第二章二次方程与二次不等式 讲义-2024-2025学年数学初升高衔接

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 {情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根（1）(2) (3) } 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 ． ① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根 ， ． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． 说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ，， 则有 ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值． 解法一：∵2是方程的一个根， ∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7． 所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－． 所以，方程的另一个根为－，k的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－． 由 （－）＋2＝－，得 k＝－7． 所以，方程的另一个根为－，k的值为－7． 例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零． 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21， 即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17． 当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可． （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解． 解法一：设这两个数分别是x，y， 则 x＋y＝4， ① xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x， 代入②，得 x(4－x)＝－12， 即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6． ∴ 或 因此，这两个数是－2和6． 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求的值； （3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴，． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ ＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则 ，， ∴| x1－x2|＝ ． 于是有下面的结论： 若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4， 由②得 a＜．∴a的取值范围是a＜4． 练 习 1．选择题： （1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根 （2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m＜ （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 2．填空: （1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ ． （2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． 3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值． 习题2.1 A 组 1．选择题: （1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法： ①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7； ③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为； ④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 （3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 2．填空: （1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． （2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ． （3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ． 3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数． B 组 1．选择题: 若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ） （A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空: （1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ． （2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ． 3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和； （2）x13＋x23． 5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值． C 组 1．选择题： （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D） （3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ） （A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 （4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是 （ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空： 若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根． （1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使－2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k＝－2，，试求的值． 4．已知关于x的方程． （1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围． 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图 （1） (2) (3) 问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． ( y ＝ x 2 y ＝2 x 2 图2.2-1 x O y )再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ ( 图2.2-2 x y O －1 y ＝2 x 2 y ＝2( x ＋1) 2 y ＝2( x ＋1) 2 ＋1 )同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－ ， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质： （1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝． （2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝． ( x y O x ＝－ A 图2.2-3 x y O x ＝－ A 图2.2-4 ) 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x＝－1； 顶点坐标为(－1，4)； 当x＝－1时，函数y取最大值y＝4； 当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小； ( x O y x ＝－1 A (－1,4) D (0,1) B C 图2.2－5 )采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）． 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确． 函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领： （1） 确定开口方向：由二次项系数a决定 （2） 确定对称轴：对称轴方程为 （3） 确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0则与x轴有无交点。 （4） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c） （5） 由以上各要素出草图。 练习：作出以下二次函数的草图 （1） (2) (3) 例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值． 解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B） 将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有 解得 k＝－1，b＝200． ∴ y＝－x＋200． 设每天的利润为z（元），则 z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600． 答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元． 例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值． 解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以， 解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像． 由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14． 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律． 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论． 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2； （2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2； （3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0； （4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0． ( x y O －2 a ① x y O －2 a a 2 4 图2.2－6 x y O a －2 2 4 a 2 ② －2 x y O a a 2 4 ③ ) 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练习 1．选择题： （1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x （2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题 （1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ． （2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象． （1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2． 4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值： （1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3． 2.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数． 当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2＋bx＋c＝0． ① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系： （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立． （3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立． 于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝， 即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a() = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a． 