精品解析：2024年湖南省娄底市新化县中考模拟（二）数学试题

2024年中考模拟试题（二）数学 考试时间：120分钟；分值：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里） 1. 在下列数中，相反数等于本身的数是（　　） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可解答． 【详解】相反数等于本身的数是0， 故答案选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，注意掌握只有符号不同的数互为相反数，0的相反数是0． 2. 年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可． 【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形， 通过选项中的图形判断可得C选项中的图形为中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 下列等式中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合选项根据幂的乘方与积的乘方、完全平方公式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、3a-2a=a≠1，本选项错误； B、(a2)3=a6≠a5，本选项错误； C、(-2a3)2=4a6，本选项正确； D、(a-b)2=a2+b2-2ab≠a2-b2，本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、完全平方公式的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的运算法则． 4. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原数写成a×10﹣n，原数小数点左边起第一个不为零的数字看小数点向右移动了几位，即为n的值． 【详解】解：0.0000000052＝5.2×10﹣9； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值小于１的科学记数法，确定a和n是解答本题的关键． 5. 把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝25°， ∵∠2＋∠3＝45°， ∴∠2＝45°﹣∠3＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行线的性质求出∠3． 6. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（，），（﹣，），则表示棋子“炮”的点的坐标为（　　） A. （1，2） B. （0，2） C. （2，1） D. （2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可建立直角坐标系，如图所示： 故棋子“炮”的点的坐标为：(0，2)． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置建立直角坐标系是解题关键． 7. 身份证是每一个公民的重要证件，身份证号码由位数码组成，其中第位表示性别（奇数分给男性，偶数分给女性）．例如：某同学的身份证号码是，那么这位同学是男生．临近中考，为了核对大家的报考信息，需收集学生的身份证．某班有个男生，个女生，从收齐的身份证中随机抽取一张，第位数码是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率，用男生人数除以全班总人数即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，从收齐的身份证中随机抽取一张，第位数码是奇数的概率是， 故选：． 8. 如图，在中，平分交于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法中错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. 点是的内心 D. 点到三点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图先判断平分，再由三角形内心的性质解答即可． 【详解】解：A．由作图可知，是的平分线， ∴I到边的距离相等，故选项正确，不符合题意； B．∵平分，三角形三条角平分线交于一点， ∴平分，故选项正确，不符合题意； C．由上可知，I是的内心，故选项正确，不符合题意， D．∵I是的内心， ∴I到的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质． 9. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　） A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2 【答案】D 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，BC=AC×tan∠CAB=4tanθ， ∴所需地毯的长度为AC+BC=4+4tanq（米）． 面积为：（4+4tanq）×1=4+4tanθ（米2）． 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用． 10. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，仿照例题进行求解． 【详解】设， 则， ， 解得，， 故选B． 【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 已知、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，熟记一元二次方程的根与系数的两个关系式是解题的关键．一元二次方程的根与系数的两个关系式为，，根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，可得． 故答案为：2024． 13. 在一次“科技创新”比赛中，抽得10名选手的成绩得到如图的折线图，则这10名选手的成绩的中位数是___． 【答案】87.5 【解析】 【分析】根据中位数的定义：一组数据中处在最中间（或处在最中间的两个数的平均数），进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这组数据为：80、80、80、85、85、90、90、90、90、95， ∴处在最中间的两个数为85和90， ∴中位数 ， 故答案为：87.5． 【点睛】本题主要考查了中位数，解题的关键在于能够熟知中位数的定义． 14. 如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 __cm． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以求出正六边形的周长就可求出正六边形的边长． 【详解】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长， 所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为， 所以正六边形的边长是． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 15. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．先证，根据“相似三角形的相似比等于对应边上的高的比”即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知， ，， ， 设带“小孔”的纸板距离光屏距离为x， 则， 解得， 即带“小孔”的纸板距离光屏． 故答案为：20． 16. 如图，是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果，，当绕点O顺时针旋转时，则雨刷器扫过的面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据扇形面积公式计算扇形面积的能力，解题时注意利用面积相等将图形转化为熟悉的面积． 证与全等，故刮雨刷扫过的面积等于扇形的面积减去扇形的面积． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， 所以， 即可得刮雨刷扫过的面积扇形的面积﹣扇形的面积 . 17. 定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合不等式解集在数轴上的表示，得出，再求出即可． 【详解】解：由新运算的定义可得，， ∴，解得， 由数轴上表示的解集可知，， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提． 18. 如图，点A的坐标是，点C是以为直径的B上一动点，点A关于点C的对称点为P当点C在上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，则a的值等于_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接、设直线交x轴于点，交y轴于点，证明，从而得出点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆，当与直线相切时，点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，设切点为G，连接，利用勾股定理和三角形的面积求出即可． 【详解】解：如图，连接、设直线交x轴于点，交y轴于点， ，， ， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆，当与直线相切时，点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，设切点为G，连接， 在中，， ， ， ， , ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形中位线定理、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数幂、零指数幂、绝对值和乘方依次化简计算即可． 【详解】解：原式 20. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先把括号内通分和把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分得到原式，再根据，得到，然后整体代入计算即可． 【详解】解： ； ； ∴原式: ． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 某学校计划在八年级开设“折扇” “刺绣” “剪纸” “陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为______名； （2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占______；选择“刺绣”课程的圆心角是______度； （3）若该校八年级一共有 800 名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？ 【答案】（1）50； （2）10，72； （3）160 【解析】 【分析】（1）根据参加“折扇”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数； （2）用选择“陶艺”课程的学生人数除以总人数即可得到选择“陶艺”课程的学生所占百分比，用选择刺绣的人数除以总人数再乘以即可得到选择“刺绣”课程的圆心角度数； （3）先求出样本中参加“刺绣”课程的百分比，再用八年级人数乘以这个百分比即可得到结论． 【小问1详解】 解：(人）， 所以，参加问卷调查的学生人数为50名， 故答案为：50； 【小问2详解】 ， 故答案为:10，72； 【小问3详解】 由题意得：（名）． 答：选择“刺绣”课程有160名学生． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是通过扇形统计图和条形统计图的信息关联进行计算． 22. 辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）的半径为3 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得，根据得，再证可得到即可的结论； （2）设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ，， 设的半径为r，在中， ， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定及勾股定理的应用，添加辅助线和利用方程完成图形计算是解决问题关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 2024年4月23日我们迎来第29个世界读书日，“世界读书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”时，订购甲、乙两种具有纪念意义的书籍进行销售．若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元． （1）求甲、乙两种图书的进价分别为多少元？ （2）该批发商准备在进价的基础上将甲、乙两种图书提高10％售出，若该批发商购进甲乙两种图书共计800本，并且甲种图书不超过乙种图书的，当甲、乙两种图书全部售完后，求该批发商所获最大利润为多少元？ 【答案】（1）甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元 （2）该批发商所获最大利润为1000元 【解析】 【分析】（1）根据“若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元”列二元一次方程组，即可求解， （2）根据“共计800本”设甲种本，乙种本，根据“两种图书提高售出”列式 ，根据“甲种图书不超过乙种图书的”列式，即可求解， 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【小问1详解】 解：设甲种图书的进价为元，乙种图书的进价为元， 根据题意得：，解得：， 故答案为：甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元， 【小问2详解】 解：设购进甲种图书的数量为本，则购进乙种图书的数量为本， 根据题意得：， ，解得：， ∴当时，利润最大， （元）， 故答案为：该批发商所获最大利润为1000元． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、点． （1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图所示，请直接写出不等式的解集； （3）在x轴上存在一点P，使的周长最小，直接写出点P的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）P点坐标为 【解析】 【分析】（1）把点代入，可得，从而得到B点坐标为，再由待定系数法解答，即可求解； （2）观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，或两函数图象相交于点、点，即可求解； （3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，求出直线A'B的表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例的图象经过点， ∴， ∴反比例函数表达式为：， ∵反比例的图象经过点， ∴，解得：， ∴B点坐标为， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：∴， ∴一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，或两函数图象相交于点、点， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小， ∵点A'和A（-1，2）关于x轴对称， ∴点A'的坐标为（-1，-2）， 设直线A'B的表达式为y=ax+c， 把点A'（-1，-2），，代入得： ，解得：， ∴直线A'B的表达式为， 当y=0时，， ∴P点坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 探究与证明 已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． 【图形认知】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于点，求证：； 【探究证明】 （2）如图2，若四边形是矩形，且，求证：； 【拓展运用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，求三角形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明即可得证； （2）根据矩形的性质，证明，即可得证； （3）折叠可知：，由（2）可得：，求出的长，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由折叠可知：， 由（2）可知，，即，解得， 在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设：，则， 在中，由勾股定理得， ，解得， ∴， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 26. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点D坐标为（-2，0）或（-1，0） （3）存在，点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或() 【解析】 【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可； （2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，由此可知∠CEF=45°，因此可分∠CFE=90°、∠ECF=90°两种情况讨论； （3）过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为 ∴点C的坐标为（0，3）， ∴直线BC的解析式为． ① 当∠CFE=90°时，CF∥OB ∴点C，F关于抛物线对称轴直线对称， ∴点F（-2，3）， 此时点D坐标为（-2，0） ②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G， 由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45° ∵CF⊥CB， ∴∠FCG=45°， ∴△CFG是等腰直角三角形， 设CG=a，则点F坐标为(-a,a+3)， 代入得： 解得，（舍去） 点F（-1，4）， 此时点D坐标为（-1，0）． 综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0） 【小问3详解】 解：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作直线PH∥BC． 则是等腰直角三角形， ∵PG=， ∴PN=2， ∵PM⊥x轴， ∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到， ∴直线PH的解析式为． 联立直线PH和抛物线的解析式，得： ， 解得：或． ∴点P坐标为(-1，4)或(-2，3) ． ② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到， ∴直线PH的解析式为． ， 解得： 或 ． ∴点P坐标为()或()． 综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考模拟试题（二）数学 考试时间：120分钟；分值：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里） 1. 在下列数中，相反数等于本身的数是（　　） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2. 年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，正确的是( ) A. B. C. D. 4. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 6. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（，），（﹣，），则表示棋子“炮”的点的坐标为（　　） A. （1，2） B. （0，2） C. （2，1） D. （2，0） 7. 身份证是每一个公民的重要证件，身份证号码由位数码组成，其中第位表示性别（奇数分给男性，偶数分给女性）．例如：某同学的身份证号码是，那么这位同学是男生．临近中考，为了核对大家的报考信息，需收集学生的身份证．某班有个男生，个女生，从收齐的身份证中随机抽取一张，第位数码是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分交于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法中错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. 点是的内心 D. 点到三点的距离相等 9. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　） A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2 10. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 已知、是方程的两个根，则的值为______． 13. 在一次“科技创新”比赛中，抽得10名选手的成绩得到如图的折线图，则这10名选手的成绩的中位数是___． 14. 如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 __cm． 15. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏________． 16. 如图，是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果，，当绕点O顺时针旋转时，则雨刷器扫过的面积为_____（结果保留）． 17. 定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是 _____． 18. 如图，点A的坐标是，点C是以为直径的B上一动点，点A关于点C的对称点为P当点C在上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，则a的值等于_____________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中x满足． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 某学校计划在八年级开设“折扇” “刺绣” “剪纸” “陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为______名； （2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占______；选择“刺绣”课程的圆心角是______度； （3）若该校八年级一共有 800 名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？ 22. 辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 2024年4月23日我们迎来第29个世界读书日，“世界读书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”时，订购甲、乙两种具有纪念意义的书籍进行销售．若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元． （1）求甲、乙两种图书的进价分别为多少元？ （2）该批发商准备在进价的基础上将甲、乙两种图书提高10％售出，若该批发商购进甲乙两种图书共计800本，并且甲种图书不超过乙种图书的，当甲、乙两种图书全部售完后，求该批发商所获最大利润为多少元？ 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、点． （1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图所示，请直接写出不等式的解集； （3）在x轴上存在一点P，使的周长最小，直接写出点P的坐标． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 探究与证明 已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点． 【图形认知】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于点，求证：； 【探究证明】 （2）如图2，若四边形是矩形，且，求证：； 【拓展运用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，求三角形的面积． 26. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $