精品解析：江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023~2024学年度第二学期期末质量调研 高一数学试题 2024.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，可得，所以 所以5. 故选：B 2. 已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积和体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的高为， 因为圆柱的底面半径为2cm，体积为，则圆柱的底面周长为， ，所以圆柱的表面积为， 故选：D 3. 已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A,B,在满足条件时，可得到多种情况，故排除，对于D，可通过举反例作图进行排除，对于C可利用线面平行的性质推出结果. 【详解】对于A，由可得或与相交，故A错误； 对于B，由可得或或且，故B错误； 对于C，由可得，因，且，由线面平行的性质即得，故C正确； 对于D，如图，在平面内作，因故得，但不成立，故D错误. 故选：C. 4. 已知点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，再由三角函数的定义即可求得. 【详解】由点在角的终边上可得，， 则. 故选：A. 5. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由事件互斥，且都不发生为，则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得. 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 7. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 【答案】B 【解析】 【分析】设男生人数为，女生人数为，根据平均数可得，再结合方差公式运算求解. 【详解】设男生人数为，女生人数为， 且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和， 由平均数可得，即，解得， 由方差可得， 即，解得. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简已知等式，可得，求出，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故 即， 即， 故或（舍去）， 即，而，故， 故， 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为4 D. 在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A,C通过举例进行判断，B由复数模及复数的乘法进行判断，D由向量加法和减法的几何意义进行判断. 【详解】对于A，设，则，，因此选项A错误； 对于B，设， 则 ， 又，则，因此选项B正确； 对于C，设，则，此时，因此选项C错误； 对于D，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确. 故选：BD. 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 11. 已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（ ） A. 直线所成角为 B. 二面角的余弦值为 C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的直径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由线面垂直即可判断；对于B：由线面垂直结合余弦定理即可求解；对于C：由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式即可求解；对于D：补入长方体中，求出长方体外接球半径即可求解． 【详解】对于A：取的中点，连接，，由题意四面体的各个面都是全等的三角形， ，， 可得，，又，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以，所成角为，故A正确； 对于B：取的中点，连接，，则，， 所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； 对于C：由B可得， 由，故C不正确； 对于D：将四面体放入长方体中，如图可得长方体与四棱锥共球，所以外接球半径一样， 设外接球半径为，所以，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只. 【答案】 【解析】 【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解. 【详解】假设草场约有n只兔子，则，则. 故答案为：600. 13. 已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由降幂公式及辅助角公式可得函数的解析式，由，得，由零点的个数，可得，可求的取值范围. 【详解】 ， 由，时，， 在有且仅有三个零点，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知圆台上下底面半径分别为，圆台的母线与底面所成的角为，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系，找到球心位置求出球的半径,即可求得该球的体积. 【详解】如下图所示：圆台，为母线，于点， 则圆台上下底面半径分别为， 圆台的母线与底面所成的角为，即，可得， 设该球的球心为，不妨取，球的半径为， 由勾股定理可得，解得； 因此，则该球的体积为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某高中随机调查名高一学生，并对这名学生的作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为25人. （1）求的值； （2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）. 【答案】（1）， （2）平均数为72，中位数73.33 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求解即可； （2）利用平均数和中位数的定义求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， ， 解得. 【小问2详解】 平均数为. 因为 所以中位数在之间，设中位数为， 则， 解得. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】(1)由题意知，则，根据正弦定理边角互化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解； (2)根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得的表达式，再根据三角函数积化和差，由角的取值范围可求得. 【小问1详解】 因为，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形， 所以解之得：， 因为，由正弦定理得：， 所以， 所以 因为，所以， 所以，则的取值范围为 17. 甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求两人在两轮比赛中都答对的概率； （2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； （3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可； （2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案； （3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可. 【小问1详解】 依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”， 所以. 因为事件相互独立， 所以两人在两轮比赛中都答对的概率为 【小问2详解】 设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”， “两人在两轮比赛中至少答对3道题”， 则， 由事件的独立性与互斥性， 可得 故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为. 【小问3详解】 设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目， 分别表示乙三轮答对2个，3个题目， 则， ， 设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”， 则，且分别相互独立， 所以 . 所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. （1）若中点为，求证：平面； （2）若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 为线段的中点，， ； 四边形为平行四边形，， 平面平面 平面. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，即可证明四边形为平行四边形，可得，即可由线面平行的判定求证， （2）①作辅助线，根据平移法找到异面直线与所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根据图形的几何性质说明当时，最短，此时，点在棱上，然后通过解三角形求得相关线段长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，连接， 为中点，， 就是异面直线和所成的角或所成角的补角. 平面平面， 平面平面，平面, 平面平面， 菱形的边长为， 与是全等的正三角形， 分别为的中点， ， 在中，， 在中，， ， 在中，； ②,平面， 平面， 又为线段的中点， ， ， 要使最小只需最短即可，即为点到面的距离. 在中，， ， ， ，， 的最小值为. 19. 已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. （1）求的值； （2）设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 【答案】（1）0 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）对两边平方化简可求出的值； （2）①结合已知条件利用向量的加减法法则将用表示，再结合，列方程组可用来表示与；②，将与代入化简，得，令，则，求出的范围，从而可求出答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 ①因为， 所以 ， 因为， 所以，所以； ②因为，， 所以 ， 设，则， 因为，所以，所以， 即， 由，得， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法，考查向量的数量积运算，考查同角三角函数关系，第（2）问解题的关键是利用平面向量基本定理结合题意用表示，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期期末质量调研 高一数学试题 2024.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 已知点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为4 D. 在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则为钝角三角形 11. 已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（ ） A. 直线所成角为 B. 二面角的余弦值为 C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的直径为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只. 13. 已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是__________. 14. 已知圆台上下底面半径分别为，圆台的母线与底面所成的角为，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某高中随机调查名高一学生，并对这名学生的作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为25人. （1）求的值； （2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 17. 甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求两人在两轮比赛中都答对的概率； （2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； （3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. （1）若中点为，求证：平面； （2）若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 19. 已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. （1）求的值； （2）设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $