第一章 直线与圆 单元检测卷（A卷）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷（A卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，则直线通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 2.汉代初年成书的《淮南万毕术》记载:“取大镜高悬,置水盆于下,则见四邻矣.”这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例,体现了传统文化中的数学智慧.平面镜反射原理可概述为:反射光线和入射光线分居在法线的两侧;反射角等于入射角.在平面直角坐标系xOy中,一条光线从点射出,经y轴反射,若反射光线所在直线与圆相切,则该反射光线所在直线的斜率为( ) A. B.或1 C.1 D.2 3.已知实数x,y满足方程，则的最大值和最小值分别为( ) A., B., C., D., 4.圆上的点到直线的距离的最大值为( ) A. B. C. D.0 5.过点作直线l，若直线l与连接,两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为( ) A. B. C. D. 6.若直线与曲线有交点,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知A,B为圆上两动点,且,则弦AB的中点M到直线距离的最大值为( ). A. B. C. D.4 8.已知点P是圆上的动点,线段AB是圆的一条动弦,且,则的最大值是( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率可为( ) A. B. C. D. 10.直线l的方程为：，则( ) A.直线l斜率必定存在 B.直线l恒过定点 C.时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为 D.时直线l的倾斜角为 11.由直线上的一点P向圆:引两条切线PA,PB,A,B是切点,则( ) A.线段PA长的最小值为 B.四边形PACB面积的最小值为 C.的最大值是 D.当点P的坐标为时,切点弦AB所在的直线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.点关于直线的对称点Q的坐标为__________. 13.已知为圆上一点,则的取值范围是___________. 14.人脸识别在现今生活中应用非常广泛,主要是测量面部五官之间的距离,称为“曼哈顿距离”.其定义如下：设,,则A,B两点间的曼哈顿距离.已知,若点P满足,点N在圆上运动,则的最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知圆与圆关于直线对称. （1）求圆的方程； （2）求直线被圆截得的弦的长. 16.（15分）已知直线l经过点，，，则直线l能否同时经过点和点？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. 17.（15分）已知的顶点,边上的中线所在直线方程为,边上的高所在直线方程为.求： （1）顶点C的坐标; （2）直线的方程. 18.（17分）已知圆,直线. （1）求证：直线l恒过定点. （2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长. 19.（17分）已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线截得的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）设动直线与圆C交于A，B两点，则在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线与直线关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：A 解析：直线，因为，，所以，，所以直线过第一、二、三象限.故选A. 2.答案：C 解析：依题意可得圆心坐标为,又关于y轴的对称点为,由平面镜反射原理,反射光线过且与该圆相切,又在该圆上,故反射光线的斜率为. 3.答案：B 解析：圆，圆心，半径为， 令，即，的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k值， ，解得， 的最大值为，最小值为. 故选：B 4.答案：A 解析：圆心O到直线 的距离,即直线和圆相交, 则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 . 故选:A. 5.答案：B 解析： 设直线l的斜率为k，倾斜角为,， ，， 因为直线l经过点，且与线段总有公共点， 所以， 因为，所以. 故选：B. 6.答案：D 解析：曲线,即,, 表示圆心为,半径的一个半圆. 直线,过定点, 如图所示,画出图像: ,,,, 根据图像知:, 故选:D 7.答案：C 解析：依题意,,所以, 因为M为AB的中点,所以, 如图所示,过点C作直线的垂线,垂足为N, 连接MN,则圆心C到直线的距离为, 因为当且仅当C,M,N三点共线时等号成立, 所以, 所以的最大值为. 故选:C 8.答案：D 解析：圆的圆心为,半径为, 圆的圆心为,半径为2, 如图,过点C作,垂足为D,连接CB, 所以D为AB中点,即,又, 所以, 故点D的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,则点D的轨迹方程为 因为D是AB中点,所以, 则, 所以的最大值为, 故选:D. 9.答案：BD 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，与无公共点，舍去，当直线l的斜率存在时，设过点的直线l的方程为，则圆的圆心到直线l的距离，解得.故选：BD. 10.答案：BC 解析：当时，直线，此时斜率不存在，故A错误； 直线，即，直线l恒过定点，故B正确； 时，直线，在x轴，y轴上截距分别为，此时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，故C正确. 时，直线，此时斜率为，倾斜角为，故D错误； 故选：BC 11.答案：AD 解析：将化为标准方程:, 可知圆C的圆心为,半径为. 对于选项A:因为圆心到直线的距离, 可知,可得, 所以线段PA长的最小值为,故A正确; 对于选项B:因为四边形PACB面积, 由选项A可知:四边形PACB面积的最小值为,故B错误; 对于选项C:因为, 所以的最小值为,故C错误; 对于选项D:因为,,可知点A,B在以PC为直径的圆上, 当点P的坐标为时,则PC的中点为,且, 即点A,B在圆,即上, 将与作差可得, 所以切点弦AB所在的直线方程,故D正确. 故选:AD. 12.答案： 解析：设是点关于直线的对称点， 由题意可得，解得，，可得. 故答案为：. 13.答案： 解析：设,则直线与C有公共点.圆C的方程化为标准方程为,圆心,半径为3,圆心到直线的距离,即,,,即的取值范围是. 14.答案： 解析：由题意得,圆,圆心,半径, 设点,则, 故点P的轨迹为如下所示的正方形,其中,, 则,, 则,即的最大值为. 故答案为：. 15.答案：（1）； （2） 解析：（1）设则由题意得，解得， 圆的方程为. （2）圆心到直线的距离故直线被圆截得的弦 16.答案：直线l不能同时经过点A和点B，理由见解析 解析：方法一：由题意，可得直线l的两点式方程为， 整理得. 若直线l经过点，则有， 即， 解得或. 若直线l经过点，则有，即， 方程无实数根. 综上，可知直线l能经过点A，此时或.不能经过点B. 所以直线l不能同时经过点A和点B. 方法二：假设直线l同时经过点和点，可设直线l的方程为，代入点A，B的坐标有，解得. 所以直线l的方程为. 直线l经过点，则有，解得. 直线l经过点，则有，解得. 因为，与题意矛盾，所以直线l不能同时经过点A和B. 17.答案：（1） （2） 解析：（1）因为边上的高所在直线方程为, 所以,又因为点, 所以边所在直线方程为. 又因为边上的中线所在直线方程为, 由得所以. （2）设,则的中点在中线上, 所以,即. 又点在高所在直线上,所以. 由解得所以. 所以直线的方程为,即. 18.答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）证明：直线l的方程可化为, 联立解得. 所以直线恒过定点. （2）当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长. 当直线时,直线被圆截得的弦长最短, 直线l的斜率为, 由解得此时直线l的方程是 圆心到直线的距离为, , 所以最短弦长是. 19.答案：（1）； （2）当点N为时，直线与直线关于x轴对称 解析：（1）设圆C的方程为： 圆心到直线的距离 根据垂径定理得，，解得， ，，故圆C的方程为 （2）假设存在定点N，使得直线与直线关于x轴对称，那么， 设，，，联立得：， 由， ，， .，. 故存在，当点N为时，直线与直线关于x轴对称. 学科网（北京）股份有限公司 $$