湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期综合能力检测（入学分班考试）数学试卷

长郡中骨2024级高一综合能力检侧试卷 数 学 时量，90分仲 渊分，100分 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题給出的四个选项中，只有一个选项是符 愿目要求的. 1.《孙子算经中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆.”说明了大数之间的关系：1亿=1万 1万，1兆=1万×1万×1亿.若1兆=10"，则m的值为 A4 B.8 C.12 D.16 2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发！ 的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒科 夏至、小县、大暑)，秋季（立秋、处暑、白露、秋分、赛露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒 大寒)，若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为 不 A分 B立 c喑 n 3.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作 弧交数轴的正半轴于M,则点M所表示的数为 32- 01 A2 B/o-1 C.5 D.5-1 4若关于x的不等式组 -3 恰好只有四个整数解，则a的取值范固是 2x+2<3(x十a) AK-月 B-<a<-} C-2Ka≤-3 n-2Ka<-月 5.在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,点P在△ABC内，分别以A,B,P为圆心画圆，圆A的迷径 为1，國B的半径为2，圆P的半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是 A内含 B相交 C外切 D.相离 数学战超（长年成）第】页（关6页） 6.对于正整数定义-种运韩/-[]-[]，例：3)=[件]-[]，[表示不超过z 的最大整数，例：[3.9]=3，[-1.8]=一2.则下列结论错误的是 A.f(1)=0 B.f(k)=0或1 C.f(k+4)=f(k) D.fk+1)≥f(k) 7.如图，点A为反比例函数y=一(x<0)图象上的一点，连接AO,过点Q作OA的垂线与反比例 函数y一兰（x>0)的图象交于点B,侧哈8的值 A克 i c D号 8.若二次函数的解析式为y=(x一2m)(x一2)(1≤m≤5)，且函数图象过点(p,g)和点(p十4，g),则 q的取值范围是 A.-12≤9g≤4 B.-5≤q≤0 C.-5≤g≤4 D.-12≤≤3 答题卡 题号 12 3 4 5 8 答案 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 9.分解因式：a一4a3+4a2-9= 10.直线h:y=x一1与x轴交于点A,将直线4绕点A逆时针旋转15°，得到直线2，则直线2对应 的函数表达式是 11.若分式方程2红二9-4=一2十的解为整数，则整数a= x一1 x+1 12.如图，已知两条平行线4，k,点A是l上的定点，AB⊥2于点B,点C,D分别是1,4上的动 点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时， sin∠BAH的值为 餐举试题（长那板）第2页（失6） 三、解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3.(10分)某学校举办的青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段。 (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分 进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息， a.教师评委打分： 86889091 91· 9191 9292 98 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x<85,第2组85≤x< 88,第3组88≤x<91,第4组91≤x<94,第5组94≤x<97,第6组97≤x≤100)： 数 14 12 豆8站路994功100打分 平均数 中位数 众数 敏评委 91 91 m 学生评委 90.8 93 c,评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为 ,n的值位于学生评委打分数据分组的第 组影 ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 91(填>=”或“<")： (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的 平均数和方差平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前， 5名专业评委给进人决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评要2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 91 92 92 92 92 0 9 90 4 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 表中k(k为整数)的值为 数学议题（长环版）第3页（类6页） 14.(14分)根据以下素材，探索完成任务一如何设计描椅的椅背和型垫长度？ 素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC为椅背，EC》 坐垫，C,D为焊接点，且CD与AB平行，支架AC,BD所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆( O.设计方案中，要求A,B两点离地面高度均为5厘米，A,B两点之间距离为70厘米； 素材二：经研究，∠OCF=53°时，舒适感最佳，现用来制作椅背FC和坐垫EC的材料总长度y 160厘米，设计时有以下要求： (1)椅背长度小于坐垫长度； (川)为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点在竖直方向上 少高出12厘米 (sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3) 图1 2 任务： (1)根据素材求底座半径OA; (2)计算图3中点B距离地面的高度； (3)①求椅背FC的长度范围：（结果精确到0.1m) ②设计一种符合要求的方案， 数学试题（长环版）第4页（共6页） 15.(14分)定义：在平面直角坐标系中，直线x=m与某函数图象交点记为点P,作该函数图象中点 P及点P右侧部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同 构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x=m的“迭代函数”.例如：图1是函 数y=x十1的图象，则它关于直线x=0的“迭代函教”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代 x+1(x≥0)， 函数”的解析式为y= -x+1(x<0) 图1 图2 (1)函数y=x十1关于直线x=1的“迭代函数”的解析式为 (2)若函数y=一x2十4x十3关于直线x于m的“选代函数”图象经过（一1,0），则m= (3)已知正方形ABCD的顶点分别为：A(a,a),B(a,一a),C(-a,-a),D(-a,a),其中a>0. ①若函数y=S关于直线x=一2的“迭代函数”的图象与正方形ABCD的边有3个公共点， 求a的值； ②若a=6,函数y=关于直线x=n的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有t个公共点， 求n的取值范围. 数单议题（长环旋）第5页（供6页） 16.(14分)已知抛物线y=一2+bx十c与x轴交于点A(一1,0)，B(3,0), 图1 图2 (1)如图1，抛物线与y轴交于点C,点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA,PB分别 交抛物线于点E,D,设△PAD面积为51，△PBE面积为5，求受的值， (2)如图2，点K是抛物线的对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交 于点M,N,过地物线顶点G作直线L∥x轴，点Q是直线l上一动点.求QM十QN的最 小值 数牛位题（条群能）第6（头6百）