精品解析：四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2024届高三下学期二诊模拟文科数学试卷

蔺阳中学高三二诊模拟数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果． 【详解】解：复数满足，所以． 所以的共轭复数是． 故选：B． 2. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合M，N，后由集合交集定义可得答案. 【详解】集合M表示函数，在上的值域，则； 集合N表示函数，在上的值域， 则.后由交集定义可知. 故选：D 3. 已知变量满足约束条件，则的最小值为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义计算得选项. 【详解】解：画出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示， 由得，平移直线， 由图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值． 由，解得，故点A的坐标为A(2, 2)． ∴． 故选：C． 4. 已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. 27π B. C. D. 16π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可. 【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，所以，所以圆锥的高为， 所以，解得，故其表面积； 故选：A． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 其图象关于原点对称，所以排除C、D项， ，所以排除B项． 故选：A 6. 如图所示，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，可对 的两边平方得出，，对 两边同时点乘 即可得出，联立①②即可解出的值． 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且； 对两边平方得：； 对两边同乘得：，两边平方得：； 得：；根据图象知，，，代入得，；． 故选C． 【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的概念，向量加法的平行四边形法则． 7. 若α∈(，π)，且3cos 2α＝sin(－α)，则sin 2α的值为（ ） A. － B. C. － D. 【答案】C 【解析】 【分析】 按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得，对等式平方即可得结果. 【详解】由， 可得， 又由，可知， 于是，所以， 故， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题. 8. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为π，要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ） A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的周期，然后根据函数解析式以及平移规则求解即可. 【详解】由题意，得，解得，所以，其图象向左平移个单位长度， 可得的图象，即为的图象， 所以，解得，又，则； 故选：D． 9. 已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可证三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，再根据题意可求出该长方体的体对角线长，进而求出球的表面积. 【详解】由题意，作出三棱锥，如图所示， 因为平面，所以，又，所以， 又，所以平面； 同理平面，则两两互相垂直， 将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示， 又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线， 又，，所以该长方体的体对角线长为， 即球的直径，其中是球的半径； 所以球的表面积为. 故选:B. 10. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，求出小正方形的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得，再利用弦化切求解可得答案. 【详解】如图，设大正方形的边长为， 则小正方形的边长为， 所以小正方形与大正方形面积之比为， 化简得，且， 由， 解得. 故选：D. 11. 以双曲线（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M点，、分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意的坐标为，代入双曲线方程可得的方程，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：由题意可得圆的半径为，圆心为，依题意可得的横坐标为，纵坐标为，即的坐标为， 代入双曲线方程可得， 即有， ， ，或，因为，所以 ， 故选：C 12. 设，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据其单调性判断大小关系；再构造，根据其单调性即可判断，的大小关系. 【详解】令，则，令，解得， 故当时，单调递减，故，即， 则. 令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 则，即. ，故； ，故； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，且利用函数单调性比较大小，其中解决问题的关键是构函数，从而用作差法比较大小. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上． 13. 已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由给定的抛物线方程直接求出准线方程即得. 【详解】抛物线的准线方程为. 故答案为： 14. 若是奇函数，则实数=_____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：依题意可得,． 考点：奇函数． 15. 在中，若，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角正弦公式化简，再根据正弦函数性质求最值 【详解】解：因为在中，若， 所以 ， 所以，即的最大值是 故答案为：## 16. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】，若函数在上单调递减，则，，若，则，，，，若函数在上单调递减，则满足，即，即，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查三角函数的性质及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等差数列的前n项和为． （1）求的通项公式； （2）数列满足为数列的前n项和，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式； （2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由可得， 解得， 所以； 因此的通项公式为， 【小问2详解】 由（1）可得； 所以， 因此数列的前n项和; 即可得. 18. 某数学老师在其任教的甲、乙两个班级中各抽取30名学生进行测试，分数分布如表： 分数区间 甲班人数 乙班人数 [0，30） 3 6 [30，60） 6 6 [60，90） 9 12 [90，120） 6 3 [120，150] 6 3 （1）若成绩在120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1名为优秀的概率； （2）根据以上数据完成下面的2×2列联表，则在犯错的概率不超过0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关？ 优秀 不优秀 总计 甲班 乙班 总计 参考公式：，其中. 【答案】（1）； （2） 优秀 不优秀 总计 甲班 6 24 30 乙班 3 27 30 总计 9 51 60 ，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系． 【解析】 【分析】（1）列举基本事件，利用古典概型的概率公式求解. （2）由题意进行数据分析，完善列联表，计算，对照参数下结论. 【小问1详解】 乙班参加测试的分以上的同学有人，其中成绩优秀的有3人，记为，另3人记为， 从这六名学生中抽取两名的样本空间，有15个样本点， 设事件表示恰有一位学生成绩优秀，则，有9个样本点， 所以所求概率为. 【小问2详解】 由给定的分数分布表，得2×2列联表： 优秀 不优秀 总计 甲班 6 24 30 乙班 3 27 30 总计 9 51 60 ， 在犯错概率小于的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，､分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）试探究三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是否为定值，若是定值，再进一步求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）证明： 在三棱柱中， 所以， 所以， 所以， 所以∽，所以 因为，， 所以即： 所以且为的中点 所以 又已知得在直三棱柱中，平面平面，且交于 所以平面，所以. 又因为，所以平面. （2）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，则∽，所以有，结合已知可得，平面，则，再利用线面垂直的判定定理可证得结论， （2）利用等体积法可得结论 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 结论：三棱锥的体积与三棱锥的体积比是定值. 设，则， 因为､分别是，的中点， 所以， 所以， ， 由等体积法可知： ，， . 20. 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且. （1）求的方程； （2）平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题为求椭圆方程，则需找出，，可由条件，先求出，再利用，求出两曲线的交点坐标，利用椭圆的定义求出．得出方程. （2）问题为算直线方程，需两个条件．由条件及可得：直线的斜率： ，再设出直线的斜截式方程：，与椭圆方程联立，结合条件，建立关于的方程，可得所求的直线方程． 【详解】（1）的焦点， ，， ，， 代入抛物线方程，有， ，， 椭圆的方程为； （2）点满足，所以易知与关于原点对称，所以， 设直线方程：， 设，， 联立直线和椭圆方程，得到：， ，，，因为，所以， 代入韦达定理有，，满足判别式大于0 所以直线方程为. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若对于任意的，恒成立，求a的最小值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得函数的导数，结合导函数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）求得函数的导数，令 ，则在上单调递增，求得函数的最大值，转化为求得，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 解：由题意，函数，可得， 因为任意的，恒成立， 又由，所以，则， 令 ，则在上单调递增， 因为当时，，所以， 因为，所以，使得， 且当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 由，可得， 因为恒成立，可得，即， 结合，得，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故实数的最小值为. 请考生在22、23二题中任选一题作答： 22. 已知曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C上的点到直线的距离的最大值； （2）设P，Q是曲线C上的两点，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设曲线上任意一点为，根据点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解； （2）设，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由曲线的参数方程为（为参数）， 设曲线上任意一点为， 则点到直线的距离， 当时，可得. 【小问2详解】 解：由曲线的参数方程为（为参数）， 消去参数可得曲线的普通方程为，即， 又由， 可得曲线的极坐标方程为，即 由点,是曲线上的两点，且， 设， 所以. [选修4－5：不等式选讲] 23. 已知函数． （1）求函数的解集； （2）记函数的最小值为，若实数，，满足．证明． 【答案】（1） （2） 由（1），所以，即，， 由柯西不等式得：，即， 当且仅当时取“=”，即. 【解析】 【分析】（1）用分类讨论的方法解绝对值不等式； （2）求出最小值，由柯西不等式证明结论成立． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，. 综合可知：的解集为： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蔺阳中学高三二诊模拟数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的共轭复数是　　 A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量满足约束条件，则的最小值为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 4. 已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. 27π B. C. D. 16π 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若α∈(，π)，且3cos 2α＝sin(－α)，则sin 2α的值为（ ） A. － B. C. － D. 8. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为π，要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ） A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度 9. 已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 以双曲线（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M点，、分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 12. 设，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上． 13. 已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为____________． 14. 若是奇函数，则实数=_____________． 15. 在中，若，则的最大值是______． 16. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等差数列的前n项和为． （1）求的通项公式； （2）数列满足为数列的前n项和，求的值. 18. 某数学老师在其任教的甲、乙两个班级中各抽取30名学生进行测试，分数分布如表： 分数区间 甲班人数 乙班人数 [0，30） 3 6 [30，60） 6 6 [60，90） 9 12 [90，120） 6 3 [120，150] 6 3 （1）若成绩在120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1名为优秀的概率； （2）根据以上数据完成下面的2×2列联表，则在犯错的概率不超过0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关？ 优秀 不优秀 总计 甲班 乙班 总计 参考公式：，其中. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，､分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）试探究三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是否为定值，若是定值，再进一步求出此定值；若不是，请说明理由. 20. 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、， 也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且. （1）求的方程； （2）平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程. 21. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若对于任意的，恒成立，求a的最小值． 请考生在22、23二题中任选一题作答： 22. 已知曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C上的点到直线的距离的最大值； （2）设P，Q是曲线C上的两点，若，求的值． [选修4－5：不等式选讲] 23. 已知函数． （1）求函数的解集； （2）记函数的最小值为，若实数，，满足．证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $