精品解析：海南省2023-2024学年高三下学期高考数学全真模拟卷（八）

6学科网列组卷网 2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（八) 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知一组数据：4,6,7,9,11,13，则这组数据的第65百分位数为() A.6 B.7 C.9 D.11 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义，求出第65百分位数是这组数据从小到大排列的第几个数，即可得到答案. 【详解】已知一组数据：4,6,7,9,11,13，共6个数， 则6×65%=3.9. 所以这组数据的第65百分位数为从小到大排列的第四个数9. 故选：C 2下列方程中表示圆心在直线yx上，半径为V ,且过原点的圆的是() A.(x-1)2+(y-1)2=V2 B.(x-1)2+(y+)2=2 c.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 【答案】D 【解析】 【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可： 【详解】因为圆心在少=x上，所以设圆心为(a,a), 因为圆的半径为V2 所以设圆的标准方程为(x-a+(y-a)}2=2 第1页/共25页 6学科网命组卷网 因为该圆过原点， 所以(a+(←-a}=2. 解得a=±l, 所以圆心为（，或山-) 当圆心为(，)时，圆的标准方程为-少+(-少'=2，D对 当圆心为(--)时，圆的标准方程为(x++(0+=2 故选：D 3.已知首项为1的等比数列 a}的前n项和为S,若，=16S,-15,则a=() A.24 B.12 C.20 D.15 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，借助等比数列前项和公式求出公比9即可得解 【详解】设等比数列{a,}的公比为9，显然9≠1，否则7=16×4-15，此等式不成立， 1-9=16.1-9-15 则1-901-q ,由q≠0，整理得g-16g3+15=0,即(g3-10(g3-15)=0, 因此9=15，所以0，=1×g=15 故选：D 4.如图所示的沙漏由两个完全相同的圆锥组成，且圆锥的底面半径和高均为2.若沙漏的起始状态为上方圆 锥中充满了沙子，下方圆锥中没有沙子，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，需要54分钟全部漏完，则 经过52分钟后，沙漏上方圆锥中沙子的高度为() 第2页/共25页 6学科网组卷网 2 2W2 A.3 B.3 C.3 D. 3 【答案】B 【解析】 52 【分析】由题意漏下来的沙子是全部沙子的54，剩余的是全部沙子的54，然后根据体积之比可得答案. 【详解】因为沙子漏下来的速度是恒定的，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中， 52 2 则经过52分钟后，漏下来的沙子是全部沙子的54，剩余的是全部沙子的54， 下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分， 所以可以单独研究下方圆锥，设久为下方空白的圆锥的高， h全为沙漏的高， ”为下方空白部分的圆锥的体积，'全为下方沙漏的体积。 =21 2 V5427 h 可得= 3 故选：B. 5 4 A.9 B.9 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得. 第3页/共25页 6学科网命组卷网 【详解】￠ 2a+》ow2a+}-2aa+引1-2-1 故选：A 1 ab=2a+-b+3 6.若正数a,b满足 2,则ab的最小值为() A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】C 【解析】 1 1 【分析】利用2a+26+3222a2b+3,可求b最小值 2 2 【详解】因为a,b为正数，所以ab=2a+)b+3≥22a:)b+3=2Vab+3 2 2 2a=1b 当且仅当 2时取等号，所以(Vab)2-2√ab-3≥0， 所以(Nab-3vad+1)≥0 所以Vah≥3或vab≤-1（合去）， 6、3 所以ab≥9，当且仅当b=2,a=6 时等号成立， 故选：C 7.已知正方 ABCD-4BCD转长为2，点N为键面四边元CDDC的中心，则直 NCB,C的外 接球的表面积为() 2元 A. B.4n D.8 【答案】D 【解析】 【分析】画出图分析出球心为两个面斜边中点的垂线的交点，然后利用勾股定理求球的半径即可求解. 第4页/共25页 6学科网列组卷网 【详解】如图： D C A B E O----- 四面体 NCB,C的 CB,C是直角三角形， O,0为面CB,G与1DDA的中心，所yO0+面CB,G CB 00上 因为斜边6的中点O是三角形外心，所以球心在的直 NCG也为直角三角形.0，E分别为C8与CG的中点，所 OE‖B,C1 BG1面NCC,所OE上面NCG, 面 因为斜边CC的中点E是三角形外心，所以球心在的直线OE上， 故球心为直线 线O0与直线0E的交点0， 正方 ABCD-AB,CD的棱长为2， C=BC=xN22+2=V2 所以球的半径为 2 2 所以四面体NCB,C的外接球的表面积为：4π(V②)}=8元， 故选：D 8在平面直角坐标系中，椭圆C:士 :4+了引的左、右顶点分别为4,4，点M是椭圆C上异于 4,4的点，N为平面内一点，且满足4N=M,过点N作直线4M的垂线与直线4M交于点 第5页/共25页 6学科网6组卷网 P,则A4P=() A.12 B.16 C.24 D.32 【答案】C 【解析】 【分析】设M坐标为，），，N=M,所以N是4M的中点，可表达出N坐标，根据斜率表达 出直线AM,直线NP,联立解出P点坐标，在表达出44与P解之即可 +6=1 【详解】设M坐标为(xo,),则4+3=1， 根据题意知4(-2,0)4(2,0) x+20 A,N=NM,所以N坐标为2,2 直线AM斜率为 x+2.所以直线4M方程为=2x+2 直线A,M斜率为 x。-2,因为直线NP与直线AM垂直， =-6-2 所以直线NP的斜率为 y0, 所以直线p方程为》-2=为x-专， 2 +14(（x+18) 求得p点坐标为2,2(+2) 04-0原-经- 第6页/共25页 6学科网6组卷网 所以44·P=24+0=24 故选：C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.己知复数2，z+2i在复平面内所对应的点分别为M,N，且点M,N均在以坐标原点0为圆心.2为 半径的圆上，点M在第四象限，则() A.点N在第一象限 B.MN=2 C.OM LON D.22+2=z 【答案】AB 【解析】 a2+b2=4 a=3 【分析】由题意可得 ad2+(b+2}=4'求解可 b=-1 进而逐项判断即可。 a2+b2=4 【详解】设 由题意可得 =a+bi,a,b∈R a2+(b+2)}=4' a=3a=-V3 解得 6=-1或b=-1，所以点M(5,-)或M(-5,-1) 因为点M在第四象限，所以M(N5,-),从而可得5，D, 所以点N在第一象限，故A正确： 所以MW=2 故B正确： 0M=(5,-0,0N=(5,),所以0M-0N=3-1=2, 所以OM与ON不垂直，故C错误； 第7页/共25页 命学科网命组卷网 所以2+2=(5-i+2=4-25i≠，放D错误 故选：AB。 f(x)-sinxl+cos(x-") 10.已知函数 ,则() f(x) 2π A.函数 的最小正周期为 B.函数 f(x) 的图象为中心对称图形 5 C函数f)在-2，-3上单调递增 D.关于产的方程闲=0在利上至多有3个解 【答案】AC 【解析】 【分析】分析函数心田在元可上的性质并作出西数图象，再运项分折判断得解 在 匹-3 【详解】当-元≤x≤0时，f四=-sinx+cos(x-乃）= 61 2 cosx-1 inx=cos(x+ 2 6 3 √5 图歌网金名名上建格.世数位从号8大到1：在名0上运装，司致省状1饭小到分。 当05前，w-n+ox急=s+子nx=cmr-】 62 2 5 函数在0，宁上道增。西数值从？带大到5：在写，叫上道藏。函数值从5藏小到？。 函数f田在【元对 在 的图象，如图： 第8页/共25页 6学科网列组卷网 /3 3 6 V3 对于A,f+2nm(+2m1eox+2-令simr1+eos6x-爱=/)】 6 结合函数四在无利的图象，符2开是四 的最小正周期，A正确： 对于A.或察活效儿因无利的图家。西数因在利 在 没有对称中心， 又 的最小正周期是2r,则函数闭 的图象不是中心对称图形，B错误： 5元 对于C,由函数f)在0宁上道指，f)的最小正周期是2x,得两数f)在（-2- 3 上递增，C 正确： 3 对于D,观察函数f(x)在[-元，的图象，得当2 <a<l时，f)=a有4个解，D错误. 故选：AC 11.