精品解析：江苏省盐城市2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 在实数，，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标（ ） A B. C. D. 4. 下列各式正确的是( ) A. =±6 B. ﹣=﹣2 C. =﹣6 D. = 5. 等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为 （　 ） A 3cm B. 6cm C. 3cm或6cm D. 3cm或9cm 6. 已知，A、B两地相距120千米，甲骑自行车以20千米/时的速度由起点A前往终点B，乙骑摩托车以40千米/时的速度由起点B前往终点A．两人同时出发，各自到达终点后停止．设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），则下图中正确反映s与t之间函数关系的是（ ） A B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 25的算术平方根是 _______ . 10. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，则a的值为_________． 11. 如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为______． 12. 2021年，中国宣布现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，提前十年完成《联合国2030年可持续发展议程》减贫目标．近似数9899万精确到___________位． 13. 在如图所示的数轴上，画边长为1的正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴相交于点A、B两点（B左A右），则点B所表示的实数是___________． 14. 在平面直角坐标系中，把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)，则2a+4b+3的值为______． 15. 如图，在ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝_____． 16. 如图，一束光线从点射出，照在经过、的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴反射后的光线恰好通过点，则光线所在直线的函数表达式为___________． 三、解答题：（本大题共有10小题，其中第17题~23题每题6分，第24题~25题每题8分，第26题10分，共68分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤．） 17. 计算： 18. 19. 中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等．如对象棋棋盘建立恰当平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题． （1）如图，若“帅”所在点的坐标为，“马”所在的点的坐标为，则“相”所在点的坐标为___________； （2）如图，若C点的坐标为，D点的坐标为，按“马”走的规则，图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标为___________． 20. 如图，要测量河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使．从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．测量的长就能知道A、B两点之间的距离．请说明理由？ 21. 如图，在中，，． （1）在上求作点P，使得；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的长． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC， （1）求证：CF=EF； （2）求∠EFB的度数． 23. 学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把元；若学校购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元；购买张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费元． （1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？ （2）若学校购买甲乙两种办公桌共张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案． 24. 如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移个单位得到； （3）在轴上求作一点，使的周长最小． 25. 实验小学与七彩农业园分别在上海路的两端，甲从实验小学去七彩农业园，乙从七彩农业园回学校，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图像信息解答下列问题： （1）当 时，甲、乙两人相遇，甲的速度为 米/分； （2）求乙的速度； （3）求出线段所对应的函数表达式． 26. 如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 27. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． （2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可，熟知平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 在实数，，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】无限不循环的小数是无理数，再根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴实数，，，，，，中，无理数有 ，，，共3个， 故选C 【点睛】本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是解本题的关键． 3. 点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，得出点P的横坐标为，纵坐标为，再根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，据此即可得出答案． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， 又∵点P在第二象限内， ∴点P的坐标． 故选：C． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离、平面直角坐标系中点的坐标特点，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 4. 下列各式正确的是( ) A. =±6 B. ﹣=﹣2 C. =﹣6 D. = 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项分析即可得出答案． 【详解】A选项中，因为，所以A中计算错误； B选项中，因为，所以B中计算错误； C选项中，因为，所以C中计算错误； D选项中，因为，所以D中变形正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，熟记算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 5. 等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为 （　 ） A. 3cm B. 6cm C. 3cm或6cm D. 3cm或9cm 【答案】B 【解析】 【分析】分3cm是腰还是底边两种情况进行讨论，再根据三角形三边的关系进行取舍即可. 【详解】解：当3cm是底时，则腰长是（15-3）÷2=6（cm），此时能够组成三角形； 当3cm是腰时，则底是15-3×2=9（cm），此时3+3＜9，不能组成三角形， 应舍去． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系，已知条件没有给出是边还是底的时候要分两种情况进行讨论. 6. 已知，A、B两地相距120千米，甲骑自行车以20千米/时的速度由起点A前往终点B，乙骑摩托车以40千米/时的速度由起点B前往终点A．两人同时出发，各自到达终点后停止．设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），则下图中正确反映s与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出2小时两人就会相遇，甲6小时到达B地，乙3小时到达A地，进而根据相遇前、相遇后两个阶段得出相应的分段函数，从而找出符合题意的图象． 【详解】解：根据题意，两人同时相向出发，甲到达B地时间为：=6小时，乙到达A地：=3小时． 根据题意，分成两个阶段：相遇前、相遇后；相遇后可分成乙到达A地、甲到达B地； 相遇前，s=120﹣（20+40）t=120﹣60t（0≤t≤2），当两者相遇时，t=2，s=0， 相遇后，当乙到达A地前，甲乙均在行驶，即s=（20+40）（t﹣2）=60t﹣120（2≤t≤3），当乙到达A地时，此时两者相距60千米； 当乙到达A地后，剩下甲行驶，即s=60+20（t﹣3）=20t（3≤t≤6）， 故： 故选B． 点评：此题主要考查了函数图象，根据题意得出关键转折点是解题关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得． 【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图： ∴，， ∴，此时周长最小， 由得，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵C、D关于AB对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，可得直线DG解析式为， 在中，令得， ∴， 由，得， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查与一次函数相关最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 10. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，则a的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到a的值，即可得解． 【详解】解：∵点 P(a−2，a) 在y轴上， ∴a-2=0，解得：a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 11. 如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 12. 2021年，中国宣布现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，提前十年完成《联合国2030年可持续发展议程》减贫目标．近似数9899万精确到___________位． 【答案】万 【解析】 【分析】根据近似数精确度求解． 【详解】解：9899万精确到万位． 故答案为：万． 【点睛】本题考查了近似数，理解“精确度”是近似数的常用表现形式是解题的关键． 13. 在如图所示的数轴上，画边长为1的正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴相交于点A、B两点（B左A右），则点B所表示的实数是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出半圆的半径，求出点B到原点的距离，根据数轴上数的特点得出答案； 【详解】由勾股定理得出半圆的半径为， 点B到原点的距离为：， 又因为点B在原点的左边，点B所表示的数是 故答案为：． 【点睛】本题考查的是无理数在数轴上的表示方法，根据是正确的求出的长度． 14. 在平面直角坐标系中，把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)，则2a+4b+3的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】直接利用平移中点的变化规律求得a+2b=6，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)， ∴a-1-3=2-2b，即a+2b=6， ∴2a+4b+3=2(a+2b)+3=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律以及代数式的求值．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 15. 如图，在ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝_____． 【答案】115° 【解析】 【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案． 【详解】解：∵AB＝BD，AC＝CE， ∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE， 设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y， ∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2x+2y+50°＝180°， ∴x+y＝65°， ∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°． 故答案为：115°． 【点睛】本题考查等边对等角、三角形内角和等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 如图，一束光线从点射出，照在经过、的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴反射后的光线恰好通过点，则光线所在直线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先作出点关于的对称点及点关于轴的对称点，求得过两个对称点的直线与直线的交点，进而即可求解． 【详解】解：如图，分别作出点关于的对称点及点关于轴的对称点， 由题意可知点O关于的对称点是，点A关于y轴的对称点是， 设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式是， 同理可得的解析式是， 两式联立，得， 解得．则 设直线的解析式为 代入，并解得： ∴直线的解析式为 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的知识，以及一次函数的应用，求出两个对称点的解析式是解决本题的关键． 三、解答题：（本大题共有10小题，其中第17题~23题每题6分，第24题~25题每题8分，第26题10分，共68分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】运用平方根的定义求解即可； 【详解】 【点睛】本题考查了平方根的基本定义，解题的关键是掌握平方根的运算法则． 18. 【答案】 【解析】 【分析】先将原式通过移项、系数化为1进行变形，再直接开立方运算即可； 【详解】 【点睛】本题考查了立方根解方程，解题的关键是注意任何数都有立方根． 19. 中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等．如对象棋棋盘建立恰当平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题． （1）如图，若“帅”所在点的坐标为，“马”所在的点的坐标为，则“相”所在点的坐标为___________； （2）如图，若C点的坐标为，D点的坐标为，按“马”走的规则，图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标为___________． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）结合图示，确定原点，画出平面直角坐标系； （2）读懂棋子“马”走的规则，确定可以直接走到点，再写坐标． 【小问1详解】 建立如图所示的平面直角坐标系：点为坐标原点． 所以 则“相”所在点的坐标为． 故答案是：； 【小问2详解】 ∵规定：棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走， ∴棋子“马”所在的位置可以直接走到的点坐标为，，． 故答案是：，，． 【点睛】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标． 20. 如图，要测量河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使．从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．测量的长就能知道A、B两点之间的距离．请说明理由？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意证出，得出 即可； 【详解】根据题意得： 在和中， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 21. 如图，在中，，． （1）在上求作点P，使得；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）作线段的中垂线，与的交点即为所求； （2）设，则，根据即可求解． 【小问1详解】 如下图： 点P即为所求． 【小问2详解】 设，则， 由上图知，， ， 在中，， ， 解得． ． 【点睛】本题考查了作图及勾股定理，解题的关键是掌握中垂线的性质． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC， （1）求证：CF=EF； （2）求∠EFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及CE⊥AB得出△ACE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ACB的度数，由AB=AC，AF⊥BC，可知BF=CF，CF=EF； （2）根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】∵DE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∵CE⊥AB， ∴△ACE是等腰直角三角形，∠BEC=90°， ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF，即F是BC的中点， ∴Rt△BCE中，EF=BC=CF； （2）由（1）得：△ACE是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ACE=45°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°， ∵CF=EF， ∴∠CEF=∠BCE=22.5°， ∵∠EFB是△CEF的外角， ∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 23. 学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把元；若学校购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元；购买张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费元． （1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？ （2）若学校购买甲乙两种办公桌共张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案． 【答案】（1）甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元 （2）甲种办公桌购买张，购买乙种办公桌张，费用最少 【解析】 【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据题意，得：，进行计算即可得； （2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌张，总费用为w元，则可得，根据得，根据得y随a的增大而减小，即可得当时，w取得最小值． 【小问1详解】 解：设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元， 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 答：甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元； 【小问2详解】 解：设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌张，总费用为w元， 则 = ＝， ∵， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最小值． 所以甲种办公桌购买30张，购买乙种办公桌10张时，费用最少 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握解二元一次方程的方法，一次函数的性质． 24. 如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移个单位得到； （3）在轴上求作一点，使的周长最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的点对称，点的平移，动点到两个定点距离之和最小，熟记对称点确定的基本原则，平移的基本规律和线段之和最小原理是解题的关键． （1）保持纵坐标不变，横坐标取相反数，确定对应的对称点，顺次连接三个对称点即得对称图形； （2）按照上加下减原理，在各点的纵坐标上实施这一运算，得到平移变换后的各点，依次连接三个点即得到平移后的三角形； （3）连接，与轴的交点就是点，此时的周长最小． 【小问1详解】 解：∵、、， ∴关于轴的对称点分别为，，， 顺次连接，，，得到，如图示； 【小问2详解】 解：∵、、， ∴向下平移个单位后的坐标分别为，，， 顺次连接，，，得到，如图示； 【小问3详解】 解：连接，交轴于点，此时的周长最小，如图； 25. 实验小学与七彩农业园分别在上海路的两端，甲从实验小学去七彩农业园，乙从七彩农业园回学校，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图像信息解答下列问题： （1）当 时，甲、乙两人相遇，甲的速度为 米/分； （2）求乙的速度； （3）求出线段所对应的函数表达式． 【答案】（1）30，60 （2）90（米/分） （3） 【解析】 【分析】（1）两人之间的距离为零时，就两人相遇的时间，由图像可直接读出，有图可知甲走完全程米用时为分钟，路程除以时间即可得到速度； （2）两人相遇时一共走了米，用时分钟，路程除以时间求的是两人的共同速度，再减去由（1）中求出的甲的速度，即为乙的速度； （3）由图可知B点坐标，由（2）已经求出乙的速度，有速度和路程就可求出乙走完全程所用时间，就是A的横坐标，用相遇后所走时间乘以乙的速度， 就是相遇后乙所走路程，即为A的纵坐标，有了两点坐标，用代入法就可求出线段的函数表达式． 【小问1详解】 解：根据图像信息，当分时甲乙两人相遇， 甲的速度为：（米/分）． 【小问2详解】 甲、乙两人的速度和为（米/分）， 甲的速度为（米/分）， 乙的速度为（米/分）． 【小问3详解】 乙从七彩农业园回学校的时间为（分）， （米）， 点的坐标为， 设线段所表示的函数表达式为， ， 解得， 线段所表示的函数表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，能够读出函数图像包含的数学信息，列出函数解析式，用代入法进行求解，清楚横纵坐标含义及A、B两点的含义是解答本题的关键． 26. 如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE证得∠MBO=∠OMF，结合∠A=90°=∠NFM即可证明； （2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线性质可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，则NO可求． 【小问1详解】 在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，， ， ∵，∠A=∠D=90°，， ∴四边形ADFM是矩形， ∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD， ∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF， ∵MN是BE的垂直平分线， ∴MN⊥BE， ∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO， ∴∠MBO=∠OMF， ∵， ∴△ABE≌△FMN； 【小问2详解】 连接ME，如图， ∵AB=8，AE=6， ∴在Rt△ABE中，， ∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10， ∵MN是BE的垂直平分线， ∴BO=OE==5，BM=ME， ∴AM=AB-BM=8-ME， ∴在Rt△AME中，， ∴，解得：， ∴， ∴在Rt△BMO中，， ∴， ∴ON=MN-MO=． 即NO的长为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 27. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． （2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 【答案】（1）钝角三角形；证明见详解 （2）①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD= 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可； （2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形， ∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°， ∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC， ∴∠EBA=∠DBC， 在△EBA和△DBC中， ， ∴△EBA≌△DBC（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°， ∴△ADC为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形． 【小问2详解】 证明：①以、、为边的三角形是直角三角形． 连结CG， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB， ∵EG为正方形的对角线， ∴∠BEA=∠BGE=45°， ∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°， ∴∠EBA=∠GBC， 在△EBA和△GBC中， ， ∴△EBA≌△GBC（SAS）， ∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°， ∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°， ∴△AGC为直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形； ②连结BD， ∵△AGC直角三角形，， 由（2）可知，AE=CG， ∴AC=， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=BD=， ∴S四边形ABCD=． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$