精品解析：2024年浙江省金华市六校联谊中考模拟考试数学试题

2024年金华市六校联谊模拟考试 数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 卷 Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 2024年金华“5·18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年“五一”假期，金华市共接待游客429.6万人次，数429.6万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 如图，裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知点，，在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（　　） A B. C. D. 7. 如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 8. 如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（ ）． A. 米 B. 6米 C. 米 D. 8米 9. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 卷 Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分，请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题 （本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为________． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根为________． 14. 金华市中考体育考试分为必考项目、选考项目．选考项目1：引体向上（男）/仰卧起坐（女）、掷实心球、立定跳远，50米游泳；选考项目2：足球运球绕杆，篮球运球上篮、排球垫球．某位男同学选考项目刚好是立定跳远和篮球运球上篮的概率是________． 15. 如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图象上，过点分别作轴的垂线交直线于点，则的值为________． 16. 如图，在矩形中，，连结，点分别为边上一点，于点． （1）若，则________． （2）若，则可取的最大整数值为________． 三、解答题 （本题有8小题，共72分） 17 计算：． 18. 小华化简分式出现了错误，解答过程如下： 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 19. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生竞赛成绩，并对成绩进行了整理，分析．下面给出了部分信息． ①初一、初二年级学生得分的折线图如下： ②初三年级学生得分：10，8，7，8，10，6，7，9，10，10； ③初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下： 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）分别记初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛成绩的方差为，，由折线统计图可知， （填不等号）． （2）统计表中 ， ． （3）根据以上数据，你认为哪个年级对航天知识的掌握情况更好？请说明理由． 20. 已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， （1）猜想：①_______． ②__________________________＝_______． （2）请证明猜想②成立． 21. 如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接． （1）证明：是的切线． （2）若，求半径．（结果精确到） 22. 建筑是一门不断演化和创新艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 23. 如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． （1）求该抛物线的表达式． （2）将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 24. 如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年金华市六校联谊模拟考试 数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 卷 Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【详解】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0负数，故该选项符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查正负数概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键． 2. 2024年金华“5·18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形成为解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 2024年“五一”假期，金华市共接待游客429.6万人次，数429.6万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数429.6万用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义． 根据众数的实际意义求解即可． 【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数， 故选：B． 5. 如图，裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键． 根据正方体的展开图即可解答． 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉乙或丙或丁原图都可以折叠成正方形，故裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是甲． 故选：A． 6. 已知点，，在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知在时，随的增大而减小，据此性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴可知在时，随的增大而减小， A.，随的增大而增大，不符合题意； B.，时，随的增大而减小，符合题意； C.，时，随的增大而增大，不符合题意； D.，时，随的增大而增大，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的作法等知识点，读懂图象信息、灵活运用相关知识是解题的关键． ①由基本作图可知；②利用全等三角形的性质证明即可；③利用等腰直角三角形的性质证明即可． 【详解】解：如图①中，由作图可知平分， ∵， ∴； 如图②中，由作图可知， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由于， 则， ∴； 如图③中，由作图可知是等腰直角三角形，可以推出． 综上，①②③能得出； 故选：D． 8. 如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（ ）． A. 米 B. 6米 C. 米 D. 8米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，如图，根据，可得，作，交于点，交于点，根据矩形的性质可得四边形是矩形，可得，可证，根据相似三角形对应表的比等于对应高的比，由此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点，交于点，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 9. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键． 根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t， A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意； B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意； C、图象准确反映了题意，符合题意； D、图象函数一直下降，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下， ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 卷 Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分，请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题 （本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键于熟练掌握平方差公式. 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为： ． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先将x=1代入求得m的值，然后解一元二次方程即可求出另一根． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1 ∴1+m+3=0，即m=-4 ∴ （x-1）（x-3）=0 x-1=0，x-3=0 ∴x=1或x=3，即该方程的另一根为3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关于x的一元二次方程的一个根为1求得m的值成为解答本题的关键． 14. 金华市中考体育考试分为必考项目、选考项目．选考项目1：引体向上（男）/仰卧起坐（女）、掷实心球、立定跳远，50米游泳；选考项目2：足球运球绕杆，篮球运球上篮、排球垫球．某位男同学选考项目刚好是立定跳远和篮球运球上篮的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式即可求解，掌握列表法或画树状图法求随机事件的概率的方法是解题的关键． 【详解】解：引体向上（男）/仰卧起坐（女）、掷实心球、立定跳远，50米游泳的项目用表示，足球运球绕杆，篮球运球上篮、排球垫球的项目用表示， 列表法表示所有等可能结果如下， 共有12种等可能结果，其中某位男同学选考项目刚好是立定跳远和篮球运球上篮的结果为， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，点在函数的图象上，过点分别作轴的垂线交直线于点，则的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数图象，反比例函数图象上点的特点，两点之间距离公式的计算是解题的关键． 根据题意分别求出，设，根据图形可得点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入直线中可得，根据两点之间距离公式分别求出即可求解． 【详解】解：在直线中，令，则，令，则， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，根据图示可得，， ∵轴交于直线于点，轴与直线交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴把代入直线解析式得，， 解得，，即， 把代入直线解析式得，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在矩形中，，连结，点分别为边上一点，于点． （1）若，则________． （2）若，则可取的最大整数值为________． 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切，相似三角形的判定和性质，不等式等知识的综合运用，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，运用勾股定理可得，，如图，延长交于点，根据正切值的计算可得，根据，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，设，则，根据（1）的计算方法可得，，，解得，，由，解不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）根据题意，设，则， 由（1）可得，，，且， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（无解）， 解得，， ∵取最大整数， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 （本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值、算术平方根的知识化简，然后再运算即可． 【详解】解： ． 18. 小华化简分式出现了错误，解答过程如下： 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 【答案】从① 步开始出错，正确的解析过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解，掌握解分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：去分母时，等式两边的各项都要乘以公分母， ∴在去分母时应为：，故从①步开始出错； 正确的解析过程如下， 方程两边同时乘以，去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴是原分式方程的解． 19. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了整理，分析．下面给出了部分信息． ①初一、初二年级学生得分的折线图如下： ②初三年级学生得分：10，8，7，8，10，6，7，9，10，10； ③初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下： 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）分别记初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛成绩的方差为，，由折线统计图可知， （填不等号）． （2）统计表中 ， ． （3）根据以上数据，你认为哪个年级对航天知识的掌握情况更好？请说明理由． 【答案】（1）＜ （2） （3）初三年级对航天知识的掌握情况更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图、平均数、中位数、众数和方差等知识点，理解相关统计量的意义和计算方法是解题的关键． （1）根据方差的意义即可解答； （2）根据算术平均数的意义可得m的值；根据中位数的定义可得n的值； （3）分别根据平均数、中位数、众数进行分析判断即可． 【小问1详解】 解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一，即． 故答案为：＜； 【小问2详解】 解：由题意得：， 把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9，故中位数， 故答案为：； 【小问3详解】 解：初三年级对航天知识的掌握情况更好，理由如下： 初三年级学生得分的平均数大于初一、初二年级学生得分的平均数． 20. 已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， （1）猜想：①_______． ②__________________________＝_______． （2）请证明猜想②成立． 【答案】（1）①1；②， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算、规律型问题等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． （1）①根据分式的加法法则计算即可；②利用（1）得出的规律猜想出结论即可； （2）根据分式的加法法则计算即可解答． 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ． 故答案为1． ②猜想： 故答案为：，． 【小问2详解】 证明：． 21. 如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接． （1）证明：是的切线． （2）若，求的半径．（结果精确到） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】主要考查了切线的判定方法、解直角三角函数、圆周角定理等知识点．灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）如图1，连接，然后根据圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得，即可证明结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得，根据，然后代入数据可求得，进而确定的半径． 【小问1详解】 证明：如图1，连接； ∵是的直径， ∴， ∴． ∵E为边上的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∵D为上的点， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． ∴半径为． 22. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【小问1详解】 解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点． （1）求该抛物线的表达式． （2）将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点． ①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系． ②请直接写出时，m的取值范围． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、旋转变换、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形解决问题成为解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，把代入可得，然后写出解析式即可； （2）①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q，证明可得，即；过C作轴，过M作于G，过作于H，同理可得，可得，设，则，消掉p即可解答；②由，即可得当时，m取最小值1，当时，m取最大值，从而m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得， ∴该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q， ∵是由A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图：过C作轴，过M作于G，过作于H， 同理可得， ∴， 设， ∵， ∴消掉p得：，整理得：． ②由①可得：， ∵， ∴当时，m取最小值1， 当时，m取最大值， ∴m的取值范围是． 24. 如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）设，根据直角三角形两锐角互余可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，由，可得，，所以可得点在线段的垂值平分线上，如图所示，连接并延长交于于点，可得，在中，设，则，，根据勾股定理可求出，由此即可求解； （3）由（2）可得，，如图所示，过点作于点，可证，得到，根据，可求出，则，在中，根据勾股定理可得，设，则，由勾股定可得，可求出，在中，，所以有，可求出，在中，运用勾股定理可得，由此求出，如图所示，连接，可得，，再根据三角形相似的判定可得，求出，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴点在线段的垂直平分线上， 如图所示，连接并延长交于于点， ∴，，， ∴， 在中，设，则，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 中，， ∴，即， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得，， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，同弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，构造辅助线，图形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$