1.1.3 直线的方程（第一课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1.3直线的方程（第一课时） 直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 目录CONTENT 学习目标 新知探究 知识梳理 小试牛刀 小试牛刀 小试牛刀 学习目标 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式）。 新知探究 我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点和斜率就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标与点坐标和斜率之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？ y x p 新知探究 在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率 =2,即得方程y=2x+3.这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗? y x 知识梳理 直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(，)和斜率k 图示 方程形式 y－＝k(x－) 适用条件 斜率存在 注意: 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1. 知识梳理 小试牛刀 求直线的点斜式方程 【例1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4)． 【分析】求直线的点斜式方程的思路 小试牛刀 求直线的点斜式方程 【例1】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4)． (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]． (2)由题意知，直线的斜率 k＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为 y－4＝－(x＋1)． (3)∵直线与y轴平行，斜率不存在， ∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)， ∴斜率k＝＝－5. 由点斜式得y－1＝－5(x－2)． 【变式训练】根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2，5)，斜率是4； (2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行． 小试牛刀 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)； (2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y－3＝x－2； (3)y＝－1. 直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 知识梳理 知识梳理 注意： 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1. 小试牛刀 【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【分析】直线的斜截式方程的求解策略： (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程． 小试牛刀 【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角α＝150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－. 由斜截式可得方程为 y＝－x－2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 【变式训练】写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 小试牛刀 　(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝.，∴y＝x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2)．∴k＝＝，∴y＝x－2. 知识梳理 判断两直线平行与垂直 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2; l1⊥l2⇔k1k2=-1. 注意：两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合. 小试牛刀 【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与 直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与 直线l2：y＝4x－3垂直？ 【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法． (1)∵l1∥l2，∴a2－2＝－1， 又2a≠2，解得a＝－1. (2)∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝ 【变式训练】求证：不论m为何值， 直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限． 小试牛刀 【证明】直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2，3)， 由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限． 【变式训练】是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 小试牛刀 THANKS $$