专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 有关切线的说法辨析 题型二 切线的判定定理 题型三 切线的性质定理 题型四 应用切线长定理求证 题型五 由三角形的内切圆求长度 题型六 由三角形的内切圆求角度 题型七 由三角形的内切圆求面积 题型八 由三角形的内切圆求最值 题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十 圆外切四边形模型 题型十一 三角形内心有关应用 题型十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十三 三角形内切圆与外接圆综合 题型十四 圆的综合问题 知识点一 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【经典例题一 有关切线的说法辨析】 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 2．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题二 切线的判定定理】 【例2】（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 1．（2024·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是直径，点在上．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【经典例题三 切线的性质定理】 【例3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（　　） A．8 B．4 C．12 D．12或4 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线交延长线于点F，，垂足为D，交于点E． (1)求证：平分； (2)若点E是弧的中点，，求的半径． 【经典例题四 应用切线长定理求证】 【例4】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    3．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】 【例5】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 1．（2023·甘肃陇南·一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，是的内切圆，，求的半径r． 【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】 【例6】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 1、（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2、（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 3、（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1） ； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是 ． 【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】 【例7】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 则图中阴影部分的面积是 ．    3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【经典例题八 由三角形的内切圆求最值】 【例8】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　． 1、（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 2、（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 3、（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例9】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　） A．48 B． C．24 D． 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知中，．是的内切圆，下列选项中，的半径为（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合．点P是两锐角平分线的交点，第一次滚动后得到对应点为；第二次滚动后得到对应点为；……按此规律，则点的坐标是 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度． 【经典例题十 圆外切四边形模型】 【例10】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（18-19九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    3．（2021·江苏苏州·中考真题）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【经典例题十一 三角形内心有关应用】 【例11】（2023·安徽安庆·模拟预测）如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【经典例题十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例12】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 2．（20-21九年级·全国·假期作业）如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为 ． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【经典例题十三 三角形内切圆与外接圆综合】 【例13】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 1．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，如图所示，则O到的三边距离之和是 ． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【经典例题十四 圆的综合问题】 【例14】（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 1．（2024九年级·重庆·专题练习）如图，、是的切线，其中A、B为切点，点C在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·海南海口·三模）如图，在中，切于点A，连接交于点C，过点A作交于点D，连接．若，则为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是 ． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为 ，连接并延长交于G，则的最大值为 ． 9．（2024·江苏南京·三模）如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为 ． 10．（2023·广东深圳·一模）如图，在中，，过点作外接圆的切线交的垂直平分线于点的垂直平分线交于点．若，，则 ． 11．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 12．（2024·山东东营·模拟预测）如图，等腰直角与交于点B，C，，延长，与分别交于点D，E，连接，，并延长至点F，使得． (1)求的度数； (2)求证：与相切； (3)若的半径为2，求的长． 13．（2024·天津·三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 14．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 15．（2024·广东东莞·一模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接 (1)求证：； (2)当与相切时，求的长； (3)如图2，AE与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，求证：是的切线． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 有关切线的说法辨析 题型二 切线的判定定理 题型三 切线的性质定理 题型四 应用切线长定理求证 题型五 由三角形的内切圆求长度 题型六 由三角形的内切圆求角度 题型七 由三角形的内切圆求面积 题型八 由三角形的内切圆求最值 题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十 圆外切四边形模型 题型十一 三角形内心有关应用 题型十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十三 三角形内切圆与外接圆综合 题型十四 圆的综合问题 知识点一 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【经典例题一 有关切线的说法辨析】 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意； C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件即可获得答案． 【详解】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确； ②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确； ③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确； ④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确． 故选：D． 【点睛】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆的相关概念和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，说法正确，不符合题意； ②过半径的末端，且与半径垂直的直线是圆的切线，原说法错误，符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，原说法错误，符合题意； ④圆内接四边形有无数个，原说法错误，符合题意； 综上，②③④说法不正确． 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的定义，等角对等弦，圆内接四边形．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【经典例题二 切线的判定定理】 【例2】（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，根据切线的判定定理，分别证明，即可解答，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：甲正确， 理由：如图1中，连接， 根据题意可得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 乙正确， 理由：为直径， ， ， 是的切线， 故选：A． 1．（2024·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【分析】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点， 故①正确； ∵是的直径， ， ，， ∴直线，都是的切线， 故②正确； 直线，都是的切线，根据切线长定理，可知 ， 故③正确； ，，， ， ∴， ∴． ∵点A是的中点， ， 故④错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是直径，点在上．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30度直角三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． （1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含30度直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，则：， ， 是直径， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 【经典例题三 切线的性质定理】 【例3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（　　） A．8 B．4 C．12 D．12或4 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、矩形的性质、勾股定理和垂径定理等知识；作出辅助线，由勾股定理求出半径是解答本题的关键．连接，过点作，垂足为，可得，由，得：，求出或的长度，即可求得的长度． 【详解】解：当边所在的直线与相切时，如图1所示：连接，过点作，垂足为， 则，， 又， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ， 设的半径为，由， 得：， 解得：， ， ， 又， ； 同理，当边所在的直线与相切时，连接，如图2所示： ， ． 又， ； 故选：D 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 °． 【答案】27 【分析】本题考查了切线性质，圆周角定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线交延长线于点F，，垂足为D，交于点E． (1)求证：平分； (2)若点E是弧的中点，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】本题主要考查的是圆的切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，菱形的判定和性质等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）如图：连接，根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （2）连接，首先证得四边形为菱形，进而得到四边形为菱形，进而得出为等边三角形可得，根据直角三角形的性质求出，最后利用含有角的直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分． （2）解：如图，连接， ∵E是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设圆的半径为r， ∴，即，解得：， ∴的半径为2． 【经典例题四 应用切线长定理求证】 【例4】（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设半圆与相切于点，连接、，根据切线的性质， ，在中，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】解：如图，    设半圆与相切于点，连接、， 根据切线的性质得， ， 由切线长定理得，， 在中，为直角，，， ， ， ， 在中，设半径为，则，， 由勾股定理得， ， 解得，． 故选：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理以及圆的相关知识，掌握切线的性质构造直角三角形列方程解决问题是关键． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 3．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如答图，连接， ∵为直径， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴ ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴是的切线． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 解得． 【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】 【例5】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解． 【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，    根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点， ，，，， ，，， ， 设，则， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．（2023·甘肃陇南·一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图， 连接， ∵与相切， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设， 中，，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．（23-24九年级上·天津·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知：如图，是的内切圆，，求的半径r． 【答案】 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出是解题关键．设、、与的切点分别为、、；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出的长． 【详解】解：如图：连接，， 在，，，， 根据勾股定理， 四边形中，，， 四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，， ， 即． 【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】 【例6】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内心的性质得，分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点O是的内心，， ，， ， ， 点O是的外心， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键． 1、（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由三角形内切圆的圆心为三条角平分线的交点，可知，，利用三角形外角的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，进而可证，推出，则． 【详解】解：点为的内切圆的圆心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、三角形外角的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，难度一般，解题的关键是通过导角证明． 2、（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 【答案】 115 80 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据、分别平分、，得出，，根据求出结果即可； （2）根据角平分线的性质求出，根据当时，，得出此时，求出． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴ ； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴此时， ∴． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点． 3、（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1） ； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 10 （2，-2） 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据I是的内心，利用OM=ON，BM=BE，AE=AN，得出AE+BE=6-x+8-x=10，求解即可． 【详解】解：（1）∵点，点， ∴OA=6，OB=8， 在Rt△OAB中， AB=； （2）连接OI，BI，AI，过I作IM⊥OB，IN⊥OA，IE⊥AB， ∵I是的内心， ∴OM=ON，BM=BE，AE=AN， 设OM=ON=x，则BM=BE=8-x，AN=AE=6-x， ∴AE+BE=6-x+8-x=10， 解得：x=OM=ON=2， ∴I的坐标为（2，2）， ∴点I关于x轴对称的点的坐标是（2，-2）． 【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的内心，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题． 【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】 【例7】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得，由勾股定理得，，如图，则，即，可求，进而可求这个直角三角形的内切圆的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b， ∵直角三角形的两直角边长是方程的两个实数根， ∴， 由勾股定理得，， 如图， ∴，即， 解得，， ∴这个直角三角形的内切圆的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径是解题的关键． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法，勾股定理．根据已知得出是解题关键． 设、、与的切点分别为、、，证得四边形是正方形，然后根据切线长定理可得：，由此可求出半径的长，然后利用图中阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：如图所示，设、、与的切点分别为、、    在，，，， ∴， 四边形中，，， 四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，， ， ∴． ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【答案】(1)2 (2)4 【分析】 （1）根据题意过点作于，于，于，得到点P是内切圆的圆心，根据三角形面积公式即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，进而利用全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】（1） 解：如图，过点作于，于，于，    平分，平分，，，， ，， ， 点P为三角形内切圆的圆心， ， ， ， 即内切圆的半径为2； （2） 解：在上取一点，得，连接． ∵，， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， ， 的周长为4． 【点睛】 本题考查三角形内切圆，直角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题八 由三角形的内切圆求最值】 【例8】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　． 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积． 【解答】解：如图1所示， S△ABC•r•（AB+BC+AC）r×42＝21r， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2， 设CD＝x， 由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2， ∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2， 解得：x＝9， ∴AD＝12， ∴S△ABCBC×AD7×12＝42， ∴21r＝42， ∴r＝2， 该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2）， 故答案为：4πcm2． 1、（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形APB的面积为12，可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF交于点P'，求出AC=10，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形， ∴EF∥AB， ∵P在EF上，AB=8，BC=6， ∴S△PAB=×8×3=12， 设△PAB内切圆半径是r， ∵S△PAB=（AP+PB+AB）•r=12， ∴AP+BP最小时，r有最大值， 如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'， ∵AP+BP=AP+CP≥CA， ∴此时CA即为AP+BP最小值， ∵AB=8，AD=6， ∴AC==10， ∴AP+BP最小值为10， ∴PA=PB=5， ∴×5×r+×5×r+×8×r=12， 解得r=， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将AP+BP最小值转化为CA的长是解题的关键． 2、（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，设△的内切圆的半径为，则，解得，连接，易证是的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最长，作于，于，则，，由勾股定理得出，则，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设△的内切圆的半径为， 则， 解得：， 连接， 是边上的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 当经过圆心时，最长，则此时最长， 作于，于， 则，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 3、（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】延长至点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，求出的值即可． 【详解】解：如图，延长至点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值．    点的坐标为， 点的坐标为， ∴，， ， 设与三边的切点为，，，连接，，，则，，， 设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使取最小值时点P的位置． 【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例9】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　） A．48 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质． 设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长． 熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键． 【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且， 又， ∴四边形是正方形， ， ， ， 解得， ， ， ，即的周长为， 故选：C． 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知中，．是的内切圆，下列选项中，的半径为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，证明四边形是正方形，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径． 【详解】解：设圆O的半径是x，圆切于E，切于D，切于F，如图，    ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合．点P是两锐角平分线的交点，第一次滚动后得到对应点为；第二次滚动后得到对应点为；……按此规律，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，直角三角形内切圆，能通过三角形的运动方式，依次求出点的坐标并发现规律是解题的关键．根据三角形的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作，垂足分别为，分别过点作轴，轴，轴，垂足为，以点为圆心，长为半径作， 点P是两锐角平分线的交点， 点P为的内心， 又， ，， A，B， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ， 在中， ， 横坐标为， ， 同理可得，， 由此可见，每滚动三次一个循环，且横坐标的增加为三角形的周长， ， 则的横坐标为， 故点的坐标为， 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据弦垂直平分，可得，再证为等边三角形，推出，结合和三角形外角的性质可得，进而推出，即可证明是的切线； （2）先证点、、共线，推出为的直径，，再根据直角三角形内切圆半径公式计算出的半径，进而根据含30度角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵弦垂直平分， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图，是的内切圆，切点为K，N，H，与交于点M， 由（1）知为等边三角形，则， ∵，， ∴，， ∵上的点为的内心， ∴平分， 又∵平分， ∴点、、共线， ∴为的直径，， ∴，， ∴的内切圆的半径为， 即， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定的性质，三角形外角的定义和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的内切圆，圆周角定理等，涉及知识点较多，第2问有一定难度，解题的关键是求出内切圆的半径． 【经典例题十 圆外切四边形模型】 【例10】（2011·陕西·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 1．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 2．（18-19九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 3．（2021·江苏苏州·中考真题）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②． 【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可． ②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式． 【详解】（1）由图知，正方形的边长， ∴容器甲的容积为立方米． 如图，连接， ∵， ∴为直径． 在中，，， 根据勾股定理，得，， ∴容器乙的容积为立方米． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，． ∵平行于横轴， ∴，． 由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米， ∴． 解得． ②设注水b小时后，，则有． 解得，即． 设线段所在直线的解析式为， ∵、在直线上， ∴， 解得：． ∴线段所在直线的解析式为． 【点睛】本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键． 【经典例题十一 三角形内心有关应用】 【例11】（2023·安徽安庆·模拟预测）如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心，， ， ， ， ，， ， 的面积． 故选：B． 1．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心．熟练掌握三角形内心性质，三角形外心性质，切线长定理，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 过点P作，，，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理得到，，，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，求出，得到，得到，即得． 【详解】过点P作，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则， ，得， ∴， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解题关键是正确应用内心的性质． 由中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I，先得，，得，又得的面积：的面积，，即， 【详解】解：由中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I， ∴， ∴， ∴， 因为 ∴， ∴， 即， 即， ∴， 由， 作，， ∴， ∴的面积：的面积， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，可证明，得，则平分，再由点I是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I； （2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点D是的中点． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴与在同一条直线上， ∴所在的直线经过点I． （2）证明：连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【经典例题十二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例12】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 1．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，   ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 2．（20-21九年级·全国·假期作业）如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】设⊙O与△ABC与各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点，如图，利用切线长定理得到AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，MD＝MG，NG＝NE，则可计算出AD＋CE＝8，接着利用AB＋BC＝16得到BD＋BE＝8，然后利用等线段代换得到△BMN的周长＝BD＋BE． 【详解】设与与各边的切点分别为、、，与相切于点，如图， ，，， ，即， ， 的周长为24， ， ， 即， ， 的切线与、分别交于点、， ，， 的周长． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    【经典例题十三 三角形内切圆与外接圆综合】 【例13】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 1．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（22-23九年级下·湖南娄底·阶段练习）在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，如图所示，则O到的三边距离之和是 ． 【答案】12 【分析】 本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内接圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 首先证明点O是的内心，由，即可解决问题． 【详解】 解：由题意点O是垂直平分线的交点， ，， 的垂直平分线经过B且平分，的垂直平分线经过A且平分， ∴O是的内心， 则， ∴点O到的三边的距离之和是， 故答案为12． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 【经典例题十四 圆的综合问题】 【例14】（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键． 1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ， ， ， ， 以点C为圆心为半径作圆， 为的中点， ， 由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值， 的最小值为， 由于上的点B距离C点最短， 能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值， 的最大值为， 旋转过程中的取值范围为 故答案为：． 3．（2024·四川达州·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论； （2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为2． 1．（2024九年级·重庆·专题练习）如图，、是的切线，其中A、B为切点，点C在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，连接、，利用切线的性质得到，进而得到，利用圆周角定理得到，进而即可得到． 【详解】解：连接、，如图， 、是的切线， ，， ， ， ， ． 故选：B． 2．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，根据三角形内角和是求得，根据等角对等边可得，设，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出一元二次方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即的半径为． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3．（2024·海南海口·三模）如图，在中，切于点A，连接交于点C，过点A作交于点D，连接．若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，根据切线的性质得到，进而可得，再利用圆周角定理得，再利用平行线的性质得到． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 切于点A， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题，再根据垂线段最短的性质进行分析，最后利用勾股定理求得答案． 【详解】如图，连接，， 根据切线的性质定理，得 ， 要使最小，只需最小 当轴于P时，最短 此时P点的坐标是，， 在中，，， 则最小值是． 故答案为：． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为 ，连接并延长交于G，则的最大值为 ． 【答案】 /75度 2 【分析】本题考查了矩形与折叠，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意当与相切时有最大值是解题关键．根据折叠的性质即可求出的度数；以点为圆心，长为半径作，根据矩形与折叠的性质，可得是的切线，进而得出当与相切时，即、两点重合时，有最大值，然后根据等角对等边的性质以及勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， ； 如图，以点为圆心，长为半径作， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠的性质可知，，， ， 当与相切时，即、两点重合时，有最大值， ， ， ， ， 在中，， ， 即的最大值为， 故答案为：；． 9．（2024·江苏南京·三模）如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点定A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 10．（2023·广东深圳·一模）如图，在中，，过点作外接圆的切线交的垂直平分线于点的垂直平分线交于点．若，，则 ． 【答案】3 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，得到，设，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，垂直的定义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：3． 11．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． 12．（2024·山东东营·模拟预测）如图，等腰直角与交于点B，C，，延长，与分别交于点D，E，连接，，并延长至点F，使得． (1)求的度数； (2)求证：与相切； (3)若的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由，可得为的直径，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质即可求解； （2）由圆周角定理可得，从而可得，利用等量代换可得，再根据切线的判定定理即可得证； （3）由圆心角定理可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ， 过圆心O， 为的直径， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵是半径， ∴与相切； （3）解：连接、，如图， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 13．（2024·天津·三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补可求，利用圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理即可求出；根据点为中点，可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出； （2）先利用圆周角定理、切线的定义、垂径定理的推论证明，进而得出四边形是矩形，，再利用勾股定理求出，利用垂径定理可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：（1）如图①，连接．   四边形内接于，， ， 为的直径， ， ． 点为中点， ， ． 综上可知，． （2）解：如图②，连接，连接交于点． 为的直径， ， ， 为的切线， ，即， 点为中点，为过圆心的线段， ，即， ， 四边形是矩形， ． ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理及其推论，勾股定理，矩形的判定与性质，圆内接四边形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识，逐步进行推导． 14．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 15．（2024·广东东莞·一模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接 (1)求证：； (2)当与相切时，求的长； (3)如图2，AE与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)BG＝2 (3)见解析 【分析】（1）利用圆的切性的性质定理，正方形的性质和全等三角形的判定定理得到，则，再利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用（1）的结论得到，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论； （3）利用（1）的结论得到，利用正方形的性质和同圆的半径相等的性质得到，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：与相切于点， ， 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ， ， ． 在和中， ， ； （2）解：当与相切时，如图， 与相切，为半径作圆， ． 由（1）知：， ， 设，则，， ， ， ， ． ； （3）证明：由（1）知：， ， ， ． ， ， ， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$