几何体的俯视图为， 故选：D． 3．（3分）下列各组式或数中不是同类项的是（　　） A．52与25 B．﹣ab与﹣ba C．0.2a2b与a2b D．a2b3与﹣a3b2 【分析】利用同类项的定义判断即可． 【解答】解：不是同类项的是a2b3与﹣a3b2． 故选：D． 4．（3分）在下列方程中，一元一次方程是（　　） A．2x2﹣5x﹣3＝0 B．2x﹣y＝0 C．x＝0 D．2x+﹣3＝0 【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【解答】解：A．未知数的最高次数2次，不是一元一次方程，故本选项不合题意； B．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意； C．是一元一次方程，故本选项符合题意； D．不是整式方程，故本选项不合题意； 故选：C． 5．（3分）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（　　） A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60° 【分析】根据方向角的意义求出∠NOB即可． 【解答】解：由方向角的意义可知，∠AON＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON ＝90°﹣30° ＝60°， ∴OB的方向角为北偏西60°， 故选：B． 6．（3分）如图，C是线段AB上一点，D是AC中点，E是CB中点，若AD＝3，AB＝10，则DE＝（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 【分析】根据D是线段AC的中点得到，根据E是线段BC的中点得到，结合AB＝10即可得到答案． 【解答】解：∵D是线段AC的中点， ∴， ∵E是线段BC的中点， ∵AB＝10， ∴， 故选：B． 7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：+2＝． 故选：A． 8．（3分）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，最多可以制作（　　）张桌子． A．10 B．40 C．160 D．200 【分析】设用x m3木材制作桌面，则用（12﹣x）m3木材制作桌腿，利用制作桌腿的总数量是制作桌面总数量的4倍，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入20x中，即可求出结论． 【解答】解：设用x m3木材制作桌面，则用（12﹣x）m3木材制作桌腿， 根据题意得：4×20x＝400（12﹣x）， 解得：x＝10， ∴20x＝20×10＝200， ∴最多可以制作200张桌子． 故选：D． 9．（3分）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝22°，则∠B'CD'的度数为（　　） A．48° B．46° C．44° D．42° 【分析】由折叠的性质可得，∠BCF＝∠B′CF＝∠BCB′，∠DCE＝D′CE＝∠DCD′；可设∠D′CF＝α，∠B′CE＝β，则∠D′CE＝∠ECF+∠D′CF＝22°+α，∠B′CF＝∠ECF+∠B′CE＝22°+β，∠BCB′＝2∠B′CF＝2（22°+β），∠DCD′＝2∠D′CE＝2（22°+α）；∠BCD′＝90°﹣∠DCD′＝90°﹣2（22°+α），∠DCB′＝90°﹣∠BCB′＝90°﹣2（22°+β），∠B′CD′＝∠D′CF+∠ECF+∠B′CE＝α+22°+β；令∠B′CD′＝α+22°+β＝θ，根据∠B′CD′＝90°﹣（∠BCD′+∠DCB′），可列式：α+22°+β＝90°﹣[90°﹣2（22°+α）]﹣[90°﹣2（22°+β）]，整理可得：α+22°+β＝2（α+22°+β）﹣46°，即θ＝2θ﹣46°，解得：θ＝46°，进而可得∠B'CD'＝46°． 【解答】解：由折叠的性质可得，∠BCF＝∠B′CF＝∠BCB′，∠DCE＝D′CE＝∠DCD′， ∵纸片ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 设∠D′CF＝α，∠B′CE＝β，则： ∠D′CE＝∠ECF+∠D′CF＝22°+α， ∠B′CF＝∠ECF+∠B′CE＝22°+β， ∠BCB′＝2∠B′CF＝2（22°+β）， ∠DCD′＝2∠D′CE＝2（22°+α）； ∠BCD′＝90°﹣∠DCD′＝90°﹣2（22°+α）， ∠DCB′＝90°﹣∠BCB′＝90°﹣2（22°+β）， ∠B′CD′＝∠D′CF+∠ECF+∠B′CE＝α+22°+β； 令∠B′CD′＝α+22°+β＝θ， ∵∠B′CD′＝90°﹣（∠BCD′+∠DCB′）， ∴α+22°+β＝90°﹣[90°﹣2（22°+α）]﹣[90°﹣2（22°+β）]，整理可得：α+22°+β＝2（α+22°+β）﹣46°，即θ＝2θ﹣46°，解得：θ＝46°， ∴∠B′CD′＝θ＝46°． 故选：B． 10．（3分）已知线段AB＝m，延长BA至点C，使，点D、E均为线段BA延长线上两点，且4BD＝3AE，M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为（　　） A． B． C．或 D．m或 【分析】由点C是线段BD的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【解答】解：∵AB＝m，，N是线段AB的中点， ∴CB＝m，AN＝BN＝AB＝m， ①若BC＝BD，如图1所示： ∵CB＝m， ∴BD＝2m， ∵4BD＝3AE， ∴AE＝m， ∴DE＝AE﹣AD＝m﹣1m＝m， ∵M是线段DE的中点，N是线段AB的中点， ∴DM＝ME＝DE＝m，BN＝AB＝m． ∴MN＝BE﹣DM﹣BN＝+1﹣﹣＝m； ②若BC＝BD，如图： ∴BD＝3BC＝4m， ∵4BD＝3AE， ∴AE＝m， ∴DE＝AE﹣AD＝﹣3＝m， ∵M是线段DE的中点，N是线段AB的中点， ∴DM＝ME＝DE＝m，BN＝AB＝m． ∴MN＝BE﹣EM﹣BN＝﹣﹣＝m， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝1，则a的值等于 　2　． 【分析】将x＝1代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【解答】解：把x＝1代入方程2x+a﹣4＝0得， 2×1+a﹣4＝0，解得：a＝2， 故答案为：2． 12．（3分）已知∠α＝59°20'，则∠α的余角等于 　30°40′　． 【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，因此即可计算． 【解答】解：90°﹣∠α＝90°﹣59°20′＝30°40′． ∴∠α的余角等于30°40′． 故答案为：30°40′． 13．（3分）一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面．设每个房间需要粉刷的墙面面积为x m2，则可列正确的方程为　（﹣10）×5＝10x+40　． 【分析】设每个房间需要粉刷的墙面面积为x m2，根据题意求出一级技工每天粉刷的面积，然后根据二级技工一共分刷了10个房间的面积+40m2墙面，列方程即可． 【解答】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为x m2， 由题意得，（﹣10）×5＝10x+40． 故答案为：（﹣10）×5＝10x+40． 14．（3分）已知线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC：BC＝1：3，D为AC的中点，则BD的长为 　或　． 【分析】认真读懂题意，可知道符合题意的点C有两种情况，BD也有两种可能，分别计算BD的长． 【解答】解：如图， ∵线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC：BC＝1：3， ∴BC＝AB﹣AC＝30﹣AC， ∴＝， ∴AC＝7.5， ∵D为AC的中点， ∴DA＝AC＝， ∴BD＝AB﹣DA＝30﹣＝； 如图， ∵线段AB＝30，直线AB上有一点C，且AC：BC＝1：3， ∴BC＝AB+AC＝30+AC， ∴＝， ∴AC＝15， ∵D为AC的中点， ∴CD＝AD＝AC＝×15＝， ∴BD＝AB+AD＝30+＝， 综上所述，BD的长为或． 故答案为：或． 15．（3分）如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 正确的是 　①②③　． 【分析】在①中，从以OA为边，以OM为边，以OC为边，以OB为边，以ON为边，数出有几个角即可． 在②中，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m，再换算即可． 在③中，由M为AB的中点，N为CD的中点，得AM＝AB，ND＝CD，再换算即可． 在④中，设MC＝CB＝x，设BN＝y，再换算即可． 【解答】解：在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角有4个，以OC为边的角有3个，以OB为边的角有2个，以ON为边的角有1个，一共有15个， 故①正确． 在②中，如图，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， 可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m， ∵∠AOD＝5∠COB， ∴2α+2β+m＝5m， ∴α+β＝2m． ∵∠MON＝∠2+∠5+∠4＝α+β+m＝3m， （∠MOC+∠BON）＝（∠2+∠4）＝（α+β）＝3m， ∴， 故②正确． 在③中， ∵M为AB的中点，N为CD的中点， ∴AM＝AB，ND＝CD， ∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD﹣（AB+CD）＝AD﹣（AC+CB+CD）＝AD﹣（AD+BC）＝（AD﹣BC）， 故③正确． 在④中， ∵MC＝CB， ∴设MC＝CB＝x， 设BN＝y， ∴MN＝ND＝2x+y， ∵CD＝CB+BN+ND＝3x+2y， 2CN＝2（x+y）＝2x+2y， ∴CD≠2CN， 故④错误． 综上所述，正确的①②③， 故答案为：①②③． 16．（3分）记Sn＝a1+a2+a3+⋯+an，令称Tn为a1，a2…an这列数的“理想数”．已知a1，a2…a500的“理想数”为2505，那么24，a1，a2…，a500的“理想数”为 　2524　． 【分析】本题先根据得出n×Tn＝s1+s2+s3+..．+sn，再根据a1，a2，…，a500的“理想数”为2505，得出T500＝2505，再设出新的“理想数”代入式子求值即可． 【解答】解：∵， ∴n×Tn＝s1+s2+s3+..．+sn， 设新的“理想数”为Tx， 则501×Tx＝24×501+500×T500， 即Tx＝＝＝2524． 故答案为：2524． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣25）． （2）． 【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）+（﹣25） ＝12+18﹣7﹣25 ＝30﹣7﹣25 ＝﹣2； （2） ＝1×5﹣8×× ＝5﹣8 ＝﹣3． 18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2，y＝﹣3． 【分析】先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， 原式＝ ＝ ＝﹣12+15 ＝3． 19．（8分）解方程： （1） （2） 【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）移项，得：x﹣x＝1+3， 合并同类项，得：﹣x＝4， 系数化为1，得：x＝﹣8； （2）去分母，得：3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7）， 去括号，得：9y﹣3﹣12＝10y﹣14， 移项，得：9y﹣10y＝﹣14+3+12， 合并同类项，得：﹣y＝1， 系数化为1，得：y＝﹣1． 20．（8分）如图，已知A、B、C、D四点，请按要求作图，并解答． （1）画直线AB； （2）画射线DB； （3）连接AC与射线DB交于点P； （4）若点M是线段BD的中点，BP＝3，DP＝7，则MP＝　2　． 【分析】（1）（2）（3）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可； （4）求出DM，根据PM＝DP﹣DM，即可． 【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求； （2）如图，射线DB即为所求； （3）如图，线段AC，点P即为所求； （4）∵BP＝3，DP＝3， ∴DB＝DP+PB＝10， ∵DM＝MB， ∴DM＝BM＝5， ∴MP＝PD﹣DM＝7﹣5＝2， 故答案为：2． 21．（8分）用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱装多少个产品？ 【分析】设B型机器一天生产x个产品，则A型机器一天生产（x+1）个产品，根据每箱产品的个数的一定的，列方程求解． 【解答】解：设B型机器一天生产x个产品，则A型机器一天生产（x+1）个产品， 由题意得，＝， 解得：x＝19， 7x﹣1＝132， 132÷11＝12（个）． 答：每箱装12个产品． 22．（10分）芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． （1）A种商品每件进价为 　40　元，每件B种商品利润率为 　60%　． （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【分析】（1）设A种商品每件进价为x元，根据A的利润率为50%，求出x的值； （2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）设A种商品每件进价为x元， 则（60﹣x）＝50%x， 解得：x＝40． 故A种商品每件进价为40元； 每件B种商品利润率为（80﹣50）÷50＝60%． 故答案为：40；60%； （2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件， 由题意得，40x+50（50﹣x）＝2100， 解得：x＝40． 即购进A种商品40件，B种商品10件． （3）设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得0.9y＝522， 解得：y＝580； ②打折前购物金额超过600元， 600×0.8+（y﹣600）×0.7＝522， 解得：y＝660． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元． 23．（10分）O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足（a﹣20）2+|b+10|＝0． （1）写出a、b的值； （2）P是A右侧数轴上的一点，M是AP的中点．设P表示的数为x，求点M、B之间的距离； （3）若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，求几秒后C、D两点相距5个单位长度？ 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值； （2）由点A，P表示的数可找出点M表示的数，再结合点B表示的数可求出点M、B之间的距离； （3）当0≤t≤时，点C表示的数为3t，当＜t≤时，点C表示的数为20﹣3（t﹣）＝40﹣3t；当0≤t≤5时，点D表示的数为﹣2t，当5＜t≤20时，点D表示的数为﹣10+2（t﹣5）＝2t﹣20．分0≤t≤5，5＜t≤及＜t≤三种情况，利用CD＝5可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（a﹣20）2+|b+10|＝0， ∴a﹣20＝0，b+10＝0， ∴a＝20，b＝﹣10． （2）∵设P表示的数为x，点A表示的数为20，M是AP的中点． ∴点M表示的数为． 又∵点B表示的数为﹣10， ∴BM＝﹣（﹣10）＝20+． （3）当0≤t≤时，点C表示的数为3t，当＜t≤时，点C表示的数为20﹣3（t﹣）＝40﹣3t； 当0≤t≤5时，点D表示的数为﹣2t，当5＜t≤20时，点D表示的数为﹣10+2（t﹣5）＝2t﹣20． 当0≤t≤5时，CD＝3t﹣（﹣2t）＝5， 解得：t＝1； 当5＜t≤时，CD＝3t﹣（2t﹣20）＝5， 解得：t＝﹣15（舍去）； 当＜t≤时，CD＝|40﹣3t﹣（2t﹣20）|＝5， 即60﹣5t＝5或60﹣5t＝﹣5， 解得：t＝11或t＝13． 答：1秒、11秒或13秒后，C、D两点相距5个单位长度． 24．（12分）已知：如图1，∠AOB＝30°，∠COB的补角是∠AOB的3倍， （1）求∠AOC的度数； （2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值； （3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果） 【分析】（1）由题意可得，∠AOB＝∠AOC，可直接求解； （2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①OP逆时针运动时，OP，OQ相遇前和相遇后；②OP顺时针旋转，OP，OQ相遇前和相遇后，分别画图求解即可； （3）根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，③∠CON＝180°前，④OP与OQ重合前，画出图形，结合角平分线求解即可． 【解答】解：（1）∠BOC＝∠AOC，∠BOC+∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∵∠AOB＝30°， ∴∠AOC＝120°； （2）由（1）知，∠AOC＝120°，∠BOC＝90°， ①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时， 由OP，OQ的运动可知，∠AOP＝10°t，∠BOQ＝6°t， OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ＝∠AOP+∠POQ＝∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°＝30°+6°t，解得t＝5， OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP＝∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t＝30°+6°t+10°，解得t＝10； ②OP顺时针旋转时，∠COP＝10°t﹣120°，∠BOQ＝6°t， OP，OQ相遇前，如图（3），∠BOC＝∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t+10°，解得t＝12.5， OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC＝∠COP+∠BOQ﹣∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t﹣10°，解得t＝13.75， 综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ＝10°． （3）由（1）知∠AOC＝120°， 根据射线OP的运动，需要分四种情况， ①当射线OP与OA重合前，如图3（1）， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP， ∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝∠AOC＝60°； ②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2）， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP， ∴∠MON＝∠POM﹣∠PON＝∠AOP﹣∠COP＝∠AOC＝60°； ③∠CON＝180°前，如图3（3）， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP， ∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝（360°﹣∠AOC）＝120°； ④OP与OQ重合前，如图3（4）， ∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP， ∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP， ∴∠MON＝∠PON﹣∠POM＝∠COP+∠AOP＝∠AOC＝60°； 综上，∠MON的度数为60°或120°． 学科网（北京）股份有限公司 $$