精品解析：2024年宁夏银川市中考数学模拟押题卷二

银川市2024年中考数学模拟押题卷二 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，绝对值，再算减法即可． 【详解】解：； 故选B 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， 故选：D 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点的对称性，掌握平面直角坐标系中点的对称性知识是解题的关键．点关于轴对称的点的坐标的特点是横坐标不变，纵坐标变为相反数，由此即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根为2，可得，计算求解即可． 【详解】解：设另一个根为， ∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得，， 故选：B． 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵乙和丁的平均数较大， ∴从乙和丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛， 故选：D． 6. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据几何体的三视图还原几何体．熟练掌握根据几何体的三视图还原几何体是解题的关键． 由三视图可知，这个几何体是长方体，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，这个几何体是长方体， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，连接．以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；以点为圆心，长为半径作弧交于点；以点为圆心，长为半径作弧，交前面的弧于点；作射线交于点．则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，基本作图，根据三角形中位线定理，结合基本作图可证得四边形是平行四边形是解决问题的关键．由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，结合基本作图可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出． 【详解】解：在中，，，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 由作图可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：A 8. 5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H， 设，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，则， 在中，， ∵， ， ∴，则， ∴， 解得． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 10. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 11. 已知实数a，b在数轴上的位置如图，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，化简绝对值等知识．熟练掌握实数与数轴，化简绝对值是解题的关键． 由数轴可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交于点H，且H恰好为的中点，过点D作，垂足为M，若，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质及勾股定理．利用基本作图得到，再利用平行四边形的性质得到，，则，接着证明得到，当，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ，， H恰好为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：2 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴的正半轴上，且，将沿x轴向右平移得到，与交于点F．若，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由点，，可得，由平移的性质可知，，，则，可求，，进而可求点D的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴， 由平移的性质可知，，， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别是点E、F，且点E在矩形内部，当G、E、C三点共线时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，根据线段中点的定义得到，根据勾股定理得到，求得，过H作于P，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵点G是矩形的边的中点， ∴， ，，，， ∴， ∵， ∴， ∵将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， 过H作于P， 则四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行到达C处，测得M小区位于C的北偏西方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到M小区铺设的管道最短时，的长为____． 【答案】750米## 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的含义，含角的直角三角形的性质，正确作出高线，证明是直角三角形是解题的关键．过M作交于N点，即最短，根据方向角可以证得，根据含30度角的直角三角形的性质求得，，进而求得的长． 【详解】解：如图，过M作交于N点，则最短，过作于， ∵，， ∴， ∴， 又∵C处看M点为北偏西， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴（米）． 故答案是：750米． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 （1）以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； （2）将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； （3）原不等式组的解集为 ； （4）此不等式组的最小整数解为 ． 【答案】（1）第四；；不等式的性质 （2） 解集表示在数轴上为： （3） （4）0 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质，即可解答； （2）将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来即可； （3）根据在数轴上表示出来解集，求出不等式组的解集即可； （4）求出不等式组的最小整数解即可． 【小问1详解】 以上解不等式①的过程中，从第第四步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是，这一步的依据是不等式的性质； 故答案为：第四；；不等式的性质； 【小问2详解】 解不等式②得：， 【小问3详解】 原不等式组的解集为， 故答案为：； 【小问4详解】 此不等式组的最小整数解为0． 故答案为：0 18. 按下列要求在如图的格点中作图： （1）作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）； （2）以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）． 【答案】（1）如图所示即为所求； （2）如图所示即为所求； 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换以及中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于原点对称图形的性质得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则、运算顺序和化简求值的方法和步骤是解题关键．首先按照分式的运算法则和运算顺序对原式进行化简，然后把的值代入化简后的算式解答即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行统计，绘制成如下不完整的统计图表： 频数、频率分布表 成绩x/分 频数 频率 n m 根据所给信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）这名学生成绩的中位数在 分数段； （4）若全校成绩在分数段的学生约有人，请你估计该校参加本次大赛的学生中成绩在分数段的人数． 【答案】（1）， （2）补图如下： （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）根据，，计算求解即可； （2）直接补图即可； （3）根据中位数为第位数的平均数，判断作答即可； （4）由全校成绩在分数段的学生约有人，可求全校共人，根据估计该校参加本次大赛的学生中成绩在分数段的人数为，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，中位数为第位数的平均数， ∴这名学生成绩的中位数在分数段， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵全校成绩在分数段的学生约有人， ∴全校共（人）， ∵（人）， ∴估计该校参加本次大赛的学生中成绩在分数段的人数为人． 【点睛】本题考查了频数分布表，条形统计图，中位数，用样本估计总体等知识．熟练掌握频数分布表，条形统计图，中位数，用样本估计总体是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，于点E，与交于点O，． （1）求的度数； （2）若，求，的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证出，易证得是等边三角形，继而求得∠1的度数； （2）由是等边三角形，易求得，又由，由含角的直角三角形的性质求得的长，由三角函数求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，． 【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角函数的应用．此题难度不大，证明是等边三角形是解决问题的关键． 22. 将一副三角板按图①的方式放置（有一条边重合），把含角的直角三角板绕点C逆时针旋转，得到，如图②，其中． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正切，含的直角三角形等知识．熟练掌握旋转的性质，正切，含的直角三角形是解题的关键． （1）由题意知，，，则，由旋转的性质可知，，计算求解即可； （2）如图②，作于，则，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图②，作于， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 23. 