解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y＝x＋1上， 所以，2＝x＋1，∴x＝1． ∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7． 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题． 例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式． 解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)， 展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2， ∴|－4a|＝2，即a＝． 所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)， ∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2． ∴a＝－，或a＝． 所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8． 所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ 练 习 1．选择题: （1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 （2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空： （1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a (a≠0) ． （2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式． （1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)； （3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)． 2.2.3 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换 问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)． （1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2． （2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2＋2． 2．对称变换 问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． ( x y O x ＝－1 A (1,－1) A 1 (－3,－1) 图2.2－7 ) 例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线x＝－1； （2）直线y＝1． 解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状． 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17． ( x y O y ＝1 A (1,－1) B (1，3) 图2.2－8 ) （2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状． 由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1． 练 习 1．选择题： 把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ） （A）y＝ (x＋1)2＋1 （B）y＝－(x＋1)2＋1 （C）y＝－(x－3)2＋4 （D）y＝－(x－3)2＋1 2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件： (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元， (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多? 2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法 　一、知识概述 1、二元二次方程 　　含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程． 　　关于x、y的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一个不为0)，其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项的系数；dx、ey叫做一次项，d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项． 　　例，xy=1，x2－y=0，x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0都不是二元二次方程． 2、二元二次方程组 　　由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组． 3、解二元二次方程组的思想和方法 　　解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键． 二、重点、难点和疑点突破 1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”型方程组) (1)代入消元法(即代入法) 　　代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 　　①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； 　　②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程； 　　③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值； 　　④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值； 　　⑤写出方程组的解． (2)逆用根与系数关系定理法 　　对“二·一”型二元二次方程组成的形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x，y的值，当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”． 2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别 　　“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 3、“二·二”型方程组的解法 　　解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是： 　　(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解． 　　(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解． 4、“二·二”型方程组的解的情况 　　 由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组． 　值得注意的是“二·一”型方程组最多有两个解；“二·二”型方程组最多有四个解．解方程组时，既不要漏解，也不要增解． 三、解题方法技巧点拨 1、“二·一”型二元二次方程组的解 例1、解方程组 分析： 　　此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法；如果把①变形为(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2，则原方程组可变形为两个二元一次方程组．解这两个二元一次方程组所得的解都是原方程组的解，这是第二种解法． 解法1： 　　由②得x=2y＋5 　　　　　　　　③ 　　将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4． 　　整理，得3y2＋10y＋7=0． 　　 　　点评：解“二·一”型二元二次方程组，一般常采用前一种解法，即先代入消元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的第二种解法是一种特殊解法，它只适合一些特殊形式的方程组． 分解： 　　仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系通过构造一个以x，y为根的一元二次方程来求解． 解法1： 　　由①得y=8－x．③ 　　把③代入②，整理得x2－8x＋12=0． 　　解得x1=2，x2=6． 　　把x1=2代入③，得y1=6． 把x1=6代入③，得y2 =2． 　　 解法2： 　　根据韦达定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个方程，得 z1=2，z2=6． 　　 　　点悟：“代入法”是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般方法，适用范围广；“逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适用于以两数和与两根积的形式给出的方程组，适用范围比较小． 2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法 例3、解方程组 分析： 　　观察方程②，把(x－y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于 (x－y)的一元二次方程，且可分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0． 　　这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组： 　　 　　分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解． 解： 　　由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0． 　　∴x－y－3=0或x－y＋1=0． 　　∴原方程组可化为两个方程组： 　　 3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法 例4、解方程组 分析：　　方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的，方程②左边是完全平方式，右边是1，将其两边开平方，也可以达到降次的目的． 解：　　由①得(x－4y)(x＋y)=0 　　∴x－4y=0或x＋y=0 　　由②得(x＋2y)2=1 　　∴x＋2y=1或x＋2y=－1． 　　原方程可化为以下四个方程组 　　 　　点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象． 4、已知解的情况，确定字母系数 例5、k为何值时，方程组 　　(1)有一个实数解，并求出此解； 　　(2)有两个实数解； 　　(3)没有实数解． 分析： 　　所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论． 解： 　　将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0　　③ 　　△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)． 　　点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0来讨论的． 　　解题易错点是一元二次方程中x2的系数k2不等于0容易被忽略． 练习 解方程组 （1）； （2） 2.3.2一元二次不等式的解法 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2、一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 例1 解不等式： （1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0． 例2 解关于x的不等式 解：原不等式可以化为： 若即则或 若即则 若即则或 例3 已知不等式的解是求不等式的解． 解：由不等式的解为，可知 ，且方程的两根分别为2和3， ∴， 即 ． 由于，所以不等式可变为 ， 即 － 整理，得 所以，不等式的解是 x＜－1，或x＞． 说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习 1．解下列不等式： （1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12≤0； （3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2≤0． 2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）． 作业： 1.若0<a<1,则不等式(x－a)(x－)<0的解是 ( ) A.a<x< B. <x<a C.x>或x<a D.x<或x>a 2.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______. 3．解下列不等式： （1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜0； （3）2x－x2≥－1； （4）4－x2≤0． (5)4+3x－2x2≥0; (6)9x2－12x>－4; 4．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）． 5．关于x的不等式的解为 求关于x的不等式的解． 22 学科网（北京）股份有限公司 $$