第1章 直线与圆章末知识梳理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

由点M到公切线的距离等于3，得 √(7-3)2+[1-（-2)]=5=6-1=r1-12,所以两圆内切. 1x0·0+5·y0-361 =3 2.CAB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，-3)代入，即 √后+后 1 可排除A,B,D. 又x+y=36①，代人上式得15y。-361=18②， 3.2或-5两圆的圆心坐标分别为(-2，m),(m,-1), 24 24 两圆的半径分别为3,2 5 联立①②解得 或 由题意得√(m+2)2+(-1-m)2=-3+2, 8 8 yo=5 y%=5 解得m=2或-5. 所以公切线方程为学+号-36=0或-告+-36= 4.2万由圆C,与圆C2的公共弦所在的直线1的方程为x-y+1 =0,得点C,（1,0)到直线1的距离为d=1-0+=万，圆 0,即4x+3y-30=0或4x-3y+30=0. √2+(-1)月 解法三：两圆的连心线方程为x C的半径为m1=3,所以圆C与圆C2的公共弦长为2√-= =0(即y轴)，设两圆的连心线与其 Q 2√32-(2)2=27. 公切线交于点N,如图所示. 5.把圆M的方程化为标准方程为x2+(y-a)2=a2, 其中一条公切线与两圆相切于 所以圆心M(0,a),圆M的半径r1=a. 点P,Q,连接OP,MQ,则OP⊥PN MQ LPN..由△PNO∽△QNM得 所以点M到直线x+y=0的距离d=a INOI =是=分，即M为0的中点，所以 由题意可得（合） +(2)2=a2,所以a=2,所以M(0,2),51=2. 点N的坐标为(0,10).于是两圆的公 又圆心N(1,1),圆N的半径2=1， 切线即为过点V的圆O的两条切线，易知切线斜率存在，设切 所以1MW1=2,所以Ir1-2I<1MWI<r1+r2,即两圆相交 线斜率为k,则切线方程为y=x+10,即-y+10=0.由圆心 1 章末知识梳理 0到切线的距离等于圆0的半径1得10=6，解得k= /k2+1 要点专项突破 1-1 ±号放两条公切线方程为y=±学+10，即4红+3y-30=0或 例1：(1)由斜率公式，得ks=1-（-=0, 4x-3y+30=0. =5=5,c=2品-号 5+1-1-5 2-1 对点训练3：D将点到直线 的距离问题转化为圆的切线问 .tan0°=0， R=2 题.若点A(0,1)到某一直线的距 ∴.AB的倾斜角为0°； B(4,5) 离为1，则该直线可以看作以点A 因为tanm60°=5，所以BC的倾斜角为60°； 为圆心，1为半径的圆的切线，同 因为tan30°= 理，若点B(4,5)到某一直线的距 号，所以AC的倾斜角为30° 离为2，则该直线可以看作以点B (2)如图所示，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，在直 为圆心，2为半径的圆的切线，故符合条件的直线即为两圆的公切 线CD由CA逆时针转到CB过程中，直线CD与边AB恒有交 线由A(0,1)和B(4,5)可得1AB1=V√42+(5-1)2=4√2，且4√2 点，即D在△ABC的边AB上，此时k由k增大到kB,所以k的 >1+2,所以两圆外离，而外离两圆的公切线有4条，即符合条取值范图为[ 件的直线1有4条，如图所示. 例4：圆C的圆心C,(0,0),半径11=2，圆C2的圆心 G(2,-受）半径 假设存在实数a,使得两圆相外切，则GC,1=1+r2, D -1012 2+(-=2+， 4+2 4++21al, 4 例2：解法一：由直线1与直线了=号+号垂直，可设直线 .lal=0,∴.a=0. 3 方程为y=-4x+6,则直线1在x轴√轴上的截距分别为0= 风9-号0a0,放不布在实数a使得C+奶业 4与圆C2:x2+y2-4x+ay+4=0相外切. 课堂检测固双基 又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24， 1.B圆x2+y2-14x-2y+14=0变形为(x-7)2+(y-1)2=36, 所以S=号1l1=24, 圆心坐标为(7,1)，半径为1=6，圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心 坐标为(3，-2)，半径为？