如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接、、，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，，如图， 点是半圆的中点， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， 即， ． 为的半径， 是的切线； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （1）连接，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． 设的半径为，则， ， ， 解得：． 的半径为3． 24. 电子体重秤读数直观又便于携带．为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，接通开关，人站上板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示： ①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求与之间的函数关系； （2）用含的代数式表示； （3）若电压表量程为伏．为保护电压表，请确定该电子体重秤可称质量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2），进而即可求解； （3）把时，代入，进而即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵电压表量程为伏， ∴当时，． 答：该电子体重秤可称质量的取值范围为．（也对）． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 25. 某生产消毒液的厂家相应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定对其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：．下表是某4个月的销售记录，每月的销售量y（万件）与该月销售价x之间成一次函数关系． 月份 … 二 三 四 五 … 销售价x/（元/件） … 6 7 … 该月销售量y/万件 … 5 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价为8元/件时，政府该月应给该厂家补贴多少万元？ （3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？请求出最大纯收入．（纯收入=利润+补贴） 【答案】（1） （2）4万元 （3）当销售价x定为7元时，该月纯收入最大，最大纯收入为万元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式； （2）当时，（万件），当时，（元），根据政府该月应给该厂家补贴为，计算求解即可； （3）设该月的纯收入为万元，依题意得，，由，，可知当时，最大，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，（万件）， 当时，（元）， ∴（万元）， ∴当销售价为8元/件时，政府该月应给该厂家补贴4万元； 【小问3详解】 解：设该月的纯收入为万元， 依题意得，， ∵，， ∴当时，最大，最大值为万元， ∴当销售价x定为7元时，该月纯收入最大，最大纯收入为万元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 26. 小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： （1）建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，求抛物线的解析式； （2）如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； （3）若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝上下滑动，点Q，A，C构成，是否存在某一时刻，使为直角三角形．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大面积为 （3）点的坐标为，，或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可； （2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值； （3）根据题意，设，分三种情况讨论，分别以为直角顶点，根据勾股定理即可求解 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即 【小问2详解】 解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为 设， 则， ①如图，当时，， 解得 ②如图，当时，， 解得 ③如图，当时，， ∴， 解得 综上所述，点的坐标为，，或； 【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，勾股定理，一元二次方程的解法，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市2024年中考数学模拟押题卷二 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 5 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 2 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 圆柱 7. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，连接．以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；以点为圆心，长为半径作弧交于点；以点为圆心，长为半径作弧，交前面的弧于点；作射线交于点．则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 10. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 11. 已知实数a，b在数轴上的位置如图，则的值是______． 12. 如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是______． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交于点H，且H恰好为的中点，过点D作，垂足为M，若，则的长为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴的正半轴上，且，将沿x轴向右平移得到，与交于点F．若，则点D的坐标为______． 15. 如图，矩形中，，，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别是点E、F，且点E在矩形内部，当G、E、C三点共线时，的长为__________． 16. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东方向，测绘员沿主输气管道步行到达C处，测得M小区位于C的北偏西方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到M小区铺设的管道最短时，的长为____． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 （1）以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； （2）将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； （3）原不等式组的解集为 ； （4）此不等式组的最小整数解为 ． 18. 按下列要求在如图的格点中作图： （1）作出关于原点成中心对称的（A，B，C的对应点分别为）； （2）以点C为位似中心，作出放大两倍的（A，B的对应点分别为）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行统计，绘制成如下不完整的统计图表： 频数、频率分布表 成绩x/分 频数 频率 n m 根据所给信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）这名学生成绩的中位数在 分数段； （4）若全校成绩在分数段的学生约有人，请你估计该校参加本次大赛的学生中成绩在分数段的人数． 21. 如图，在矩形中，于点E，与交于点O，． （1）求的度数； （2）若，求，的长． 22. 将一副三角板按图①的方式放置（有一条边重合），把含角的直角三角板绕点C逆时针旋转，得到，如图②，其中． （1）求的长； （2）求的面积． 23. 如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接、、，若，，求的半径． 24. 电子体重秤读数直观又便于携带．为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，接通开关，人站上板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示： ①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求与之间的函数关系； （2）用含的代数式表示； （3）若电压表量程为伏．为保护电压表，请确定该电子体重秤可称质量的取值范围． 25. 某生产消毒液的厂家相应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定对其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：．下表是某4个月的销售记录，每月的销售量y（万件）与该月销售价x之间成一次函数关系． 月份 … 二 三 四 五 … 销售价x/（元/件） … 6 7 … 该月销售量y/万件 … 5 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价为8元/件时，政府该月应给该厂家补贴多少万元？ （3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？请求出最大纯收入．（纯收入=利润+补贴） 26. 小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： （1）建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，求抛物线的解析式； （2）如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； （3）若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝上下滑动，点Q，A，C构成，是否存在某一时刻，使为直角三角形．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $