第四章指数函数与对数函数单元测试A卷-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第一册）（全国通用）

第四章 指数函数与对数函数单元测试A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．20 6．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 7．某项研究成果发现，试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（    ）天（）. A． B． C． D． 8．若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为. B．若为奇函数，则 C．在上单调递减 D．若，则的值域为 11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，那么不等式的解集为 13．已知，若，求 . 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．计算： (1)； (2)． 16．已知函数是偶函数，其中e是自然对数的底数. （1）求a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 17．已知函数，，设． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求的取值范围． 18．已知函数是偶函数.当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； (3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围. 19．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数单元测试A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 3．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的运算性质化简求答案. 【详解】由，得，∴，则． 故选：B． 4．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 5．已知，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．20 【答案】D 【分析】由题意可得，然后代入中可求出的值. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 故选：D 6．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数． 故选A. 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 7．某项研究成果发现，试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（    ）天（）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，求出的值，即可得解. 【详解】取，故，即， 故该种病毒细胞实验最多进行的天数为， 故选：C. 8．若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案. 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可. 【详解】因为，所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确. 故选：BD. 10．已知函数则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为. B．若为奇函数，则 C．在上单调递减 D．若，则的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义域的求法，可判定A正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得的值，可判定B正确，化简，结合指数函数的单调性，可判定C错误；化简函数，结合指数函数的值域，可判定D正确. 【详解】由题意，函数， 对于A中，由，所以函数的定义域为，所以A正确； 对于B中，由函数为奇函数，则满足，即， 所以，即， 所以B不正确； 对于C中，由， 因为函数为单调递增函数，则递增函数， 所以函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，当时，可得， 因为，可得，所以， 即函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 【答案】AC 【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围； 若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值； 若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围； 若，，即可解出不等式；即可选出答案. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确； 对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误； 对于C，因为函数在区间上为增函数， 所以当m=0时，，符合题意； 当时，，解得；所以，故C正确； 对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，那么不等式的解集为 【答案】 【分析】先根据分段函数分类讨论，解不等式可得结果. 【详解】由题意得或，所以或，或，即解集为. 【点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 13．已知，若，求 . 【答案】-2017 【分析】设，得到为奇函数，从而得到，求出的值. 【详解】令，则的定义域为R， 且， 故为奇函数， 从而，即， 因为，所以. 故答案为：. 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案. 【详解】因为，定义域为， 因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递减， 当时，； 当时，，即； 当时，； 所以，当时，则，于是； 当时，则，于是； 当时，. 综上所述，的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 16．已知函数是偶函数，其中e是自然对数的底数. （1）求a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由可求出； （2）由可得，令，则，，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可. 【详解】（1）∵函数是偶函数， ∴，即， ∴. （2）由题意，知在上恒成立， 则，即， ∴. 令，则. ∴. ∵，当且仅当时等号成立 ∴. 17．已知函数，，设． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）由函数特征得到不等式，求出定义域； （2）由函数奇偶性定义作出判断； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）， 由，得，即的定义域为． （2）为奇函数，理由如下： 由（1）知，函数的定义域关于原点对称． ∵， ∴， ∴，故为奇函数． （3）由， 得， 解得，故的取值范围是． 18．已知函数是偶函数.当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； (3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可. （2）根据（1）做出图像，数形结合. （3）根据（1）做出图像，数形结合. 【详解】（1）设，则 ∴ ∵为偶函数 ∴ 综上，有 （2）由（1）作出的图像如图： 因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或； 故实数的取值范围是或. （3）由（1）作出的图像如图： 由图像可知： 当时，有两个零点； 当时，有四个零点； 当时，有六个零点； 当时，有三个零点； 当时，没有零点. 19．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)①不是，②是；理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，结合“无奇”函数的定义可判断①；由恒成立，可判断②； （2）根据条件转化为方程无解，参变分离后，可求得所求范围； （3）若函数不是“无奇”函数，转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数m的范围，进一步计算即可. 【详解】（1）①因为，符合， 所以不是"无奇"函数； ②恒成立， 所以是“无奇”函数； （2）在无解， 即在无解， 所以 （3）若不是“无奇”函数， 则有解， 即， 即有解， 令， 则 所以，即， 所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$