=1，所以圆心距d= 即时号61=24，=36，解得6-6或6=-6 —302 故所求直线的方程为y=-子x+6或y=-子-6， 3 =-号(x+3),即3x+4-3=0或4+3y+3=0 即3x+4y-24=0或3x+4y+24=0. 1 例5：ABC由个-x+x+m=0得√-x=-x-m, 解法二：设直线1的方程为产+士=1，则直线的斜率6 则关于x的方程√1-x+x+m=0解的个数，等价于函数y= 因为1与直线y=亭+号垂直， b .4 √1-x和y=-x-m的图象交点个数，对于函数y=√1-？≥0， 两边平方得x2+y子=1，则函数y=√1-X的图象表示圆x2+y2-1 的上半圆，如图所示 又因为l与两坐标轴围成的三角形的面积为24， 所以2b1=24,即lab1=48. 所以a=8,b=6或a=-8,b=-6. 61, 所以直线1的方程为苓+古=1或产8+一6 当直线y=-x-m与函数y=√1-x的图象相切于第一 即3x+4y-24=0或3x+4y+24=0. 象限时，-m>0,则m<0,此时，1m=1,m<0,解得m= 例3：由题意可知，kx24。-3,kw号号=0，且 -2,此时直线y=-x-m交y轴于点(0，√2)；当直线y=-x kc·kD=0≠-1，所以直线BC与直线CD不垂直 -m过点(1,0)和(0,1)时，-m=1,则m=-1;当直线y=-x .四边形ABCD是直角梯形，..有以下两种情形： -m过点(-1,0)时，1-m=0,则m=1,此时直线y=-x-m ①AB∥CD,AB⊥AD, 交y轴于点(0，-1).由图象可知，当-m=√2或-1≤-m<1 由图可知，A(2,-1),.m=2,n=-1. y 时，即当m=-√2或-1<m≤1时，直线y=-x-m与函数y= D(2,2)C(4,2) 1一x的图象有且只有一个交点，B选项正确：D选项错误：当 -m>2或-m<-1时，即当m<-√2或m>1时，直线y=-x 0 m与函数y=√个-x的图象没有交点，ABC选项正确. A(m,n) B(5,-1) A'(m,n) 例6：B将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+ y2=9,设圆心为C,则C(3,0),半径r=3.设点(1,2)为点A,过点 ②A'D∥BC,A'D⊥A'B A(1,2)的直线为1，因为(1-3)2+2<9，所以点A(1,2)在圆C的内 rn-2 : .Then=hue: /m-2-3, 部，则直线I与圆C必相交，设交点分别为B,D.易知当直线I⊥AC 即 时，直线！被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线1的 lkAD·kg=-1, 】n-2n+1 lm-2`m-5=-l, 距离为d,则d=1AC1=√(3-1)2+(0-2)7=2√2，所以IBD1m= 6 m=5 2√P-f=2√32-(22)2=2，即弦的长度的最小值为2，故 解得 选B a=- 例7：设点P的坐标是(x,y),则点Q的坐标是(18-x, 16 -y). m= 综上可知，m=2，或 5 :.·线段OR是由OP绕原点逆时针旋转90°得到， n=-1, .由平面几何知识得，点R的坐标为(-y,x), 则1QR1=√(18-x+y)2+（-y-x) 例4：将圆C的方程化为标准方程，可得圆C:(x-2)2+· =2·(x-9)2+(y+9)7 (y-2)2=1,它关于x轴对称的圆C'方程为(x-2)2+(y+2)2 :P(x,y)为圆(x-5)2+(y-5)2=r2上的点， =1,其圆心为C(2,-2),如图所示，则1与圆C相切 .√(x-9)2+(y+9)2的几何意义为点M(9,-9)到圆上 的点P(x,y)的距离（如图）. 当1PMI最小时，IQRI也最小； 设：y-3=k(x+3),即x-y+3+3k=0,以点C'到l的 当IPMI最大时，IQR1也最大 距离d=15k+5=1,整理得12+256+12=0，解得k=-3 1+k 4 又1PM1=IIMCI-rI=I(9-5)2+(-9-5)7-rl= 或=-专，所以所求直线方程为y-3=子(x+3),或y-3 253-rl, IPMIm =IIMCI +rl =253+r. —303 .1QRlm=21253-rl,1 ORI=2(2√53+r）. 例8：以台风中心为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立 a 平面直角坐标系（如图），则受台风影响的圆形区域的边界的方 依题意，有 解得 程为x2+y2=30,港口所对应的点的坐标为(0,40)，轮船的初 始位置所对应的点的坐标为(70,0)，则轮船航线所在直线1的 o. 