精品解析：2024年河北省秦皇岛市北戴河区中考二模数学试题

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试 数学赢考卷B 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效． 答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分；7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 3. 计算(-2ab)(3a2b2)3的结果是（ ） A. -6a3b3 B. 54a7b7 C. -6a7b7 D. -54a7b7 4. 已知，则 的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意整数n，多项式（n+7）2-（n-3）2的值都能（　　） A. 被20整除 B. 被7整除 C. 被21整除 D. 被n+4整除 7. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 A. B. C. D. 8. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 10. 2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点．若的周长是18，则的两条对角线的和是（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 12. 如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，，，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 14. 一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（　　） A. B. C. D. 15. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 或 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______. 18. 七（1）班的学生分成三个小组，利用星期日的时间去参加公益活动，第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半． （1）七（1）班共有__________名学生； （2）若七（1）班共有45名学生，则的值为_________． 19. 如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则的长为______； ______． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：； （2）若请推算请推算□内的符号； （3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 21. 小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为：____________________________． （2）利用（1）中的结论，试求：当 时， ． （3）利用（1）中的结论，试求：当 时，的值． 22. 为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升） （1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比； （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计跳长绳方案 素材1：图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米． 素材2：某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米． 问题解决： 任务1：确定长绳形状 如图2，以地面所在直线为x轴，以绳子的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，按中间高两边低的方式居中安排站位，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？请说明理由． 任务3：拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，该队以两路纵队并排的方式安排队员，并按中间高两边低的方式居中安排站位．求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围． 24. 问题情境：如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图(2)，筒车涉水宽度，筒车涉水深度(劣弧中点到水面的距离)是．筒车开始工作时，上C处的某盛水筒到水面的距离是，经过后该盛水筒旋转到点D处． 问题解决： （1）求该筒车半径r的大小； （2）当盛水筒旋转至D处时，求它到水面的距离． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴，轴分别相交于点 ，点 ，点 是线段的中点，动点 从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动，设运动的时间为 秒，连接． （1）求直线 的函数解析式． （2）请直接写出点 的坐标________________．（用含 的代数式表示） （3）①当 时，求 的值． ②将 沿翻折，使点落在点 ，当 平行于坐标轴时，请直接写出 的值． 26. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省初中毕业生升学文化课考试 数学赢考卷B 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效． 答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分；7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 3. 计算(-2ab)(3a2b2)3的结果是（ ） A. -6a3b3 B. 54a7b7 C. -6a7b7 D. -54a7b7 【答案】D 【解析】 【分析】先运用积的乘方，再运用单项式乘单项式求解即可． 【详解】（-2ab）（3a2b2）3=-2ab•27a6b6=-54a7b7， 故选D． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方及单项式乘单项式，解题的关键是熟记运算法则． 4. 已知，则 的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，非负数的性质，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0． 把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到，的值，代入求值即可． 【详解】解：由，得 ， 则，， ． 故选：C． 5. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵直角三角形两条直角边分别是，， ∴斜边， ∵要做一个与其相似的三角形木架， ∴两个三角形对应边成比例， ∵直角三角形中斜边最大， ∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为， 则有2种情况， ①，解得：， ②，解得：， ∴另两边中长度最大的一边最多可达到， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键． 6. 对于任意整数n，多项式（n+7）2-（n-3）2的值都能（　　） A. 被20整除 B. 被7整除 C. 被21整除 D. 被n+4整除 【答案】A 【解析】 【分析】观察多项式，是平方差的形式，则可用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式. 【详解】由知： 原式= 则由可知，多项式可被20和（n+2）整除 故答案为A 【点睛】本题考查了多项式运用平方差公式进行因式分解后的实际应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式. 7. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于边长为（2m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为m，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】依题意得剩余部分为： (2m+3)2−(m+3)2=4m2+12m+9−m2−6m−9=3m2+6m， 而拼成的矩形一边长为m， ∴另一边长是(3m2+6m)÷m=3m+6. 故答案选：B. 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握平方差公式. 8. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 9. 如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，利用轴对称的性质可得，从而得出当共线时，的最小值为，然后利用直角三角形斜边中线的性质求出，证明，为等边三角形，即可求解． 【详解】解：取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T， ， ∵正六边形关于直线对称， ∴，也关于直线对称， ∴， ∵，O为中点， ∴， ∴， 当共线时，， ∴的最小值为， ∵正六边形的边长为2， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，O为中点，Q为中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，添加合适的辅助线，证明，为等边三角形是解题的关键． 10. 2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：71.1万人次即711000人次， ， 故选：B． 11. 如图，的对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点．若的周长是18，则的两条对角线的和是（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由点E、F分别是线段、的中点，若，根据三角形中位线的性质，可求得的长，又由四边形是平行四边形，可求得的长，然后由的周长是，求得，继而求得答案． 【详解】解：由题意知，是的中位线，， 又的周长是18， ， 由平行四边形的对角线互相平分，可得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质，平行四边形的对角线互相平分及整体思想是解题的关键． 12. 如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意； B、含有“田”字形，，故本选项不符合题意； C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了几何体的折叠和展开图形，熟练掌握“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图是解题的关键． 13. 如图，，，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故③正确； ， ∴，即：；故④正确； 与明显不相等，故②错误； 故选B． 14. 一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实际问题中的函数关系所表示的函数图象，读懂题意，明确图象中横轴、纵轴所表示的意义是解题的关键.解答本题需要分段讨论，通过研究每段函数图象的特点，即可选出正确的答案． 【详解】分三段考虑：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加； ②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变； ③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加． 综合上述分析可知B选项中的图象符合题意． 15. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长比宽多步，则长为步，宽为步，再根据矩形面积公式，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键． 【详解】解：设长比宽多步， 由题意得，， 故选B． 16. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线y＝﹣x2+4x+2m，得到顶点坐标为（2，2m+4），根据两条抛物线关于x轴对称，得到另一条抛物线顶点坐标为（2，﹣2m﹣4），根据两顶点相距6个单位长度，得到关于m的绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m， ∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4）， ∴关于x轴对称的抛物线的顶点 ∵它们的顶点相距6个单位长度． ∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6， ∴4m+8＝±6， 当4m+8＝6时，m＝， 当4m+8＝﹣6时，m＝， ∴m的值是或． 故选：D． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，轴对称，坐标系内线段的表示，根据题意得到关于m的绝对值方程是解题关键． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______. 【答案】16 【解析】 【分析】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，由已知则可得H(-1，0)，DH=4，根据点A(-4，0)，可得AH=3，要卖勾股定理可求得AD长，再根据菱形的性质可得DC=AD=5，DC//AB，根据平移的性质可得C(4，4)，再利用待定系数法即可求得答案. 【详解】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则∠AHD=90°， 又∵D(-1，4)， ∴H(-1，0)，DH=4， ∵A(-4，0)， ∴AH=3， ∴AD==5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC=AD=5，DC//AB， ∴C(4，4)， ∵反比例函数的图象恰好经过点C， ∴4=， ∴k=16， 故答案为16. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，点的平移等知识，求出菱形的边长是解题的关键. 18. 七（1）班的学生分成三个小组，利用星期日的时间去参加公益活动，第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半． （1）七（1）班共有__________名学生； （2）若七（1）班共有45名学生，则的值为_________． 【答案】 ①. ②. 15 【解析】 【分析】本题考查列代数式、整式加减运算等知识，根据第一组有学生名，得到第二组的学生人数和第三组的学生人数，三组人数求和即可得到七（1）班学生总数；再由七（1）班共有45名学生，列方程求解即可得到答案，读懂题意，列出代数式及一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：（1）第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半， 第二组的学生人数是人；第三组的学生人数是人， 七（1）班共有名学生； （2）七（1）班共有45名学生， ， 解得； 故答案为：（1）；（2）15． 19. 如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则的长为______； ______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，勾股定理，弧长公式，熟练掌握正多边形与圆的综合性质是解题关键． 先根据正八边形的性质得出，再根据弧长公式求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是正八边形的外接圆， ∴， ∴， ∵的半径是1， ； 在中，根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：； （2）若请推算请推算□内的符号； （3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 【答案】（1）-12；（2）-； （3）这个最小数是﹣20， 理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴1□2□6的结果是负数即可， ∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11， ∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20， ∴这个最小数是﹣20． 【解析】 【分析】（1）根据有理数的加减法法则解答即可； （2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； （3）先写出结果，然后说明理由即可． 【详解】（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12； （2）∵1÷2×6□9=﹣6， ∴16□9=﹣6， ∴3□9=﹣6， ∴□内的符号是“﹣”； （3）略 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． 21. 小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为：____________________________． （2）利用（1）中的结论，试求：当 时， ． （3）利用（1）中的结论，试求：当 时，的值． 【答案】（1） （2）14 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何背景及其应用，正确利用完全平方公式是解题关键． （1）直接利用小正方形面积得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形求出答案； （3）利用多项式乘法将已知变形，进而求出答案． 【小问1详解】 解：根据小正方形的面积可得：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：14． 【小问3详解】 解：设， 则，，． 所以 ． 22. 为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升） （1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比； （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量． 【答案】（1）平均数为800升，中位数为800升；（2）12.5%；（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，一个月估计可以节约用水3000升． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平均数和中位数的定义求解可得； （2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得； （3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所． 试题解析：解：（1）这7天内小申家每天用水量的平均数为（815+780+800+785+790+825+805）÷7=800（升）， 将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825， ∴用水量的中位数为800升； （2）×100%=12.5%． 答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%； （3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3000升． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计跳长绳方案 素材1：图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米． 素材2：某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米． 问题解决： 任务1：确定长绳形状 如图2，以地面所在直线为x轴，以绳子的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，按中间高两边低的方式居中安排站位，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？请说明理由． 任务3：拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，该队以两路纵队并排的方式安排队员，并按中间高两边低的方式居中安排站位．求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围． 【答案】任务一：； 任务二：绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴10名同学，以y轴为对称轴，分布在y轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，人与人之间距离至少0.5米, ∴y轴左侧的3位男同学所在位置横坐标分布是，，， y轴左侧的2位女同学所在位置横坐标分布是，，      当时，， ∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶， 当时，， ∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶， ∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶．    任务三：． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来． 任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； 任务二：求出当时，当时，的函数值，再和队员身高比较即可； 任务三：两路并排，一排5人，求出时，则，，即可得到答案． 【详解】解：任务一：如图： 设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． 任务二：略 任务三： 两路并排，一排5人，男生有6名，身高1.70米至1.80米，女生有4名，身高1.66米至1.68米，将女生身高最小的安排在队伍的两边， ∴当时，， 解得，， ∵人与人之间距离至少0.5米，如图所示， 当最高的站中间，身高从两边依次减小时，左起第一位的横坐标为，第二位的横坐标为， 当时，， ∴． 24. 问题情境：如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图(2)，筒车涉水宽度，筒车涉水深度(劣弧中点到水面的距离)是．筒车开始工作时，上C处的某盛水筒到水面的距离是，经过后该盛水筒旋转到点D处． 问题解决： （1）求该筒车半径r的大小； （2）当盛水筒旋转至D处时，求它到水面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）连接，过点作，垂足为，与劣弧交于点，设半径为，得到，根据垂径定理可得，根据勾股定理得出答案． （2）过点作，过点作，根据题意得到，由勾股定理得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，过点作，垂足为，与劣弧交于点， 设半径为， 即， 由题意得， ， 由根据垂径定理可得， 在中，， 即， 解得． 【小问2详解】 解：过点作，过点作， 筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时， 每秒旋转， 由于经过后该盛水筒旋转到点D处， ， 上C处的某盛水筒到水面的距离是， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴，轴分别相交于点 ，点 ，点 是线段的中点，动点 从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线 向终点 匀速运动，设运动的时间为 秒，连接． （1）求直线 的函数解析式． （2）请直接写出点 的坐标________________．（用含 的代数式表示） （3）①当 时，求 的值． ②将 沿翻折，使点落在点 ，当 平行于坐标轴时，请直接写出 的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 的值为 或 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将，两点代入，建立二元一次方程组即可求出直线的解析式； （2）过作于，，利用，即可求出的长，即点的纵坐标即可求出，将纵坐标代入（1）中一次函数即可求出横坐标，从而得出的坐标． （3）①当，可得，根据三角形的面积公式即可求解； ②分平行于轴时，平行于轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出的值． 【小问1详解】 解：直线与轴，轴分别相交于点，点， ， 解得：， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：过作于，则， ， ， ，，， ，， ， ， 点在直线上，直线的函数解析式为， ， 解得：， 点的坐标为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①点是线段的中点，， ， 点的坐标为：，， ， ， ， ， ， ； ②平行于轴时， 平行于轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ， ， ， ； 平行于轴时，又分两种情况，如图： 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ，， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ，， ， ， ， ，， ， ； 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ， ， ， ； 综上，的值为或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键． 26. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $