第1章 直线与圆 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

本章总结提升 ◆ 题型一　直线方程、两条直线的位置关系 [类型总述] (1)点斜式;(2)斜截式;(3)两点式;(4)截距式;(5)一般式;(6)两直线平行;(7)两直线垂直;(8)两直线相交. 例1 (1)如图,在平行四边形OABC中,点O是坐标原点,点A和点C的坐标分别是(3,0),(1,3),点D是线段AB上的动点. ①求AB所在直线方程的一般式; ②当D在线段AB上运动时,求线段CD的中点M的轨迹方程. (2)已知直线l过点P(-2,2). ①已知A(-1,3),B(a,2),若直线l的一个方向向量为a=(1,2),且经过线段AB的中点M,求直线AB的方程; ②若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为1,求直线l的方程. (3)已知直线l1的方程为x-2y+4=0. ①若直线l1和直线l2关于点(0,0)对称,求直线l2的方程; ②若直线l1和直线l2关于直线y=x对称,求直线l2的方程. 变式 (1)(多选题)已知直线l1:2mx-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则下列结论中正确的为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.直线l2过定点(-3,-1) B.当l1⊥l2时,m=-3或m=- C.当m≠2且m≠-时,l1与l2相交 D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为1 (2)点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是 (　 ) A.(1,0) B.(0,1) C.(0,-1) D.(2,1) (3)已知直线l1:3x-4y-4=0关于直线l2的对称直线为y轴,则l2方程的斜截式为　　　　　　　　　　　.  ◆ 题型二　距离问题 [类型总述] (1)点点之间距离;(2)点线之间距离;(3)线线之间距离;(4)与距离有关的最值问题. 例2 (1)已知直线l1:ax+y+1=0过定点P,则点P到直线l2:y=k(x+1)距离的最大值是(　 ) A.1 B.2 C. D. (2)直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B,则|AB|=　　　　.  变式 (1)已知A(-1,2),B(3,5),则与直线AB平行且距离为2的直线的方程为 (　 ) A.3x-4y+21=0 B.3x-4y-1=0 C.3x-4y+21=0或3x-4y+1=0 D.3x-4y-21=0或3x-4y-1=0 (2)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为 (　 ) A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0 (3)已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||最大. ◆ 题型三　圆的方程 [类型总述] (1)圆的标准方程;(2)圆的一般方程. 例3 (1)(多选题)已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则下列结论中正确的是 (　 ) A.实数k的取值范围是 B.实数k的取值范围是∪ C.当圆的周长最大时,圆心坐标是(0,-1) D.圆的最大面积是π (2)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的一般方程为　　　　　　.   (3)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是　　　　　　　　　.  (4)与圆x2+y2=25内切于点P(3,-4),且半径为1的圆的方程为　　　　　　　　　.  变式 (1)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且│AB│=6,则以线段AB为直径的圆M的圆心M的轨迹方程是　　　　.   (2)[2024·吉林长春高二期末] 已知点A(5,0),点B在圆(x-1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是 (　 ) A.x2+y2-6x+8=0 B.x2+y2-6x+5=0 C.x2+y2+6x+8=0 D.x2+y2+6x+5=0 (3)(多选题)[2024·江苏宿迁高二期中] 已知圆C:(x-3k)2+(y-4k+1)2=1+25k2,则下列结论中正确的有 (　 ) A.圆C过定点 B.点(0,0)在圆C外 C.直线4x-3y-3=0平分圆周 D.存在实数k,使圆与x轴相切 ◆ 题型四　直线与圆、圆与圆的位置关系的应用 [类型总述] (1)直线与圆的位置关系;(2)圆与圆的位置关系;(3)弦长公式.　　　　　 　　　　　 　　　　　 例4 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值　　　　.  (2)过点P(0,-2)与圆C:x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　 ) A.1 B. C. D. (3)(多选题)已知直线l:x-my+3=0和圆C:x2+y2-6x+5=0,则下列结论成立的是 (　 ) A.直线l:x-my+3=0过定点(-3,0) B.当直线l与圆C相交时,直线l:x-my+3=0被圆所截得的弦长的最大值为4 C.当直线l与圆C相切时,实数m=2 D.当实数m的值为3时,直线l与圆C相交,且所得弦长为 变式 (1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 (　 ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 (2)设直线l:(a+1)x-ay-1=0(a∈R)与圆C:x2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的取值范围为 (　 ) A.[,2] B.[,4] C.[2,4] D.[2,4) (3)(多选题)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (　 ) A.点P到直线AB的距离恒小于10 B.点P到直线AB的距离恒大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 (4)已知点P(-1,0),Q(1,0),M是平面内的一个动点,且·=3. ①求动点M的轨迹E的方程; ②若圆C:x2+y2-2x+2m=0与E只有一个公共点,求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　解:(1)①∵AB∥OC,∴AB所在直线的斜率kAB=kOC==3,∴AB所在直线的方程是y-0=3(x-3),即3x-y-9=0. ②设点M的坐标是(x,y),点D的坐标是(x0,y0),由平行四边形的性质得点B的坐标是(4,3),∵M是线段CD的中点,∴x=,y=,于是有x0=2x-1,y0=2y-3,∵点D在线段AB上运动,∴3x0-y0-9=0(3≤x0≤4),∴3(2x-1)-(2y-3)-9=0,即点M的轨迹方程为6x-2y-9=0. (2)①由已知得直线l的斜率为2,则直线l的方程为y-2=2(x+2),即y=2x+6.由A(-1,3),B(a,2),得线段AB的中点为M,将点M的坐标代入直线l的方程,得=2·+6,得a=-,所以B.由直线方程的两点式得直线AB的方程为=,即2x-3y+11=0. ②设直线l的方程为+=1.依题意得解得或故直线l的方程是+y=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0. (3)①在直线l2上任取一点A(x,y),则A(x,y)关于点(0,0)对称的点A'(-x,-y)在直线l1上, 将点A'的坐标代入方程x-2y+4=0得-x+2y+4=0, 所以直线l2的方程为x-2y-4=0. ②设直线l1与直线y=x的交点为B(p,q),则解得p=q=4,则B(4,4).在直线l1上取点C(0,2),设C(0,2)关于直线y=x对称的点为C'(s,r),则×1=-1(*).易知C(0,2)与C'(s,r)的中点坐标为,且该中点在直线y=x上,所以=(**).由(*)(**)可得所以C'(2,0).因为直线l1和直线l2关于直线y=x对称,所以直线l2经过点B(4,4)和点C'(2,0),所以直线l2的方程为=,整理得2x-y-4=0. 变式　(1)ABC　(2)B　(3)y=2x-1或y=-x-1 [解析] (1)直线l2的方程整理可得m(x-y+2)+2x-y+5=0,由解得因此直线l2过定点(-3,-1),A正确.由l1⊥l2,得2m(m+2)+3(m+1)=0,解得m=-3或m=-,B正确.当l1与l2平行或重合时,可得-(m+1)·2m+3(m+2)=0,解得m=2或m=-,所以当m≠2且m≠-时,l1与l2相交,C正确.由C的分析可知,当m=2或m=-时,l1∥l2.当m=2时,直线l1,l2的方程分别为4x-3y+4=0,4x-3y+9=0,它们之间的距离为=1;当m=-时,直线l1,l2的方程分别为-3x-3y+4=0和x+y+2=0,即x+y-=0和x+y+4=0,它们之间的距离为=,D错误.故选ABC. (2)设点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是B(a,b),则有解得故点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是(0,1).故选B. (3)易知直线l1:3x-4y-4=0交x轴于点M,交y轴于点P(0,-1),所以点P在直线l2上.设直线l2的方程为y=kx-1,易知点M关于直线l2的对称点N(a,b)在y轴上,所以a=0.可得MN的中点Q在直线l2上,所以k-1=①.又-=②,所以由①②可得k=2或k=-,所以直线l2方程的斜截式为y=2x-1或y=-x-1. 题型二 例2　(1)D　(2)　[解析] (1)由题意知,直线l1:ax+y+1=0恒过定点P(0,-1),直线l2:y=k(x+1)恒过定点Q(-1,0),|PQ|==,易知当PQ⊥l2时,点P到直线l2的距离最大,最大值是|PQ|=.故选D. (2)直线l1的方程可变形为3ax-(y+2)=0,由可得即点A(0,-2).直线l2的方程可变形为a(2x+5y)-(x+1)=0,由可得即点B,所以|AB|==. 变式　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题意得kAB==,所以直线AB的方程为y-2=(x+1),即3x-4y+11=0.设所求直线的方程为3x-4y+m=0(m≠11),则=2,解得m=21或m=1,所以所求直线的方程为3x-4y+21=0或3x-4y+1=0.故选C. (2)因为l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0平行,所以n=-4,即直线l2的方程为x-2y-3=0,又l1与l2之间的距离是2,所以=2,又m>0,所以m=7,所以l1的方程为x-2y+7=0.设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+a=0(a≠7),则=2,解得a=-13或a=7(舍去),则直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y-13=0.故选A. (3)解:由题意知A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,连接AB,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,此时点P是直线AB与直线l的交点.易得直线AB的方程为y=x-2,由解得故所求的点P的坐标为(12,10). 题型三 例3　(1)ACD　(2)x2+y2-2x=0　(3)(x-1)2+(y+1)2=2　(4)+=1　[解析] (1)方程x2+y2+kx+2y+k2=0可化为+(y+1)2=1-k2,由1-k2>0,解得-<k<,故A正确,B错误;当k=0时,圆的半径最大,则圆的周长以及面积最大,此时半径为1,圆心坐标为(0,-1),圆的面积为π·12=π,故C,D正确.故选ACD. (2)易知所求圆的圆心既在直线x+y=1上,也在直线x=1上,故圆心坐标为(1,0).又圆过点(0,0),所以所求圆的半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. (3)易知圆x2+y2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为 ,可得过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,则所求的圆的圆心在此直线上.又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为 =3,所以所求的圆的半径为 =,设所求圆的圆心坐标为(a,b),则=,且a+b=0,解得或当时,所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,易知该圆与已知圆相切,满足题意;当时,所求圆的方程为(x-3)2+(y+3)2=2,易知该圆与已知圆外离,不满足题意.综上可得,所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (4)设所求圆的圆心为A(a,b),易知圆x2+y2=25的半径为5,圆心为坐标原点O,因为圆O和圆A相内切,且圆A的半径为1,所以|OA|=5-1=4,则=4①.因为两圆内切于点P(3,-4),所以O,P,A三点共线,因此=②,由①②可得或因为点P(3,-4)在第四象限,所以点A也在第四象限,所以因此所求圆的方程为+=1. 变式　(1)x2+y2=7　(2)A　(3)ACD　[解析] (1)设圆心M(x,y),由│AB│=6知,圆M的半径r=3,则点O到点M的距离d==,可得=,整理得圆心M的轨迹方程为x2+y2=7. (2)设B(x0,y0),M(x,y),由题意可知所以又因为(x0-1)2+=4,所以(2x-5-1)2+(2y)2=4,化简可得x2+y2-6x+8=0,所以M的轨迹方程为x2+y2-6x+8=0.故选A. (3)对于选项A,由(x-3k)2+(y-4k+1)2=1+25k2,得x2-6kx+9k2+y2-2(4k-1)y+16k2-8k+1=1+25k2,整理得x2+y2+2y-k(6x+8y+8)=0,由得或故圆C过定点和,所以选项A正确.对于选项B,易知该圆的圆心为(3k,4k-1),半径r=,则点(0,0)到圆心的距离d==,因为k∈R,所以当k>0时,d<r,此时点(0,0)在圆C内,所以选项B错误.对于选项C,因为圆心为(3k,4k-1),且4×3k-3(4k-1)-3=0,所以圆心在直线4x-3y-3=0上,所以选项C正确.对于选项D,假设存在实数k,使圆与x轴相切,则有|4k-1|=,即9k2+8k=0,解得k=0或k=-,所以选项D正确,故选ACD. 题型四 例4　(1)2,,-2,-(填一个即可)　(2)B　(3)AD　[解析] (1)如图,因为直线x-my+1=0过定点(-1,0),且点(-1,0)在圆C上,所以不妨记A(-1,0),C(1,0),设B(xB,yB),则S△ABC=×2×|yB|=,即|yB|=,可得xB=或xB=-,又m=,所以m可取2,,-2,-. (2)方法一:由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,可得该圆的圆心为C(2,0),半径r=.过点P(0,-2)作圆C的切线,设切点为A,B,因为|PC|==2,所以|PB|=|PA|==,可得sin∠APC==,cos∠APC==,则sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2××=,cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=-=-<0,即∠APB为钝角,所以sin α=sin(π-∠APB)=sin∠APB=. 方法二:易知圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标为(2,0),半径r=,过点P(0,-2)作圆C的切线,设切点为A,B,可得|PC|==2,则|PA|=|PB|==,因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB,且∠ACB=π-∠APB,所以3+3-6cos∠APB=5+5-10cos(π-∠APB),即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB,解得cos∠APB=-<0,即∠APB为钝角,则cos α=cos(π-∠APB)=-cos∠APB=,所以sin α==. 方法三:易知圆x2+y2-4x-1=0的圆心为C(2,0),半径r=,易知过点P的切线斜率存在,设切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,则=,整理得k2+8k+1=0,且Δ=64-4=60>0.设两切线斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-8,k1k2=1,可得|k1-k2|==2,所以tan α==,即=,可得cos α=,则sin2α+cos2α=sin2α+=1,因为α∈,所以sin α>0,可得sin α=.故选B. (3)圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,则圆C的圆心坐标为(3,0),半径r=2.对于A,对于任意实数m,当y=0时,恒有x=-3,即直线l过定点(-3,0),A正确;对于B,显然圆心C(3,0)不在直线l上,因此,当直线l与圆C相交时,直线l被圆所截得的弦长小于4,B错误;对于C,当直线l与圆C相切时,圆心C到直线l的距离d==2,解得m=±2,C错误;对于D,当m=3时,d=<2,直线l与圆C相交,所得弦长为2=2=,D正确.故选AD. 变式　(1)B　(2)D　(3)ACD　[解析] (1)由题意得+()2=a2,解得a=2或a=-2(舍去),∴圆M:x2+(y-2)2=4,∴圆M与圆N的圆心距d==.∵圆M的半径为2,圆N的半径为1,2-1<<2+1,∴两圆相交. (2)由(a+1)x-ay-1=0(a∈R)得a(x-y)+x-1=0,所以直线恒过定点D(1,1).易知圆x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径r=2,因为<2,所以点D在圆的内部,连接CD.当CD⊥l时,弦AB最短,因为|CD|==,所以|AB|min=2=2.因为直线l不过圆心,所以|AB|<4,故|AB|的取值范围为[2,4).故选D. (3)方法一:由题知圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心的坐标为(5,5),半径r=4,直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,圆心到该直线的距离d==>4,故点P到直线AB的距离的取值范围为,由+4-10=-6==<0,得+4<10,故选项A正确;-4-2=-6<0,即-4<2,故选项B不正确;易知当∠PBA最大或最小时,PB均为圆的切线,此时|PB|==3,故选项C,D均正确.故选ACD. 方法二:直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0.设P(5+4cos θ,5+4sin θ),则点P到直线AB的距离d==,其中tan φ=,因为dmax=<10,dmin=<2,所以选项A正确,选项B错误.记圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为点D(5,5),半径r=4,连接DB,则|DB|==.易知当∠PBA最大或最小时,PB均为圆的切线,此时|PB|===3,所以选项C,D均正确.故选ACD. (4)解:①设M(x,y),则=(x+1,y),=(x-1,y), 因为·=3,所以(x+1)(x-1)+y2=3,即x2+y2=4,所以动点M的轨迹E的方程为x2+y2=4. ②圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1-2m, 则1-2m>0,解得m<,可得圆C的圆心为C(1,0),半径r1=,又圆E的圆心为E(0,0),半径r2=2, 易知两圆内切,所以|CE|=|r1-r2|=1,即|-2|=1,解得m=-4或m=0, 又m<,所以m=-4或m=0. 学科网（北京）股份有限公司 $