方程为0+6=1，即4+7y-280=0,圆心0(0,0)到直线： 由a>b>0,知不合题意，故舍去 x2 4r+7y-280=0的距离d=280 =280,因为280 >30,所 ②当椭圆焦点在)轴上时，可设椭圆的标准方程为 +76丽 京+ √65 =1(a>b>0) 以直线！与圆相离.故轮船返回港口的途中不会受到台风的 影响. 二1 1 [a2 北 a 4 依题意，有 解得 港口 2 -+0=1, 轮船 a" 所以所求椭圆的标准方程为片 1 45 第二章圆锥曲线 解法二：设椭圆的方程为mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n), 9m+ 9n=1 §1椭圆 则 解得，∫m5, 1 4n=1, n=4. 1.1 椭圆及其标准方程 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,故椭圆的标准方程为 必备知识探新知 x 1 知识点11.常数（大于1F,F21)焦点焦距 4 2.{M1IMFI+IMF,I=2a(2a>IFF,I)}3.(2)线段FF 对点训练1：(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 无轨迹 知识点2(1) 所以可设它的标准方程为片+方=11a>6公0小 3=1(a>b>0)F(0,-c),E c）a2=62+c2 由椭圆的定义知2a=√(4-0)2+(32+2)2+ 关键能力攻重难 √(4-0)2+(32-2)2=12， 例1：(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以a=6. 所以设标准方程为。+是三1(0>6>0). 又c=2.所以b=√a-c=42. x2 又椭圆经过点(0,2)和(1,0). 所以精圆的标准方程为站·荒-1 +1 (2)若椭圆的焦点在x轴上 设椭圆的标准方程为号+ 9a+京=1(a>6>0). .4.2 解得04 +京=1， fa2=8, 解得 62=1. 所以所求的椭圆的标准方程子+2=1 由已知条件得 1 14 1b2=4. (2)因为椭圆的焦点在y轴上 a +46=1, 所以设标准方程为二 2-三14>b0 所以所求椅同的标准方程为号+子引 同理可得，焦点在y轴上的椭圆不存在. 由椭圆的定义知，2a=√(-+(3+2 综上，所求精圆的际准方程为后◆号1 √-+(3-2=2而 例2：如图，设圆P的半径为r, 即a=√10，又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求桶周的标准方程为6+名-山 (3)解法一：①当椭圆焦点在x轴上时 可设椭圆的标准方程为。+京=1(4>6>0) —304032 章末知识梳理 知识体系构建 ·一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角：a∈[0，π) 直线的倾斜角和斜率 直线的斜率：=ma个Q》-瓷-头() 点斜式：y-y=k(x-x)(k存在) 斜截式：y=kx+b(k存在) 直线的方程 两点式：-=二(，≠且与≠) y2-y1 x2-x1 藏距式：名+片=1(ob0) 般式：Ax+By+C=0(A2+B≠0)》 直线与直 l:y=hx+b,l2:y=kax+b2, 线的方程 两条直线的平行与垂直 l1∥L2台k,=k2且b,≠b2; l1与b2重合→k,=2且b,=b2; l11L2→kk2=-1 两条直线的交点坐标：方程组 [Ax+Biy+C=0, 的解为坐标 LAzx+B2y+C2=0 圆 [两点间的距离：AB1=√(，-x)产+(-y)了 点到直线的距离：d=A+B,+C 其中A,B不全为0) 平面直角坐标系中的距离公式 √+B 两条平行直线间的距离：d=1C,-C, (其中A,B不全为0) VA+B 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=2 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 相交台△>0台d<r 直线与圆的位置关系{相切一A=0一d=r 相离台△<0台d>r 圆与圆的方程 r外离台d>11+2 外切台d=r1+2 圆与圆的位置关系{相交台m1-21<d<1+r2 内切今d=lr1-12 内含台d<Ir1-2l 要点专项突破 要点一直线与方程的常见问题及求解策略 (2)单调性： 1.直线的倾斜角与斜率问题 当a由0°-90°→180°（不含180）变化时， 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本k由0（含0）逐渐增大到+∞（不存在），然后由 的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画-∞（不存在）逐渐增大到0（不含0）. 了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k的对应关 经过A(x1,少)，B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直 系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视. (1)对应关系： 线的斜率公式为么：名一，应用时注意其运用 ①当u≠90时，k=tan a; 的条件是x1≠x2,当x1=x2时，直线的斜率不 ②当=90°时，斜率不存在， 存在. 033 例1.已知坐标平面内的三点A(-1,),B1, 得x=2,-, 1),C(2,3+1). y=2y2-y1 (1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角； 2.点关于直线的对称 (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求 (1)如图所示，已知点P(x,y),直线：Ax+ 直线CD的斜率k的取值范围. By+C=0(A+B≠0)，若直线1的斜率存在，求 点P关于直线l的对称点P'(x',y)可以分两步 来进行. Ax+By+C=0 2.直线方程的六种形式及应用 P(x,y) 直线方程的六种形式在使用时要根据题目 的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方 程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进 ·P'x,y） 行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法， 第一步，直线PP'和l垂直，故kpp·k,=-1 在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方 ① 程形式的选择及适用范围。 第二步，线段PP'的中点在直线1上， 例2.求与直线了学+垂直，并且与两坐标轴 即x+x'y+ 2’2 满足直线方程Ax+By+C 围成的三角形的面积为24的直线1的方程. =0. +B.+C=0② 即A.七+x 2 联立①②解出x',y' (2)常见的点与其关于直线对称的点的坐 3.两条直线的位置关系及应用 标之间的关系总结如下： l1:A,x+B,y+C,=0: ①点A(a,b)关于x轴的对称点为A'(a, 直线l:y=kx+b; 1与2 -b); 方程 l2:y=hx+b2 L2:A2x+B2y+C2=0 组成的 (A,B,1≠0，A2B2≠0) 方程组 ②，点B(a,b)关于y轴的对称点为B'(-a, b); k1=k2, AB2=A2B,且AC2≠ 平行 无解 ③点C(a,b)关于直线y=x的对称点 且b,≠b2 A2C1(或B,C2≠B2C1) 为C'(b,a); k1=k2, AB2=AB1,且A,C2= 有无数 重合 ④点D(a,b)关于直线y=-x的对称点 且b,=b2 A,C,(或B,C2=B2C1) 多个解 为D'(-b,-a); 相交 k,≠k2 AB2≠AB1 有唯一解 ⑤点P(a,b)关于直线x=m的对称点 垂直 kk2=-1 A,A2+B,B2=0 有唯一解 为P'(2m-a,b); 列 3.已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5, ⑥点Q(a,b)关于直线y=n的对称点 -1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值， 为Q'(a,2n-b). 3.直线关于直线的对称 使四边形ABCD为直角梯形. (1)已知直线L1:A1x+By+C1=0(A+B ≠0)，L2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)， 求直线1，关于直线l,的对称直线的方程， 如果11∥12，则设所求直线方程为Ax+By +m=0(m≠C,),然后在1上找一点P,求出点 要点二对称问题 P关于直线l2的对称点P'(x',y),再代入Ax+ B1y+m=0即可解出m. 1.点关于点的对称 求点P(x1,y1)关于点P2(x2,y2)的对称 如果1，不平行于12，则先找出1与12的交 点P(x,y). 点P,然后在1上确定一点（不同于交点），找出 这一点关于12的对称点P',由直线的两点式方 1+x x2= 2, 程确定所求直线方程. 由中点坐标公式得 解之 (2)常见的直线的对称有以下几种情况： y+y y2= 对于直线l:Ax+By+C=0(A2+B≠0)， 2 关于x轴的对称直线为Ax+B(-y)+C 034 =0: 式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用 关于y轴的对称直线为A(-x)+By+C不等式求出其最值（取值范围）.对于圆的最值 =0; 问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几 关于直线y=x的对称直线为Bx+Ay+C何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径 =0； (1)形如4=Y-b的最值问题，可转化为动 关于直线y=-x的对称直线为A(-y)+ x-a B(-x)+C=0. 直线斜率的最值问题 例4自点4(3,3发出的光线1射到：轴 (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为 上，被x轴反射，其反射光线所在的直线：动直线截距的最值问题. 与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切，求 (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可 光线1所在的直线方程. 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题， 3.经过圆内一点的最长弦就是经过这点的 直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦 例6知圆+60过点2)的直线 被该圆所截得的弦的长度的最小值为 要点三直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点 A.1 B.2C.3D.4 内容，在处理直线与圆、圆与圆的位置关系时，常 例7.已知P是圆C:(x-5)2+G-5)'=r, 用的方法有几何法与代数法.处理此类问题时， >0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的 要注意圆的几何性质的应用，以达到简化解题过 对称点为Q,O为原点，线段OP绕原点O 程的目的. 逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR, 例5.（多选题)关于x的方程++m 求IQRI的最小值与最大值. 0解的情况，下列叙述正确的是( A.当me(1,+∞)时，原方程无解 B.当m∈[0,1)时，原方程只有一解 C.若原方程无解，则m∈(-∞，-2)U 要点五用坐标法解决直线与圆的实际问题 (1,+∞) D.若原方程恰有一解，则m∈[-1,1)U 用坐标法解决问题的一般步骤： 1.建立适当的平面直角坐标系； {-√2 2.设出已知点的坐标，表示出未知点的 要点四与圆有关的最值问题 坐标 1.利用圆的几何性质求最值的问题 .利用已学的坐标公式列出方程或方程组， 求圆上点到直线的最大、最小值，需过圆心 通过计算得出代数结论； 向直线作垂线， 4.反演回去，得到几何问题的结论 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离. 8.现有一艘轮船沿直线返回港口的途中， (1)如图①，当直线1与圆C相交时，最小距 例 接到气象台的台风预报，台风中心位于 离为0，最大距离为AD=r+d; 轮船正西70km处，受影响的范围是半径 (2)如图②，当直线1与圆C相切时，最小距 为30km的圆形区域，已知港口位于台风 离为0，最大距离为AD=2r; 中心正北40km处，如果这艘轮船不改变 (3)如图③，当直线1与圆C相离时，最小距 航线，那么它在返回港口的途中是否会 离为BD=d-r,最大距离为AD=d+r 受到台风的影响？ D 2.利用直线与圆的位置关系解决最值（取值 范围)问题 素养等级测评 解析几何中的最值问题一般是根据条件列 请同学们认真完成考案（一） 出所求目标—一函数关系式，然后根据函数关系