13.1.2 定理与证明　课件2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.1.2 定理与证明 学习目标 1. 学习基本事实与定理 2.理解命题的证明 试一试：根据所学知识，完成下列内容. 下列哪些命题是真命题﹖ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短; 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 1 基本事实与定理 定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也称它为公理. 3.全等三角形的对应边、对应角分别相等． 1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 定义： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据. 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 2 命题的证明 证明几何命题的一般步骤： 1.明确命题中的______和______； 2.根据题意，_________，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_____________的途径，写出证明过程. 求证 已知 画出图形 要证的结论 例 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. A B C 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°（已知）， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 练一练：求证：内错角相等,两直线平行. 已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2. 求证：l1∥l2. A B l1 l2 l3 ( 1 ) 2 )3 证明： ∵　∠1=∠2　 　∠3=∠2 ∴　∠1=∠3　 ∴　l１∥l２　 (已知)， (对顶角相等)， (等量代换). (同位角相等,两直线平行). 1.某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直， 根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（ ） A．直线的公理; B．直线的公理或线段最短公理 C．线段最短公理; D．平行公理 2. 求证：邻补角的平分线互相垂直． A B C E F 2 1 已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC． 求证：OE⊥OF． A B C E F 2 1 证明：∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝ ∠AOB. ∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∠BOC. ∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC） ＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°. ∴OE⊥OF（垂直定义）． 3.如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 证明：∵∠A=∠C， ∴AB∥CD． ∴∠B=∠BFC． ∵∠B=∠D， ∴∠BFC=∠D． ∴DE∥BF． ∴∠DMN=∠BNM． ∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM， ∴∠1=∠2． 4．证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角的平分线互相平行．（要求画图，写出已知、求证、证明） 5．在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得到了前五名（ 没有并列同一名次的）．关于各人的名次大家作出了下面的猜测： A说：“第二名是D，第三名是B”． B说：“第二名是C，第四名是E．” C说：“第一名是E，第五名是A．” D说：“第三名是C，第四名是A．” E说：“第二名是B，第五名是D．” 结果每人都只猜对了一半，请判断他们的名次如何． 6.如图所示，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到平行四边形和角平分线这两个条件） 定理与证明 命题的证明 基本事实与定理 作为判断其他命题真假的原始依据的真命题视为基本事实. 可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，可以作为进一步判断其他命题真假的依据的真命题叫做定理.