第一章 直线与圆 单元检测卷（B卷）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷（B卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是( ) A. B. C. D. 2.已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是( ) A. B. C. D. 3.设点,若在圆上存在M,N两点,使得四边形为正方形,则( ) A. B. C. D. 4.如图，过圆内一点作两条弦，，且过圆心O，，则( ) A. B. C. D. 5.已知直线和互相平行,则( ) A. B. C.或 D.或 6.已知点和圆，一束光线从点P出发，经过直线反射后到达圆C上一点的最短路程是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 7.在平面直角坐标系中，若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A、B不重合），则面积的最大值为( ) A.4 B. C.2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆与圆,下列说法正确的是( ) A.与的公切线恰有4条 B.与相交弦的方程为 C.与相交弦的弦长为 D.若P,Q分别是圆,上的动点,则 10.设,对于直线,下列说法中正确的是( ) A.l的斜率为 B.l在y轴上的截距为 C.l不可能平行于x轴 D.l与直线垂直 11.圆和圆的交点为A，B则有( ) A.公共弦所在直线方程为 B.P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为 C.公共弦的长为 D.圆上存在三个点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.写出一个既与y轴相切又与直线相切的圆的标准方程:__________. 13.若直线与直线平行,则直线与之间的距离为___________. 14.点B在x轴上运动，点C在直线上运动，若，则的周长的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知圆C的圆心在直线上,且经过两点. （1）求圆C的方程; （2）直线与圆C交于E,F两点,且,求实数m的值. 16.（15分）直线l经过两直线和的交点. (1)若直线l与直线平行,求直线l的方程; (2)若点到直线l的距离为5,求直线l的方程. 17.（15分）在中,点B的坐标为,点C的坐标为,BC边上的中线所在直线的方程为,直线AC的倾斜角为. （1）求点A的坐标; （2）过点A的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于M,N两点,求（O为坐标原点）面积的最小值. 18.（17分）已知圆C过点,，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程. 19.（17分）已知圆C的圆心坐标为，与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8. （1）求圆C的标准方程； （2）直线n交圆C于M，N两点（点M，N异于点A），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点的坐标. 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为过点与， 所以线段的中点坐标为， ， 所以线段的中垂线的斜率为， 所以线段的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A 2.答案：B 解析：圆即， 故弦心距. 再由弦长公式可得，，故选：B. 3.答案：C 解析：要使得四边形为正方形,结合圆的对称性可得,满足,与圆C相切, 且,,所以, 所以,解得. 故选：C. 4.答案：B 解析：取的中点N，连接，则， 圆O的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 5.答案：D 解析：因为直线和互相平行, 当时两条直线不平行,即则,且 化简可得 解方程可得或 经检验或都满足题意 故选：D. 6.答案：B 解析：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，由题可知圆的圆心为，半径，最短路程即为.故选：B. 7.答案：B 解析：圆的圆心为， 设关于直线的对称点为 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点， 所以，解得：. 故选B 8.答案：B 解析：直线化为，可知定点， 动直线化为，令 解得，，可知定点， 又， 所以直线与直线、垂直，P为交点， ， ，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为. 故选:B. 9.答案：BCD 解析：由已知得圆的圆心,半径,圆的圆心,半径, ,, 故两圆相交,所以与的公切线恰有2条,故A错误; 两圆方程相减可得与相交弦的方程为, 所以到相交弦的距离为, 故相交弦的弦长为,故B,C正确;. 若P,Q分别是圆,上的动点,则,故D正确. 故选:BCD. 10.答案：BD 解析：对于A,直线, 则l的斜率为,故A错误; 对于B,令,解得, 故l在y轴上的截距为,故B正确; 对于C,当时,直线,平行于轴,故C错误; 对于D,当时,直线与直线显然垂直, 当时,直线的斜率为, 直线l的斜率为, 所以,故D正确. 故选:BD. 11.答案：ABD 解析：和圆的交点为A，B，两圆方程作差得，，A正确； 设，由得， 则，，，所以P到直线的距离，即最大值，B正确； 圆心到直线的距离为，所以公共弦，C错误； 因为到直线的距离为，所以圆和直线相交，所以圆上存在三个点到直线的距离为，D正确. 故选：ABD. 12.答案： 解析：本题答案不唯一,只要所写方程形如或即可. 13.答案： 解析：由于,所以,解得, 所以直线的方程为, 直线的方程为,即, 所以直线与之间的距离为. 故答案为：. 14.答案： 解析：设A关于x轴的对称点M，A关于的对称点D， ，， 的周长， 取等号时即M，B，C，D共线时，的周长的值最小， 即的长度即为三角形周长的最小值， 由题意， 设点，， 解得，，所以， 由两点距离公式知. 故答案为：. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）圆C过点,,则点C在线段AB的中垂线上, 由,得点,圆C的半径, 所以圆C的方程为. （2）直线l被圆C所截弦长,则点C到直线l的距离, 因此, 解得 所以实数m的值为. 16.答案：(1) (2)或 解析：由,解得, 所以两直线和的交点为. 当直线l与直线平行,设l的方程为, 把点代入求得, 可得l的方程为. （2）斜率不存在时,直线l的方程为,满足点到直线l的距离为5. 当l的斜率存在时,设直线l的方程为,即, 则点A到直线l的距离为,求得, 故l的方程为,即. 综上,直线的方程为或. 17.答案：（1） （2）2 解析：（1）因为直线AC的倾斜角为,所以直线AC的斜率为. 又点C的坐标为,所以直线AC的方程为, 即. 由与,解得, 因为BC边上的中线经过点A,所以点A的坐标为. （2）依题意可设直线l的方程为, 则. 因为,,所以, 则, 当且仅当时,等号成立, 所以面积的最小值为. 18.答案：（1）； （2） 解析：（1）由，，得直线的斜率为，线段中点，所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； （2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得， 所以， 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即 19.答案：（1） （2）直线n过定点 解析：（1）设圆的标准方程为， y轴截圆C所得弦长为8，即， 故圆的标准方程为. （2）证明：令，可得，，又点A在y轴正半轴，故. 当直线n的斜率不存在时，设，， 直线AM，AN的斜率之积为2， ，，即，. 又，或. 点在圆上，，联立解得 此时有一点与A重合，不符合题意，因此直线n的斜率必存在. 当直线n的斜率存在时，设直线，，， ①， 联立方程得， ，， 代入①，得，化简得或. 若，则直线n过点，与题设矛盾，舍去. 直线n的方程为， ，且， ，，直线n过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$