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称，若 f-f4-为-2-x,则《) f(4-5x)+f(5x-2)-】 4 B.f(2)+f(4)=4 cy=f(x+)2为奇函数 D.y=∫(2+x+2x为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析1A选项，根据中心对称为，2)，得到4-5)+(5x-2)=4,A正确：B选项，变形得到 第9页/共25页 命学科网命组卷网 丁八心-2赋值得到B销误，c浓风，根据厨数的对称中心得到 4 f(-)-2=-[/(x+)-2],c正确：D选项，根据题日条件得到f(x+2)-f(2-=4x，,变形 为f(x+2)+2x=f(2-2x,D正确 【详解】A选项，f(四的定义减为R,其图象关于（，2)中心对称， 故f(4-5x)+f(5x-2)=4,故 4-5刘4f5x-2）-1.A正商： B选项，由题意得f(4-x)+f(x-2)=4,又 f(y)-f(4-)=2-x 4 f+f-2）4=2-x, 4 ④+)-4-2-4，f④)+f2)=-8+4=4,B错： 令x=4得4 C选项，由愿意得f1-)+f(x+)=4,即f(1-)-2=-[f(x+)-2], 令8()=f(x+-2,则8(-)=-8()， 所以V=(x+)-2为奇函数，C正确： D选项，因为 --2-,t2-2-2 4 4 即f(x+2)-f(2-)=-4x,枚f(x+2)+2x=f(2-)-2x, 令h(x=f(2+x)+2x,则h()=h(-x), 故)=f(2+)+2x为偶函数，D正确 第10页/共25页 6学科网命组卷网 故选：ACD. 【点睛】函数的对称性： a+b c 若f(x+a)+f(-x+b)=c,则函数f(x)关于2’2中心对称： 专o=.天+g4家 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12已知集合A={x6x+x-0≤0，B={xx+3x+2x-)=0吗，若AnB≠0，则实数0的 取值范围为 【答案】 （-0,-2U1,+∞) 【解析】 A∩B≠ 【分析】根据条件 ,逐一讨论集合A,求出符合条件的“即可 【详解】由题可得B={3,-2,, 当a=-小时，AH,则4nB= ,不满足条件： 当a<-1时，A=xa≤x≤-，要使AnB≠，则a5-2, 当a>-1时，A={x-1≤x≤a,要使AnB≠⑦，则a≥l, 综上，实数0的取值范围为一o0,-2]U儿，+∞) 故答案为： （-o0,-2]U[,+∞） 13. 己知抛物线 C:=6x的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C交于M,N两点，若 MN=5 4,则直线【的斜率为 第11页/共25页 6学科网命组卷网 √2 【答案】二4 【解析】 【分析】设M(,,N(,少），利用弦长公式+名+p=54 解 【详解1微物戏的东点F0,设直线1约方香：=人：引】 3 y2=6x 联立方程 -(引得k-++-0 设M(,y)NG,y.则+x=3+6 k2, 因为MW=54,所以名+x2+p=54, Bk+6+3=54,得3 即k2 4 故答案为： 4 sin(2B+C)sin(C-A) 14在锐角。4BC中，角A:B'C所对的边分别为a'b,c'且 cos B cos(A+B) csn4=2,若a+R≤a2b2 则实数的取值范围为 25 十00 【答案】64 【解析】 sin(2B+C）_sin(C-A) 【分析】先根据三角恒等变换和诱导公式可由cosB cos(A+B)得B=C,再根据正弦定理可 第12页/共25页 命学科网命组卷网 2 4宁g面4名用 2 得a- b=c= sinC 64 sin(2B+C)sin(C-4) 【详解】由cos B cos(A+B)得sin(2B+C)cos(A+B)=sin(C-A)cosB, C)in([sin(CC 得sin(4+3B+C)=sin(C-B-A),得sin(π+2B)=sin(C-(π-C)》. 得sin2B=sin2C, 故2B=2C或2B+2C=π， 又△ABC为锐角三角形，故2B=2C,即B=C,b=C, ，a=2 b=c=- 2 由csin A=2及正弦定理可得asin C=csin A=2,故sinC, sin A, 1.1 .九≥ 因ad2+b≤1aB,故22+疗恒成立， ,1+↓-sin2C+sin2A_sin2C+sin2(π-2C) 又京+京 4 iCCsinCCinC)inCsimCsinC 4 =-sin2c-525 8+64 又1BC为能角三角，放Ce0) sinCE(0,1), 第13页供25页 命学科网命组卷网 故当sinc=311 25 8时a2b2取得最大值64， 政1≥25 25 64,即实数入的取值范围为64，+0 +00 故答案为： 64 四、解答题（本题共5小题、共77分解题应写出文字说明、证明过程及演算步骤） C:x2y2 15,已知双曲线C:。=l(a>0,b>0的实轴长为22，点P2,⑥)在双曲线C上 (1)求双曲线C的标准方程： (2)过点P且斜率为2W6的直线与双曲线C的另一个交点为9，求P x2 y2 =1 【答案】(1)26 20 (2)7 【解析】 【分折】(1)将点P2,V6)代入双曲线C方程即可求解， (2)写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【小问1详解】 因为双曲线的实箱长为25，所以2a=2V2,解得：a=V2 46 又因为点P2,⑥在双曲线C上，所以2方=，解得：=V6, 第14页/共25页 6学科网6组卷网 x2 y2 所以双曲线的标准方程为：26=1 【小问2详解】 设Px,).(3,) 0 由题可得过点P且斜率为2W6的直线方程为：y-V6=26(x-2),即y=26x-36 x2 y2 =1 联立 2 6 ,消去可得： y=2V6x-3v6 y 7x2-24x+20=0 24 20 所以+名=7，x=1 7, 所以Pg=V1+k2Vx+x)2-4xx2=1+24 24)2 4.2020 -4×9 77 16.如图，在直四棱柱 ABCD-AB,CD中，底面四边形ABCD为梯形，MD/IBC,AB=AD=2, BD=22,BC=4 第15页/供25页 6学科网组卷网 4 AB⊥AD (1)证明： 6 (2)若直线AB与平面B,CD,所成角的正弦值为6，点M为线段BD上一点，求点M到平面 BCD 的距离 【答案】(1)证明如下： 因为AB=AD=2,BD=2√2 所以AB+AD=8=BD,所以AB⊥AD, 因 ABCD-ABCD,为直四棱柱， 所以AAL AB 因为44nMD=A.44,ADC平面1DD4, 所以ABL平面ADDA 因为AB/ B,所以4R1平面1DD4, 因为DC平面DDA,所以48上D 26 (2)3 【解析】 第16页/供25页 6学科网 命组卷网 【分析】(1)因为 AB //AB ,因此只需证明AB平面 ADD,4,只需证明 AB⊥AA （由题可证)， AB⊥AD,由勾股定理易证 6 (2)建立空间直角坐标系，先由直线AB与平面B,CD,所成角的正弦值为6，求出A4,再证明 BD/平面B,CD,由此得点M到平面B,CD的距离等价于点B到平面B,CD的距离，再由点到平面的 距离公式求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)及题意知， AB,AD,4A两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ZA A B B 因为AB=AD=2,BD=22,BC=4设4M=hh>0) 所y400,0,B2,0.0,B(20,,C24,0,D,(02,,D0,2,0) 所以AB=(20,0,CB=(0,-4,月，CD=(-2,-2,),BC=(0,40,BD=(-2,20) 设平面B,CD的一个法向量为”=（化，y2习 ni.CB=-4y+hz=0 则1i.CD=-2x-2y+hz=0 令2=4，则 x=y=hi=(h,h,4) ,所以 第17页/共25页 6学科网 命组卷网 设直线AB与平面 所成的角为0， 则sinB=cosA瓜= ABn 2h-V6 AB12×V22+166, 解得h=2,所以n=(2,2,4) 所以点，到平面BCD的距离为d= BC-n8 26 |263 因为BDi=-2×2+2×2+4x0=0,所以BD⊥n 因为BD不在平面B,CD,所UBD/平面BCD, 2N6 因为M在线段BD上，所以点M到平面B,CD的距离等价于点B到平面B,CD,的距离，为3 2W6 故点M到平面BCD,的距离3· 17.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的奖券各3张，每 张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折 扣进行结算， (1)求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； (2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X,求X的分布列及数学期望 E(x) 27 【答案】(1)55 (2) 80 85 90 95 第18页/供25页 学科网命组卷网 34 16 19 1 55 55 220 220 3625 期望44 【解析】 【分析】(1)利用古典概型概率公式可求解： (2)X 0,85,90,95 的所有取值为 利用古典概型概率公式可求分布列，进而可求期望 【小问1详解】 从12张中任选3张有 i2=220 种方法， 取到的折扣均不相同的取法有 CCCC =108 10827 所以一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率22055： 【小问2详解】 X的所有取值为 0,85,90,95 P(X=80)=1- Cg-1-84-34 PX-85)-CCi+CC+C 64_16 17 22055, Ci2 22055, 1 P(X=90)= CC2+C2C+C19 P(X=95)= 220, C 220, 所以X的分布列为 X 80 85 90 95 34 16 19 1 55 55 220 220 E(X)=80x34+85x6 +90× 19 181253625 +95× 55 5 220 220 220 44 第19页/供25页 6学科网列组卷网 18已知函数f()=ae-3x,aeR （4)若a=3,求函数f()的极值， (2)若曲线y=f()与曲线y=2-si血x有唯一的交点，求实数a的取值范围 【答案】(1)极小值为3，无极大值 (2)（-0,0U{2y 【解析】 【分析】(1)利用导数求得(x)的极值 (2)由()=2-six分离a,利用构造函数法，结合导数来求得“的取值范围 【小问1详解】 a=3时，f(=3e-3x,f"(x)=3(e-1). 令(=0解得x=0,所以f()在区同（o,0)上了（④<0，/（女单调递减 在区间(0，+o)上()>0，f(单调递增， 所以f(x)的极小值为(0)=3，无极大值 【小问2详解】 由f()=ae-3x=2-sinr分离a得 a=3x-sinx+2 创--+2eRg---r )-sinx-cox-x+(R).()c0x+inx-3-2sin0 第20页/供25页 6学科网丽组卷网 所以h(女在R上单调递减 h(0)=0 所以在区间（，0)上，8'()>0g(四单调送增， 在间（0，切)上.g(大0g()单调造藏.名o)=2g-)=1<0 当0时.g匀+2s加少>0由t国出g四的大致图象如下图家 e 要使曲线)=f(与曲线y=2-si血x有唯一的交点， 则a的取值范围是（-∞，0小U{2} 【点睛】方法点睛：求解函数极值的步骤： 4)确定f()的定义域： (2)计算导数"(x), (3)求出'()=0的根， (4)用'(0)=0的根将f四)的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内（田）的符号，进而确定 f(✉的单调区间，进而求得(x)的极值 19.定义：已知数列a}为有穷数列，①对任意j(jeN,iSj),总存在k∈N,使得aa,=a, 第21页/供25页 6学科网6组卷网 则称数列{an}为“乘法封闭数列”：②对任意i,j(i,jeN,i≥j),总存在k∈N,使得a =a,则 称数列口，}为除法封闭数列， (1)若a,=3n-2(1≤n≤20，n∈N),判断数列{a,}是否为乘法封闭数 ,a2,a3,8 (2)已知递增数列 为“除法封闭数列”，求4和4 (3)已知数列a,}是以1为首项的递增数列，共有k项，k≥5，k∈N,且为除法封闭数列，探究： 数列{a,}是否为等比数列，若是，请给出说明过程：若不是，请写出一个满足条件的数列{a,}的通项公 式 【答案】(1)不是 (2)%=2,4=4 (3)数列a}是等比数列 证明：当k=5时，设数列{a为1,4,4，a,4, 由题意数列a,}递增可知1<4，<4<a,<4, 1=a<&<4<4<4=4 则有a5a4a2a 由数列a,}为除法封闭数列 a545a4a5a5 则aa4aa2’a,这5个数都是数列{an}中的项， 1=4=4,8=4, 5=a d5=a4? 所以有a5 a a a, a 第22页/供25页 6学科网列组卷网 -4.a4= 则有a=aa=aa4=4，a4a’44③； a4= 同腿-&&&&-从，可州84 04二 d4二4 a a4= 则有a4=aa4=aa,即4a1④： 4=4=a4=a>1 由③④可得，aaaa4,故{a}是等比数列， 当k≥6时，由题意数列a,}递增可知1<4，<4<<a1<0, 1=<a<<4<4<4=a 则有akak-1凸3凸a 由数列a}为除法封闭数列，则这k个数都是数列a}中的项 1=4=a,9 =a2,…,d k=ak-2'a2 kak ak=ak 所以有ak k 43 a aH-auu(0≤i≤k-⑥， 所以有ak=aak=a2ak1=…=axa1,即aak- 1=41<L<<a<=a 同理由1<42<4<…<ak-1,可得a1ak-2a4 1=a1=a, 所以ak-1 k=,, ak-2 ak1=ak-2, ak1=ak-1 a, 41 aH=a41≤i≤k-2）o, 则ak=aak1=a,ak-2==ak4,即aak1H al=aeL=aL(1≤i≤k-2) 联立⑤⑥得，a,ak-iak-1 第23页/供25页 命学科网命组卷网 则，=a4H,所以有4=aa,4=aa,…,a1=a0, 4=4=a4=…=a1=a%>1 所以aa24a-2a,故数列{an}是等比数列， 综上所述，数列{a,}是等比数列 【解析】 【分析】（山）举例说明4,4两项之积不是数列a,}中的项即可： (2)由递增数列得不等关系，再利用不等式性质重新排序，由此将两类排序数列中的项对应相等，建立 方程组求解可得： (3)由特殊到一般，找到规律，同(2)方法分别以k项与k-1项的大小关系入手，排序可得两个系列的 4=4=a4=…=a1=0% 等量关系，借助中间量可得比例关系41a2aak-2ak1,由此得证 【小问1详解】 由题意知， 数列a}为：147,10,13，…，58 由4a=7×10=70,70不是数列{a,}中的项， 故数列{a,}不是“乘法封闭数列： 【小问2详解】 1<< 1< 88<8 由题意数列递增可知l<a2<a<8，则a2 5，且a3a2 a388 又数列{an}为“除法封闭数列”，则a2’a’a2都是数列{an}中的项， =4,即4，=d0: 所以42 第24页/供25页 命学科网 组卷网 8 P =42, =a3 且a3 a, 即424=8②， 联立①②解得， a2=2,43=4 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“封闭” 条件的使用，即“任意两项之积（商)仍是数列的项”这一条件是解题的入手点：二是应用数列的单调性 或等差比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题，如题目中根据递增数列与不等式性质对数列 中的项重新排序，一个递增数列的两种排序形式必为同一排序，故对应项相等，从而挖掘出新数列的项的 关系 第25页/共25页 2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（八） 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 11 2. 下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （ ） A. B. C. D. 3. 已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 24 B. 12 C. 20 D. 15 4. 如图所示的沙漏由两个完全相同的圆锥组成，且圆锥的底面半径和高均为2. 若沙漏的起始状态为上方圆锥中充满了沙子，下方圆锥中没有沙子，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，需要54分钟全部漏完，则经过52分钟后，沙漏上方圆锥中沙子的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若正数 满足，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知正方体的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为 ，点 是椭圆 上异于 的点，为平面内一点，且满足，过点 作直线 的垂线与直线 交于点 ，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数 在复平面内所对应的点分别为，且点均在以坐标原点 为圆心. 2为半径的圆上，点在第四象限，则 （ ） A. 点在第一象限 B. C. D. 10. 已知函数，则 （ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象为中心对称图形 C. 函数在上单调递增 D. 关于的方程在上至多有3个解 11. 已知函数 的定义域为R，其图象关于中心对称，若 ，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 13. 已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为______. 14. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题、共77分.解题应写出文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 16. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. （1）证明： ; （2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 17. 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望 . 18. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 19. 定义：已知数列为有穷数列，①对任意（），总存在，使得，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意（），总存在 ，使得，则称数列为“除法封闭数列”， （1）若，判断数列是否为“乘法封闭数列”. （2）已知递增数列，为“除法封闭数列"，求和 . （3）已知数列是以1为首项的递增数列，共有项，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $