精品解析：2024年江苏省苏州市中考数学模拟押题预测试题

2024年中考模拟押题预测 数 学 试 题 注意事项: 1．本试卷总分120分,考试时间130分钟． 2．答题前,考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3．答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效． 4．考试结束,监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和求一个数的绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，而的绝对值是，则的相反数的绝对值是， 故选：B． 2. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法：，，n是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n的值，据此解答． 【详解】， 故选：B． 3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可． 【详解】3出现次数最多， 众数是3； 把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6， 4位于第四位， 中位数为4； 故选：A． 【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，故不能计算，不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先正确求得解集，后准确在数轴表示即可． 【详解】∵， ∴x≥2， 数轴表示 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解集的数轴表示，熟练掌握不等式的解法和数轴表示法是解题的关键． 6. 直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据平行线的性质得到，再由邻补角互补即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ， ∵， ∴， 由题意得，直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选D． 7. 某学校在组织学生参加春季踏青活动中，把八年级五班学生分成甲、乙两个小组，同时开始攀登一座高的山，甲组的攀登速度是乙组的倍，甲组到达顶峰所用时间比乙组少，如果设乙组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】设乙组的攀登速度为，则甲组的攀登速度为，根据时间路程速度，结合甲组到达顶峰所用时间比乙组少，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设乙组的攀登速度为，则甲组的攀登速度为， 依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8. 如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算．把M点的运动过程分为段（）和段（）两个过程，然后根据题意可知在段，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；同理当在BE段时，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图象进行判断即可 【详解】解：如下图所示，当M点的运动过程在段 则由题意可知 ∵四边形是矩形，直线，H、E、F、G为的中点 ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵直线 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当M点的运动过程在段 同理当在段时 即 同理可以得到 ∴ ∴ ∴ 综上所述当M点的运动过程在段时，二次函数开口向下；当M点的运动过程在段时，二次函数开口向上； 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，则代数式的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，设=k，则x=3k、y=2k，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 设=k，则x=3k、y=2k， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，灵活对代数式进行变形成为解答本题的关键． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 11. 若关于，的方程组的解满足，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由①+②可得，即可求解． 【详解】解：， 由①+②得： ， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 12. 在中，若，，则BC边上的高__________． 【答案】3.5 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键． 13. 地铁四号线有，两个入口，，，三个出口，则青青从入口进，出口出的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是树状图法求概率．画树状图，所有等可能的结果有6种，其中青青从A入口进，F出口出的有1种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树形图可知，所有等可能的结果有6种，其中青青从A入口进，F出口出的有1种结果， ∴青青从A入口进，F出口出的概率为， 故答案为：． 14. 如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，不规则图形的面积，根据正方形的性质求出，利用阴影部分的面积等于计算即可． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，点D是边AB上一点，且，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果的面积是的面积的3倍，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作，垂足为点G，联结点F和中点H；根据和的面积关系可得点F为CD中点，从而求出FH的长度，在根据勾股定理求出GH的长度，即可进行求解． 【详解】解：过点F作，垂足为点G，联结点F和中点H； 令等边的边长为x， ∵，， ∴的高为：， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ∴， ∴， ∴，则点F为CD中点， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各个知识点，根据题意构建直角三角形进行求解是解题的关键． 16. 如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据切线的性质得到，根据勾股定理用表示出，根据三角形的面积公式求出，得到答案． 【详解】解：过点作于点， 是的切线， ， ， 是的半径，大小不变， 当最小时，的面积最小， 在中，， 则当最小时，最小， 对于直线，当时，，当时，， 则，， 由勾股定理得：， ， 则， 解得：， 当点与点重合时，最小，的最小值为， 则的最小值为：， 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】分别根据绝对值的性质、负整数指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可. 【详解】解： . 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟知绝对值的性质、负整数指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母，得， 解此方程，得， 经检验，是原分式方程的根． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验． 19. 先化简： ，再从，0，，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式因式分解，再将除法转化为乘法，然后化简，再舍去使分母为0的数，然后代入求值即可． 【详解】 ， ∵，，， ∴将代入得： 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，解题时注意0，，2均不能代入进行求值． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 21. 为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱． （1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　； （2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 【答案】（1）；（2）图表见解析， 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【详解】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有3种结果， 所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 22. 为落实”双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：“A组：”“B组：”“C组：”“D组：”“E组：”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ___________，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 ___________度； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）40，见解析 （2）72 （3）1520人 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 解：这次调查的样本容量是：， D组的人数为：， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100． 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，B组的圆心角是：． 故答案为：72． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1520人． 【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 23. 如图，中，，，绕点顺时针旋转与重合，点在轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点 （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）把沿直线翻折到，与反比例函数交于点，求的面积． 【答案】（1）直线解析式为，反比例函数解析式为 （2）9 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出，进而利用旋转的性质得到，则，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式得到的一元二次方程只有一个实数根，据此求解即可； （2）先由折叠的性质证明四边形是菱形，得到，求出，得到，则． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， 又∵点在轴上， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立得，即， ∵反比例函数与直线仅有一个公共点， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质与判定，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 24. 预防青少年近视，从一点一滴做起，为提高同学们保护视力的意识，某学校开展了一系列爱眼护眼宣传活动．某数学小组从网课期间利用笔记本电脑学习的同学处得到启发，准备探究笔记本电脑屏幕与键盘的夹角以及屏幕上方边界离桌面的距离与视力的关系． 如图，当屏幕与键盘所成夹角时，上方边界处离桌面的高度的长为，通过发放调查问卷统计的数据显示，多数同学表示此角度不理想．通过不断调整与问卷调查分析，发现多数同学认为当夹角时，感觉比较适宜．求此时上方边界处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】约 【解析】 【分析】先根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理求出的长度，再解直角三角形即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 在中，， 由勾股定理得：， 解得． 由题意得：， ， ， 在中，， 此时上方边界处离桌面的高度的长约． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及勾股定理，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 证明：如图1，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，过作，垂足． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 26. 已知抛物线与轴交于和两点（点在点右侧），且，与轴交于点，过点的直线：与抛物线交于另一点，与线段交于点．过点的直线：与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）设，是否存在实数，使有最小值？如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出的坐标，得到，然后求出直线，联立解方程组求出点的坐标； （3）过E，F两点作轴，轴于点，则，把代入得，求出点E、F的横坐标，利用求出最小值即可解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点在点右侧， ∴， ∴抛物线的解析式是， 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 把代入得：， 解得， ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， 在中， ，，， ∴， ∴， ∴， 即， 把和代入解析式，得： ，解得：， ， 解方程组得(舍）, ∴； 【小问3详解】 如图，过E，F两点作轴，轴于点，则， 解：把代入得， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ， 联立与解得，即 联立和解得（舍）或，即， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即m有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查待定系数法，求交点坐标，函数的最值问题，平行线分线段成比例，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 27. 已知，在矩形ABCD中，，． （1）以点B为坐标原点，将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，点C、A分别在x轴、y轴上（如图1），沿对角线BD折叠该矩形，点A落在点E处，DE交x轴于点F，求过点F并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式； （2）以对角线BD为边长作正方形DBQP，并将该正方形绕点D旋转，记作正方形（如图2），交边BC于点M，、分别交DC、BC的延长线于点H、N． ①求证：； ②正方形DBQP在旋转过程中，当点B对应的点恰好落在线段上时，求线段的长．（） 【答案】（1）过点F并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式为y＝－x＋ （2）①证明见解析；② QP1＝ 【解析】 【分析】（1）作对角线BD中点O，则直线OF即为将矩形面积平分的直线，求出O（4，3），设BF＝x，则DF＝x，CF＝8−x，由勾股定理得出（8－x）2＋62＝x2，解得x＝，求出F（，0），可由待定系数法求出答案； （2）①过P1作P1EMN交B1D于E，交DC于F，证明△B1DH≌△DP1E（ASA），由全等三角形的性质得出P1E＝DH，则可得出结论； ②过点D作DK⊥QP1于点K，连接DQ，由勾股定理求出P1K和QK即可求出答案． 【小问1详解】 解：作对角线BD的中点O，则直线OF即为将矩形面积平分的直线，如图， 矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴D（8，6）， ∴O（4，3）， ∵沿对角线BD折叠该矩形，点A落在点E处， ∴∠ADB＝∠EDB， ∵ADBC， ∴∠ADB＝∠DBF， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴DF＝BF， 设BF＝x，则DF＝x，CF＝8－x， 在Rt△DCF中，CF2＋DC2＝DF2， ∴（8－x）2＋62＝x2， 解得x＝， ∴F（，0）， 设直线OF解析式为y＝kx＋b， 则，解得， ∴直线OF解析式为y＝－x＋， ∴过点F并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式为y＝－x＋； 【小问2详解】 ①过P1作P1EMN交B1D于E，交DC于F，如图， ∵四边形DB1Q1P1是正方形， ∴DB1＝DP1，DB1P1Q1，∠B1＝∠P1DE， ∴四边形EMNP1是平行四边形， ∴MN＝P1E， ∵DC⊥MN，P1EMN， ∴DC⊥P1E， ∴∠DP1E＝90°－∠FDP1＝∠B1DH， 在△B1DH和△DP1E中，， ∴△B1DH≌△DP1E（ASA）， ∴P1E＝DH， ∴MN＝DH； ②过D作DK⊥QP1于K，连接DQ， ∵AB＝CD＝6，BC＝8， ∴BD＝， ∴DP1＝BD＝10， ∴B1P1＝DQ＝10， ∴DK＝P1K＝B1P1＝5， ∴QK＝， ∴QP1＝QK＋KP1＝． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，待定系数法，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，解决此题目关键是要掌握旋转的性质，正确画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考模拟押题预测 数 学 试 题 注意事项: 1．本试卷总分120分,考试时间130分钟． 2．答题前,考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3．答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效． 4．考试结束,监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校在组织学生参加春季踏青活动中，把八年级五班学生分成甲、乙两个小组，同时开始攀登一座高的山，甲组的攀登速度是乙组的倍，甲组到达顶峰所用时间比乙组少，如果设乙组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，则代数式的值是_____________． 10. 因式分解：________． 11. 若关于，的方程组的解满足，则的值为______． 12. 在中，若，，则BC边上的高__________． 13. 地铁四号线有，两个入口，，，三个出口，则青青从入口进，出口出的概率是__________． 14. 如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 __________ ． 15. 如图，在等边中，点D是边AB上一点，且，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果面积是的面积的3倍，那么的值为___________． 16. 如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共11小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：. 18. 解分式方程：． 19. 先化简： ，再从，0，，2中选一个合适的数代入求值． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 21. 为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱． （1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　； （2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 22. 为落实”双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：“A组：”“B组：”“C组：”“D组：”“E组：”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ___________，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 ___________度； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 23. 如图，中，，，绕点顺时针旋转与重合，点轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点 （1）求直线和反比例函数解析式； （2）把沿直线翻折到，与反比例函数交于点，求的面积． 24. 预防青少年近视，从一点一滴做起，为提高同学们保护视力的意识，某学校开展了一系列爱眼护眼宣传活动．某数学小组从网课期间利用笔记本电脑学习的同学处得到启发，准备探究笔记本电脑屏幕与键盘的夹角以及屏幕上方边界离桌面的距离与视力的关系． 如图，当屏幕与键盘所成夹角时，上方边界处离桌面高度的长为，通过发放调查问卷统计的数据显示，多数同学表示此角度不理想．通过不断调整与问卷调查分析，发现多数同学认为当夹角时，感觉比较适宜．求此时上方边界处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，，） 25. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 26. 已知抛物线与轴交于和两点（点在点右侧），且，与轴交于点，过点的直线：与抛物线交于另一点，与线段交于点．过点的直线：与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）设，是否存在实数，使有最小值？如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由． 27. 已知，在矩形ABCD中，，． （1）以点B为坐标原点，将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，点C、A分别在x轴、y轴上（如图1），沿对角线BD折叠该矩形，点A落在点E处，DE交x轴于点F，求过点F并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式； （2）以对角线BD为边长作正方形DBQP，并将该正方形绕点D旋转，记作正方形（如图2），交边BC于点M，、分别交DC、BC的延长线于点H、N． ①求证：； ②正方形DBQP在旋转过程中，当点B对应的点恰好落在线段上时，求线段的长．（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$