第三章 相似形、三角形、圆 讲义-2024-2025学年数学初升高衔接

3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. ( 图3.1-1 )在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，，另作直线交于点，不难发现 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， ， 且求. ( 图3.1-2 )解 例2 在中，为边上的点，， 求证：. 证明（1） ∽， 证明（2） 如图3.1-3，过作直线， . 过作交于，得， ( 图3.1-3 )因而 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 例3 已知，在上，，能否在上找到一点，使得线段的中点在上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于. ， ，且， ( 图3.1-4 )，且 为的中点. 可见，当为的中点时，的中点在上. 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在. 例4 在中，为的平分线，求证：. 证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E， AD平分 由知 ( 图3.1-5 ) . 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 练习1 1．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（ ） A． B． C． D. ( 图3.1-7 ) ( 图3.1-6 ) 2．如图3.1-7，求. 3．如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长. ( 图3.1-8 ) 4．如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.（三角形外角平分线定理） ( 图3.1-10 ) ( 图3.1-9 )5．如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：. 3.12．相似形 我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，，求证：. 证明 在与中， ∽， ，即. ( 图3.1-11 )又与中，， ∽， . 例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，. 求证：（1），； ( 图3.1-12 )（2） 证明 （1）在与中，， ∽， 同理可证得. （2）在与中，， ∽， 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 在中，，求 ( 图3.1-13 )证：. 证明 ， 为直角三角形，又， 由射影定理，知. 同理可得. . 例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： （1） ( 图3.1-14 )当时，有.（如图3.1-14a） （2） 当时，有.（如图3.1-14b） （3） 当时，有.（如图3.1-14c） 在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）. 解：依题意可以猜想：当时，有成立. 证明 过点D作DF//BE交AC于点F， D是BC的中点，F是EC的中点， 由可知，. 想一想，图3.1-14d中，若，则 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史. 练习2 1．如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ） A． B． C． D． ( 图3.1-15 )2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________. 3．已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积. 4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. （1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由； （2） ( 图3.1-16 )若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？ 5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，是等边三角形， （1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，∽？ （2） ( 图3.1-17 )当∽时，求的度数. 习题3.1 A组 1． 如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ） A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6 C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8 2． ( 图3.1-18 )如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 ( 图3.1-19 ) 3． 如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，，求. 4． ( 图3.1-20 )如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：. ( 图3.1-21 ) B组 1． 如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ） ( 图3.1-22 )A． B．1 C． D．2 2． ( 图3.1-23 )如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A． B． C． D． 3． ( 图3.1-24 )如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（ ） A． B． C． D． 4． 如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD. （1） 求证：OE=OF； （2） 求的值； （3） ( 图3.1-25 )求证：. C组 1． 如图3.1-26，中，P是边AB上一点，连结CP. （1） 要使∽，还要补充的一个条件是____________. （2） 若∽，且，则=_____. ( 图3.1-26 ) 2． 如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且. （1） 求证：； （2） ( 图3.1-27 )根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想. 3． 如图3.1-28，在中，AB=AC，，点D为BC上任一点，于F，于E，M为BC的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论. ( 图3.1-28 ) 4． 如图3.1-29a，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，于F，我们可以证明成立. ( 图3.1-29 ) 若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，相交于E，EF//AB交BD于F，则： （1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2） 请找出和之间的关系，并给出证明. 3.2三角形 3.2.1三角形的“五心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. ( 图3.2-1 ) ( 图3.2-2 ) 如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. ( 图3.2-3 )证明 连结DE，设AD、BE交于点G， D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且， ∽，且相似比为1：2， . 设AD、CF交于点，同理可得， ( 图3.2-4 )则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5） ( 图3.2-5 ) 例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：. 证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点， 为圆的从同一点作的两条切线，， 同理，BD=BF，CD=CE. ( 图3.2-6 )即. 例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形. 证明 如图，连AO并延长交BC于D. O为三角形的内心，故AD平分， （角平分线性质定理） O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. ，即. ( 图3.2-7 )同理可得，AB=BC. 为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8） ( 图3.2-8 ) 例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 中，AD与BE交于H点. 求证 . 证明 以CH为直径作圆， 在以CH为直径的圆上， . 同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得. ( 图3.2-9 )， 又与有公共角，，即. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 练习1 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是___________; （2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由. 3.2.2解斜三角形 一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念； 1正弦、余弦、正切、余切 2、特殊角的三角函数值 二、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系 sin2a+cos2a=1 tga= ctga= tg2a·ctg2a=1 分别写出变形式： 三、讲授在坐标系内的钝角三角函数。（A为钝角） sinA=sin(1800-A) cosA=-cos(1800-A) tgA=-tg(1800-A) ctgA=-ctg (1800-A) 画图像举例说明：正弦值为“﹢”，其余为“﹣” 四、正弦定理和余弦定理 正弦定理 三角形各边的长度与其对角的正弦值的比相等，且等于它的外接圆的直径 证明（传统证法）在任意斜△ABC当中： S△ABC= 两边同除以 即得： 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2 =b2 +c2-2bccosA 变形式： b2 =c2 +a2-2accosB 变形式： c2 =a2 +b2-2abcosC 变形式： 五．例题分析 例1 在△ABC中，已知a=3，c=3，∠A=30°，求∠C及b 分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论． 解 ∵∠A=30°，a＜c，c·sinA=＜a， ∴此题有两解． sinC= = = ， ∴∠C=60°，或∠C=120°． ∴当∠C=60°时，∠B=90°，b==6． 当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3． 点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状． 分析 欲判断△ABC的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换． 解 方法一：由余弦定理，得 a·（）=b·（）， ∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a2－b2)(c 2－a2－b2)=0 ． ∴a2－b2=0，或c2－a2－b2=0． ∴a=b，或c2=a2+b2． ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法二：由acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB． ∴sin2A=sin2B． ∴2A=2B，或2A=1800－2B． ∴A=B，或A+B=900． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换． 例3 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2， BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积． 分析 四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需 求出∠A即可．所以，只需寻找∠A的方程． 解 连结BD，则有四边形ABCD的面积 S=S△ABD+S△CDB=AB·AD·sinA+BC·CD·sinC． ∵A+C=180°， ∴sinA=sinC． 故S=（2×4+6×4）sinA=16sinA． 在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ． 在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC． ∴20－16cosA=52－48cosC． ∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－ ． ( A P C B b a )又∵0°＜A＜180°，∴A=120°． 故S=16sin120°=8 ． 点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用． 例4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b米， 下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使 观察者上、下视角最大． 分析 如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB 最大，所以需寻找∠APB的目标函数．由于已知有关边长， 所以考虑运用三角函数解之． 解 设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)， 则∠APB=θ为视角． y=tanθ=tan(∠APC－∠BPC)= = = ≤， 当且仅当x= , 即x=时，y最大． 由θ∈（0，）且y=tanθ在（0，）上为增函数，故当且仅当x=时视角最大． 点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． 练习 1．△ABC中，tanA+tanB+=tanAtanB，sinAcosA=，则该三角形是 （ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形或直角三角形 2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ ） A．120° B．150° C．60° D．90° 3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ． 5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 ． 6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=5，求c的长度． ( A C B O A ‘ )7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小． 8．半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2， B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B 点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最 大面积． 3.3 圆 3.3.1圆幂定理及其应用 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题 是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割 线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164) 二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可 得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2； 在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2 ＝OP2-R2 在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2 ＝OP2-R2. 教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径. 分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解. (由学生讨论、分析，得出解决) 例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ. 求证：AX·AY=BP·BQ 分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题 不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出 发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法. 方法1 在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有 AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ. 再连结CO，AO，DO，BO， 易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD 所以AX·AY＝BP·BQ. 方法2 在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有 AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE. 易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP. 所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE. 所以AX·AY＝BP·BQ. 方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有 AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD. 易证AE＝BC，AF＝BD， 所以AE·AF＝BC·BD. 从而AX·AY＝BP·BQ. 通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来， 沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此 题? 三、练习 练习1 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长. 练习2 如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ. 四、小结 用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定理. 教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的. 五、习题 1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。 已知：如图5，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点，且PC、PD与⊙O1和⊙O2分别切于C、D两点。求证：PC=PD。 2、如图6，过点P作⊙O的切线PA，A为切点，过PA中点B作割线交⊙O于C、D，连结PC并延长交⊙O于E，连结PD，交⊙O于F。求证：EF∥PA。 3、如图7，已知PBD是⊙O的割线，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，求证： （1）PA·AB=PB·AD； （2）； （3）AD·BC=AB·DC。 提示：（1）要证PA·AB=PB·AD，只要证得就可以了。而PA、AD、PB、AB分别是△PAD和△PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然∠APD=∠BPA，∠ADP=∠BAP，因此△PAD∽△PBA。 （2）由问题（1）可知，因此要证，只需证。而PA2=PB·PD，故有。 （3）要证AD·BC=AB·DC，只需证得即可。由问题（1）可知，类似问题（1）可证得。因PA=PC，故。因此有。 3.3.2 点的轨迹：三点的轨迹 ［教学目标］ 1. 了解点的轨迹的定义。 2. 掌握五种基本轨迹（即轨迹定理1、2、3、4、5）。 3. 学会利用定理1、2、3、4、5求简单轨迹。 4. 初步学会交轨法作图。 二. 重点、难点： 1. 重点：有关轨迹的5个定理及轨迹在研究点的运动和作图方面的应用。 2. 难点： （1）如何利用轨迹作图，轨迹的探求方法。 （2）如何把运动问题，作图问题归结为点的轨迹问题来解决。 例1. 求下列点的轨迹。 （1）当的斜边AB固定时，求直角顶点C的轨迹。 （2）已知⊙O及弦AB，求与AB平行的弦的中点的轨迹。 解：（1）如图，设O为AB的中点，连结CO，则。因为AB固定，所以O为定点，CO为定长。由定理“到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”，得所求轨迹是以AB为直径的圆。 由于圆上A，B两点不能作为以AB为斜边的直角三角形的直角顶点，故应除去。 （2）如图，动点是与AB平行的弦的中点，不变量是⊙O的弦AB，根据垂径定理，弦中点到A、B的距离相等，由定理2，所求中点的轨迹是与弦AB垂直的直径（除去两端点及AB的中点） 精析：求适合某个条件的点的轨迹的基本思路是把题设中的条件转化为课本中某一个轨迹定理的条件，从而根据轨迹定理的结论得出所求轨迹。在求出轨迹后，要检查所得的图形中是否包含了某些不合题意的点，如果有，则应当将它们除去。 例2. 求下列点的轨迹，并画出图。 （1）在半径为5cm的圆中，长为6cm的动弦的中点的轨迹。 （2）与相交于A、B两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹。 解：（1）如图，连结OC、OA，其中C为弦AB的中点，根据垂径定理得：OC⊥AB。 所以，所以 所以以长为6cm的已知线段为弦，且在半径为5cm的圆中运动所得的弦的中点的轨迹是以点O为圆心、半径为4cm的一个圆。 （2）设P是所求轨迹上的任意一点，连结，则 又因为，所以AB垂直平分 而线段AB上的任意一点都不可能是和⊙O1，⊙O2都外切的动圆圆心 所以所求轨迹是的中垂线AB，并除去线段AB，如图所示。 精析：在分析求点的轨迹的思路时，可以设出一种有代表性的情况，并画出图形（如本例第（1）小题中，设AB是半径为5cm的⊙O中的一条长为6cm的弦，C是AB的中点，然后分析当AB运动时，中点C如何变化。）这样便于借助图形，找出能反映动点运动特征的位置关系和数量关系，并使之转化为某个轨迹定理中的条件。在检验求出的轨迹时，有时要剔除的不只是某几个点，而可能是一条线段，或一段圆弧等。如本例中第（2）小题。 例3. 求以4cm长的已知线段AB为一边，且面积为的三角形的第三个顶点C的轨迹。 解：因为AB的长为4cm，三角形面积为，则三角形AB边上的高线长 所以三角形的第三个顶点C到对边AB所在直线的距离为6cm 因此所求轨迹是与线段AB所在直线平行，且到这条直线的距离等于6cm的两条平行直线（如图所示） 精析：求点的轨迹的一般步骤： （1）描出一些适合的点（画出草图）； （2）研究并总结这些点具有的共同特点与已知条件的关系，从而根据五个轨迹定理中的一个确定所求的轨迹是什么图形； （3）根据题意考虑是否有需要排除的特殊点（或线段、圆弧），然后用文字叙述完整。 例4. 如图所示，已知∠EOF，点A和点B，求作一点P，使点P同时满足： （1）到∠EOF的两边距离相等； （2）到点A、B的距离相等。 解：点P到∠EOF两边的距离相等，则点P在∠EOF的平分线上，故作∠EOF的平分线。 点P到A、B两点的距离相等，则点P在线段AB的中垂线上，故作线段AB的中垂线。 两线的交点为P，则点P即为所求。 精析：当所求作的点同时满足两个（或多个）条件时，应单一地考虑每一个条件，确定所求作点各是什么轨迹上的点，并作出每一个轨迹，则这两个（或多个）轨迹的交点就是所求作的点，这种作图方法称为交轨法作图。 例5. 已知⊙O和定长r，点A是圆内的一点，求作一个半径为r的圆，使它经过点A，并且与⊙O内切。 解：以O为圆心，以⊙O的半径减去定长r的差为半径画圆 以点A为圆心，以定长r为半径画圆，两圆相交于点 则以或为圆心，定长r为半径画圆，所得⊙或⊙就是所求作的圆。（如图所示） 精析：本例用交轨法作图，由于所求作圆的半径为已知线段r，故作图的关键是找圆心，由已知条件，就是到定点O的距离为定长（⊙O的半径与r之差）的点的轨迹和到定点A的距离为定长r的点的轨迹的交点。 练习 1. 到定点P的距离等于6cm的点的轨迹是_____________。 2. 以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是_____________。 3. 已知⊙O'与半径是4cm的⊙O外切，且⊙O'的半径为2cm，则点O'的轨迹是__________。 4. 已知动点P到直线的距离为5cm，则点P的轨迹是____________。 5. 半径等于2cm，与直线相切的圆的圆心的轨迹是______________。 6. 如图所示，中，∠C＝Rt∠，BC边在上，点A在上，。已知进行平行移动，那么AB边的中点Q的轨迹是____________。 7. 与正方形ABCD的AB、AD两边（不延长）都相切的圆的圆心的轨迹是________。 8. 到半径为r的定圆O的切线长等于定长a的点的轨迹是___________。 9. 一动点P绕定点O，且到定点O的距离为4cm旋转半周，那么点P运动所经过的路程是_________cm。 10. 如图所示，半径为3cm的弹子沿着半径为8 cm的圆形钢圈内壁滚动3周，那么弹子圆心P随之运动所经过的路程是________ cm。 二. 选择题。 11. 到已知角两边所在直线的距离相等的点的轨迹是（ ） A. 这个角的平分线 B. 这个角的平分线所在直线 C. 这个角和它的邻补角的平分线所在的直线 D. 这个角和它的邻补角的平分线 12. 已知线段AB，切AB中点E的动圆圆心的轨迹是（ ） A. 线段AB的中垂线 B. AB的垂线（除去E点） C. 线段AB的垂线 D. 线段AB的中垂线（除去E点） 13. 已知两条平行线之间的距离为6 cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心的轨迹是（ ） A. 和这两条直线平行，且距离等于6cm的一条直线 B. 和这两条直线平行，且距离等于3cm的两条直线 C. 和这两条直线平行，且距离都等于3cm的一条直线 D. 和这两条直线平行，且距离等于3cm的三条直线 14. 点P（x，y）在直角坐标系内运动，且满足，则点P的轨迹是（ ） A. 平分第I象限角的一条射线 B. 平分第II象限角的一条射线 C. 平分第III象限角的一条射线 D. 平分第I、第III象限角的一条直线 15. 已知抛物线的对称轴是到A（-3，0）和B（5，0）的距离相等的点的轨迹，则b的值是（ ） A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 三. 解答题。 16. 如图所示，已知⊙O和⊙O上一点A，求以点A为一端点的弦的中点的轨迹，并画出图形。 17. 如图所示，已知∠EAF，B是AE上一点，求作一个，使AB边上高线为2 cm，点C到AE，AF的距离相等。 18. 如图所示，一根小木棒两端A、B紧靠钢圈上，现小木棒A、B两端紧靠钢圈按逆时针方向滑动到A'B'位置上，使得A与B'重合，B与A'重合，且AB//A'B'，已知小木棒长为8cm，钢圈半径为5cm，求木棒中点P随之运动所经过的路程。 19、在三角形ABC中 BC=6 AC=5 AB=4 过点A且与BC边相切的圆分别与AB、AC交于点DE 求线段DE长度的最小值 3.3.3 证明四点共圆的基本方法 1、利用圆的定义 根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。 2、利用三角形的关系 (1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆； (2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。 已知C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB。 求证：A，B，C，D四点共圆。 证明：如图7-39，过A，B，C三点作⊙O。 (1)如果D点在⊙O内部，则延长BD交⊙O于，连A。 ∵∠=∠C，且∠ADB＞∠。∴∠ADB＜∠C，这与∠ADB=∠ACB矛盾。 因此D点不可能在⊙O的内部。 (2)如图7-40，如果D点在⊙O的外部，连AD，BD。则必有一条线段与⊙O相交，设BD与⊙O交于，连A。 ∵∠AB=∠ACB，且∠D＜∠AB。 ∴∠D＜∠ACB，这与∠ADB=∠ACB矛盾。 因此，D点不可能在⊙O的外部。 综上所述，D点必在⊙O上。 3、利用四边形的关系 (1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)； (2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42) 4、利用线段的乘积式的关系 (1)线段AB，CD相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D四点共圆。 证明：如图7-43，连AD，BC，AC。 在△APD和△BPC中，∵PA·PB=PC·PD，∴。 又∠APD=∠BPC，∴△APD∽△BPC。∴∠B=∠D，又B，D在线段AC同侧。 因此，A，C，B，D四点共圆。 (2)两线段AB，CD的延长线相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D四点共圆(图7-44)。 例1、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线。其交点分别为E，F，G，H，证明这些交点在以对角线的交点O为圆心的圆上。 分析：由于P点选取的任意性及正方形ABCD顶点，对角线交点的固定性，应通过三角形全等证明OE=OF=OG=OH，根据圆的定义证明四点共圆。 证明：如图7-45，连OE、OF、OG、OH。 ∵OA=OB=OC，∠OAH=∠OBE=∠OBF=∠OCG=45º，AH=BE=BF=CG。 ∴△OAH≌△OBE≌△OBF≌△OCG。 ∴OH=OE=OF=OG。 因此，E，F，G，H四点共圆。 例2、从一定点P向各同心圆作切线，求证各切点共圆。 分析：由于切线垂直于过切点的半径，因此条件中存在较多的垂直关系。可以考虑使用“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”进行证明。 证明：如图7-46，连。 ∵∠OAP=∠OP=∠OBP=∠OP=90º，且都以OP为斜边， ∴A，B，，共圆。 例3、已知AB，CD是⊙O的弦，且AB∥CD，M为AB的中点，DM交⊙O于E，求证E，M，O，C四点共圆。 分析：注意“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”与“同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆”的区别与联系。前者的直角可在斜边两侧，而后者的等角必须在同底的同侧。本题应使用后者进行证明。 证明：连OE，OM，OC，MC，反向延长OM与CD交于N，如图7-47所示。 ∵AB∥CD，AM=BM，∴MC=MD，∠MCD=∠MDC。 又∠CME=∠MCD+∠MDC=2∠MDC，而∠COE=2∠MDC，∴∠CME=∠COE，且M，C在线段CE同侧。 因此E，M，O，C四点共圆。 例4、两圆交于A，B过B的直线交两圆于C，E，在BA的延长线上任取一点P，连PC，PE，交两圆于D，F。求证：P，D，A，F四点共圆。 分析：涉及到四边形时，可以考虑使用“如果四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆”，也可以考虑使用“如果四边的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆”。 证法1：如图7-48，由∠PDA=∠ABC，∠PFA=∠ABE，并且∠ABC+∠ABE=180º，所以∠PDA+∠PFA=180º。 因此P，D，A，F四点共圆。 证法2：由∠PDA=∠ABC，∠ABC=∠AFE，所以∠AFE=∠PDA。 因此P，D，A，F四点共圆。 例5、从⊙O外一点A作切线AB，AC过BC的中点M作弦PQ。求证：Q，P，A，Q四点共圆。 分析：使用相交弦定理的逆定理及割线定理的逆定理证明四点共圆较为困难。本题可以使用相交弦定理的逆定理进行证明。 证明：如图7-49连OB，则OB⊥AB，又BC⊥OA，所以根据射影定理，有AM·OM。 根据相交弦定理，有PM·QM=BM·CM=。 ∴AM·OM=PM·QM。 根据相交弦定理的逆定理，有O，P，A，Q四点共圆。 例1、两个角的边交于点A、B、C、D(如图5-18)，已知这两角的平分线互相垂直。求证：A、B、C、D四点共圆。 证明：由题意可设∠AEM=∠MEB=，∠NMF=∠AME=，∠DAB是△EAM的外角，所以∠DAB=。因为EN⊥NF，所以∠EPN=90º－，∠NFM=90－=∠PFC。 又∠EPN与∠CPF是对顶角，∴∠CPF=∠EPN=90º－。∠BCD是△PCF的外角，∴∠BCD=∠PEC+∠CPF=(90º－)+(90º－)=。 于是∠DAB+∠BCD==180。 ∴A、B、C、D四点共圆。 例2、O为△ABC内一点，BO、CO分别交AC、AB于D、E。如果BE·BA+CD·CA=。求证：A、D、O、E共圆。 证明：∵BE·BA+CD·CA=，∴BE·BA∠。① 故在线段BC上存在一点F(如图5-19)，使BE·BA=BF·BC。② 由①，得CD·CA=－BE·BA=(BF+FC)·BC－BF·BC， 即CD·CA=FC·BC。③ 连AF，由②知A、C、F、E四点共圆。∴∠1=∠2。 又由③知A、B、F、D四点共圆。∴∠3=∠4。 ∴∠BAC=∠1+∠3=∠2+∠4=COD。∴A、D、O、E四点共圆。 例3、如图5-20，设AD、BE、CF为△ABC的高，垂心为H，N、S、P分别为三边中点，G、T、M分别为AH、BH、CH的中点。求证：D、E、F、G、T、M、N、S、P九点共圆。 分析：对于多点共圆问题，要归结为四点共圆问题加以解决。所以，欲证九点共圆，可先证其中四点共圆。再证余下五点都在此圆周上。 证明：∵PS∥TM∥BC(PS=TM=BC)， PT∥SM∥AH(PT=SM=AH)，又AD⊥BC，∴PTMS的矩形。 同理证TNSG也为矩形。故TS、NG、PM是同一个圆的三条直径。 又∠GDN=90º，∴D在此圆上。同理，E、F也在此圆上。故结论成立。 说明：本题是著名的“九点圆定理”，即：任意三角形三条高的垂足、三边的中点、以及垂心与三顶点连线的中点，这九个点共圆。其证明方法很多，上述是用四点共圆给以证明的。 例4、如果在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE且∠AEC=∠ADB。求证：∠BAC=∠DAE。 分析：欲证∠BAC=∠DAE，如图5-21，在△ABC与△ADE中，已知∠CBA=∠ADE，故只须证明∠BCA=∠DEA即可。 证明：∵∠AEC=∠ADB，∴A、F、D、E四点共圆。 ∴∠AFE=∠ADE，而∠ADE=∠ABC。∴∠AFE=∠ABC。∴A、B、C、F四点共圆。 于是，得∠BCA=∠BFA=∠DEA。 在△BCA与△DEA中，∵∠ABC=∠ADE，∠BCA=∠DEA，∴∠BAC=∠DAE。 例5、设⊙、⊙、⊙两两外切，M是⊙、⊙的切点，R、S分别是⊙、⊙与⊙的切点，连心线交⊙于P，交⊙于Q。求证：P、Q、R、S四点共圆。 分析：如图5-22，连结MR、PR，则∠PRM=90º，欲证P、Q、R、S四点共圆，设法证明∠PRS与∠Q互补即可。 证明：连结RM、PR、RS、SQ，并作切线RN，则在四边形PQSR中，∠Q=∠， ∠PRS=∠PRM+∠MRN+∠NRS=90º+∠P+∠ =90º+∠+∠， ∴∠Q+∠PRS=90º+(∠+∠+∠)=90º+90º=180º ∴P、Q、R、S四点共圆。 例5、若凸四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，试证：该四边形四个顶点共圆。 分析：若题目中直接指明需证某四点共圆，则一般采用直接寻找共圆条件，以证得结果。 证：如图7－5，在四边形ABCD中引AE，BE使得∠1=∠2，∠3=∠4。 则△ABE∽△ACD，所以 即① 连结ED，由∠BAC=∠EAD及得△BAC∽△EAD， 因此 即② ①+②得 但由题设可知，故B，E，D三点共线，所以∠ABD=∠ACD。于是A，B，C，D四点共圆。 例2设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G，且(图3-35)。求证：四点共圆。 分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆． 证：作交圆O于N，因为，则必为⊙O的直径，所以 ∠FDN=∠FMN=90°， 所以F，D，N，M四点共圆，所以AD·AF=AN·AM． 同理，AG·AE=AN·AM，所以AD·AF=AG·AE， 所以F，D，E，G四点共圆． 练习 1．设梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，B，F，E四点共圆，则C，D，E，F也必四点共圆． 2．四边形EFGH的顶点顺次在四边形ABCD的各边上，并且AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH．求证：E，F，G，H四点共圆． 1、设△ABC为正三角形，BC、AC上分别有一点D、E，且BD=CD，CE=AE，BE、AD相交于P。求证：P、D、C、E四点共圆，且AP⊥CP。 2、设△ABC的BC边的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于D，求证：A、B、C、D四点共圆。 3、如图，两圆相交，过一交点A引两圆的直径AB、AC，交两圆于E、F，过B、E及C、F的直线交两圆于P、Q、R、S。求证：P、S、Q、R四点共圆。 4、在△ABC中，过B、C分别作∠BAC的平分线为垂线，E、F的垂足，AD⊥BC于D，M为BC中点。求证：M、E、D、F四点共圆。 5、如图，D是△ABC的BC边上的一点，和分别为△ABC、△ADB和△ADC外接圆的圆心。求证：A、、、四点共圆。 6、在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH⊥BC于H，S为AH的中点，过S点作各边的平行线与三边交于P、Q、K、L、M、N，如图。求证：P、Q、K、L、M、N六点共圆。 7、设ABCD为平行四边形，∠ABC＞90º，O为其对角线交点，自点D作对对角线AC的垂线，垂足为，自点D作AB边垂线，垂足为，自点D作BC边的垂线。垂足为。求证：O、、、共圆。 8、已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且=AB·CD+BC·AD。求证：A、B、C、D四点共圆。 24 学科网（北京）股份有限公司 $$