导数及其应用 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学上学期一轮复习专题：导数及其应用 一、单选题 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且时，，若，若是常函数，则方程在区间内根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 6．已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在点处的切线均经过坐标原点，其中，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（    ） A．14 B．16 C．21 D．23 二、多选题 9．已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 10．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数（）仅有一个零点，则实数a的值为 . 13．若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 14．已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．已知函数，记是的导函数. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)证明：当时，. 16．已知函数，的图像在处的切线过原点． (1)求的值； (2)设，，其中，若对，总，使成立，求整数的取值范围． 17．记函数. (1)证明：； (2)记的定义域为．若任意，求的取值范围． 18．已知． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若， ①证明：存在唯一的实数，对成立； ②记①中，证明：当时，． 19．英国数学家泰勒发现了如下公式：，以上公式成为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D，利用导数判断C选项的单调性. 【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在定义域上单调递减，故B正确； 对于C：，则， 当时，所以在上单调递增，故C错误； 对于D：在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B 2．D 【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数的周期性，结合赋值法计算即可得解. 【详解】由，则， 即， 由函数为奇函数，故， 则， 则， 即， 即，故为周期为的周期数列， 故， 对，令，有，即， 故. 故选：D. 3．C 【分析】由题意转化为与和共有两个交点，利用导数研究单调性极值，数形结合得解. 【详解】因为，所以不是的零点， 当时，令，得， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 且当趋近正无穷时，趋近2，如图所示， 所以当时，与的图象有且仅有四个交点， 此时函数恰好有四个零点. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 4．D 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 则， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即. 故选：D. 5．D 【分析】由题意结合三角函数的二倍角公式，整理函数的等量关系，利用函数证明不等式的恒成立，可得答案. 【详解】，则， 则，， 则，可得，则， 令，则恒成立，即函数在单调递增， 所以， 即在区间内无实根． 故选：D． 6．B 【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得. 【详解】令，即时，，解得， 时，，无解，故， 设过点与曲线相切的直线的切点为， 当时，，则有， 有，整理可得，即， 即当时，有一条切线， 当时，，则有， 有，整理可得， 令， 则， 令，可得， 故当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由， ，故在上没有零点， 又， 故在上必有唯一零点， 即当时，亦可有一条切线符合要求， 故. 故选：B. 7．B 【分析】首先求出导函数，根据导数的几何意义表示出切线方程，从而得到，即可求出，再代入计算可得. 【详解】，则， 故函数点处的切线为， 又切线均经过坐标原点，则，化简整理可得， 又，，所以， 则，，，，， 又，，， ，， 所以． 故选：B． 8．D 【分析】构造函数，结合函数单调性可得，则有，即可得解. 【详解】由，且，，故，即， 令，， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 由，即，故，， 又，故，即， 若，则有， 即，由，故. 故最大正整数为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数的性质，结合其单调性得到，从而得到，则有，即可得解. 9．ABD 【分析】对于A，首先由题意，求导代入即可验算；对于B，由即可判断；对于C，用反证法即可求导推翻；对于D，由题意得，进一步构造函数得，由此即可判断. 【详解】由，可得，则，令，得，A正确. 令，则，故为偶函数，B正确. 假设的图象关于点对称，则， 则，即关于直线对称，又不是常函数， 这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确. 因为的图象关于点对称，所以， 令，则， 则（为常数），则， 从而，即， 由，得，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是用反证法求导结合已知证伪，由此即可顺利得解. 10．BC 【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项. 【详解】由为奇函数可得，即， ，即，即， 所以函数的图像关于直线对称， 由是偶函数可得为奇函数， ， 即， 所以函数的图像关于点对称； 将代入，得， 将代入，得，B选项正确； 将代入得，得，A选项错误； ，C选项正确； 将代入，得，故，，D选项错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，然后在已知式中对自变量赋值求解． 【详解】由是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，故． 对于A，由， 代入，得， 又是奇函数， 则， 所以是周期函数，且周期为4，，故A正确； 对选项B，令得，，令得，， 故，故B正确； 对于C：令得， 即， 若，则， 但不一定为0，故C错误； 对于D：令，得， 故，，所以， 令，得，则 则，由是以4为周期得， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解. 12．/ 【分析】令，则，则问题转化为函数与在上有1个交点，且交点在上，利用导数的几何意义求出与相切时的的值. 【详解】，令，则， ， 因为函数（）仅有一个零点， 所以函数与在上有1个交点， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 所以函数与的交点在直线上， 所以当直线与和相切时，两函数图象只有一个交点， 设切点为，，， 所以，解得，， 所以当时，与在上有1个交点， 即函数（）仅有一个零点. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为函数与在上有1个交点，再转化为直线与和相切，考查数学转化思想，属于较难题. 13．2 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键. 14． 【分析】根据题设条件，构造函数，判断其单调性，将所求不等式整理成，利用的单调性即可解得. 【详解】令，则 因为当时，，即 所以当时，单调递减， 由不等式可得， 即,故有，解得：， 即不等式的解集为. 故答案为：. 15．(1) (2)的单调递增区间是和，单调递减区间是和 (3)证明见解析 【分析】（1）求出当时的的导函数即可得； （2）先分类讨论求出的导函数，即可得函数的导函数，再借助导数构造相应函数去研究的正负，即可得函数的单调性； （3）原问题可转化为证明：当时，，构造函数，可得的导函数与的关系，即可得其单调性，即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 此时，所以. （2）先求的导数， 当时，， 当时，， 当时，总有， 所以， 令，则，， 所以在，上均单调递减， 由（1），又，也即是， 所以当时，，于是， 所以在上单调递减， 当时，，于是， 所以在上单调递增， 当时，，于是， 所以在上单调递增， 当时，，于是， 所以在上单调递减， 故的单调递增区间是和， 单调递减区间是和； （3）当时，要证， 只需证， 因为，所以只需证， 只需证， 只需证， 只需证， 只需证， 令（）， 则只需证（）（※） 因为 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以在上单调递减， 又，所以，即不等式（※）成立， 故当时，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于构造出后，得到其导函数与的关系，从而可由的性质得到的单调性. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求出结果； （2）先利用二次函数性质得，再结合上问得，利用导数研究单调性，结合隐零点得最小值，解不等式即可. 【详解】（1）易知的定义域为，且， 又，所以， 得到的图象在处的切线方程为， 将代入，得. （2）， 当时，取得最小值，， 由（1）知，所以，得，易知的定义域为， 则，易知单调递增， 又，， 即在区间上有唯一解，使，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 在处取得极小值也是最小值， 则， 又，所以， 所以对，总，使成立， 必须且只需，得， 故整数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：第二问问题等价于，利用导数研究函数的单调性，结合隐零点计算其最小值，利用对勾函数单调性考察其在哪两个整数相邻之间，根据二次函数求，然后根据题意，得到整数的不等式，解不等式即可. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分、两种情况结合函数新定义即可得证； （2）根据题意得出，首先由必要性探路得，进一步根据题意验证充分性即可得解. 【详解】（1）①当时，； ②当时，易知，则 ，得证！ （2）先考虑，由． 记，则． 由． 令，则， 所以在上单调减， 则． 必要性探路：先考虑时，． 只需考虑的情况，否则显然有． 于是，令， 则． 令，且． 故在上单调递增，在上单调递减． 由，故． 于是． 等号在，即时取到． 充分性证明：下证：时，，用归纳法证明． ①当时，已证； ②当时，易知单调递增，则 ，得证！ 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于先由必要性探路，缩小所求参数范围，反过来验证充分性即可顺利得证. 18．(1)见解析 (2)①证明见解答；②证明见解答 【分析】（1）根据，得出在上单调递增，再结合，，即可得证； （2）①分别判断函数的单调性，当时，得出所以单调递减；当时，得出存在唯一的实数，使得，且为函数在区间上的唯一极小值点，当时，通过构造函数，即证恒成立，得出时，函数单调递增，进而为区间内的唯一最小值点．②任取，，其中，通过作差法得出，即可得出当时，． 【详解】（1）由题可知， 令， ， 因为，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，， 所以函数在上单调递增． （2）①当时，由于，， ，所以，所以单调递减； 当时，令，，单调递增，又， ，所以在上存在唯一的实数，使得， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故为函数在区间上的唯一极小值点， 当时，可证当时，单调递增， 即证恒成立，证明如下： 要使恒成立，只需证恒成立， 令，即证恒成立， 由于，结合与的图象可得，    存在使得， 则，所以在上的最小值， 显然，，， 由于，所以， 所以有，， 综上可证成立，故时，函数单调递增， 故为区间内的唯一最小值点． ②证明：由①知，当时，在上单调递增．故有成立， 任取，，其中， 则， 因为，，， 所以，所以， 故当时，， 综上可证，当时，． 【点睛】利用导数求解函数的单调区间及最值问题，关键是研究清楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究．如本题中，可再次求导判断与0的大小关系，结合导数来研究． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接使用导数证明不等式； （2）与（1）方法类似，使用导数证明不等式； （3）对和分类讨论，利用导数确定原点附近的单调性，然后即可得到答案. 【详解】（1）设，则，故对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而，即. （2）设，则. 故对有，所以在上递增. 从而对有，即，故. （3）据已知有，故，（我们约定是的导数）. 若，则对，据，有. 所以在和上递增，从而在上递增. 故对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而是的极小值点，满足条件； 若，则对，有. 从而，且 . 所以，故. 这就说明在上递减，从而对有. 故在上递减，从而不可能是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数判断函数的单调性，从而得到相应的不等式. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$