第１章　勾股定理　综合练习　2024—2025学年北师大版数学八年级上册

《勾股定理》 章末综合练习 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各数中，与3，4能构成勾股数的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 3．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（　　） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 4．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 6．如图一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A．13cm B．10cm C．14cm D．无法确定 7．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为（　　）m2． A．92m2 B．93m2 C．96m2 D．90m2 8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 9．有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80cm，高AB＝60cm，宽DF＝40cm．在顶点E处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（　　）cm． A． B． C． D． 10．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个推断：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中所有正确推断的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝　 　． 12．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　 　cm． 13．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 　 　米． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 　 　． 15．连接正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形AnBn∁nDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为　 　，若设中点正方形AnBn∁nDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S10＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝6，BO＝8，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．求OC的长． 17．如图，在电线杆AB上的点C处，向地面拉有一条10m长的钢缆CD，地面固定点D到电线杆底部的距离BD＝6m，AB⊥BD于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为2.5m，求电线杆的高度AB． 18．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 19．“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度AD，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BC的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米； ③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米． （1）求风筝的垂直高度AD； （2）如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 20．如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝5km，BC＝12km，AB＝13km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为3km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？ 21．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OC上，AO为2.4米，BO为0.7米． （1）求梯子AB的长； （2）当梯子的顶端A下滑0.9米时，求梯子的底端B到点O的距离． 22．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？ 23．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2， ①求证：∠A＝90°． ②若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 24．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米． （1）求城镇A，B之间的距离； （2）现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 25．已知下列4个等式： 第1个等式：32＝2×2+5＝4+5； 第2个等式：52＝2×6+13＝12+13； 第3个等式：72＝2×12+25＝24+25； 第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； （1）观察上述等式，请写出第5个等式； （2）写出第n个等式，并证明； （3）我们还发现：第1个等式中32可以写成32＝52﹣42，第2个等式中52可以写成52＝132﹣122，…，以此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．AACBB． 6-10．BCADB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2． 12．2cm． 13．10． 14．5或8或． 15．；． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵AO⊥OB，线段AO＝6，BO＝8， ∴在 Rt△AOB 中，， 由题意可知：AC＝AB＝10， ∴OC＝AC﹣AO＝4． 17．解：在Rt△BCD中，由勾股定理得， BC8（m）， ∴AB＝BC+AC＝8+2.5＝10.5（m）， ∴电线杆的高度AB为10.5m． 18．解：如图所示，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC2，∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，DA＝1， ∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． 故∠DAB的度数为135°． 19．解：（2）由题意可得， BC＝15米，AB＝17米，BC⊥AD，CD＝1.7， ∴AC8（米）， ∴AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7（米）， 即风筝的垂直高度AD的长为9.7米； （2）∵小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变， ∴上升后的CA＝8+12＝20（米），BC＝15米， ∴上升后的BA25（米）， ∵25﹣17＝8（米）， ∴他应该把线再放出8米． 20．解：如图，过B作 BD⊥公路于D， ∵52+122＝132 ∴AC2+BC2＝AB2， ∵△ABC 是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴∠1＝30°， ∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 在 Rt△BCD 中，∵∠BCD＝60° ∴∠CBD＝30°， ∴CDBC12＝6（km）， ∵6÷3＝2（h）， ∴2小时后这人距离B送奶站最近． 21．解：（1）BO＝0.7米，AO＝2.4米，AO⊥BO， 根据勾股定理可得：AB2.5（米）． ∴梯子的长为2.5米； （2）如图，由题意可知：AE＝0.9米． ∵AO＝2.4米， ∴EO＝1.5米 ∵ED＝2.5米，EO＝1.5米，AO⊥BO， 根据勾股定理可得：OD2（米）． ∵OB＝0.7米， ∴BD＝OD﹣OB＝1.3（米）． ∴梯子底端向外移1.3米． 22．解：（1）农场A会受到台风的影响，理由如下： 过A作AH⊥BC于H， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴BC500（km）， ∵△ABC的面积BC•AHAB•AC， ∴500AH＝300×400， ∴AH＝240（km）， ∵AH＜250km， ∴农场A会受到台风的影响； （2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM， ∴AM＝AN＝250km， ∵AM＝AN，AH⊥BC， ∴MH＝NH， 由勾股定理得：MH＝NH70（km）， ∴MN＝2×70＝140（km）， ∵台风中心的移动速度为20km/h， ∴台风影响该农场持续时间是140÷20＝7（小时）． 23．（1）证明： 连接CE，如图， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴CE2﹣EA2＝AC2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°； （2）解： ∵DE＝3，BD＝4， ∴BE5＝CE， ∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2， ∵BC＝2BD＝8， ∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2， ∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得AE． 24．解：（1）过点A作AE⊥BN于点E，如图1， ∴∠AEN＝90°． ∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMN＝90°，∠MNE＝90°， ∴四边形AMNE为矩形， ∴AE＝MN＝12千米，NE＝AM＝5千米， ∴BE＝BN﹣NE＝10﹣5＝5（千米）， ∴在Rt△AEB中，（千米）， 答：城镇A，B之间的距离为13千米； （2）如图2，连接PA，PB， 设PM＝x千米，则PN＝（12﹣x）千米， ∵PA＝PB， ∴AM2+PM2＝PA2＝PB2＝PN2+BN2， ∴52+x2＝（12﹣x）2+102， 解得， ∴中转站P应修建在离点M处千米处． 25．解：（1）第1个等式：32＝2×2+5＝4+5； 第2个等式：52＝2×6+13＝12+13； 第3个等式：72＝2×12+25＝24+25； 第4个等式：92＝2×20+41＝40+41； ∴第5个等式：112＝2×30+61＝60+61； （2）第n个等式为（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1． 证明：∵（2n+1）2＝4n2+4n+1，2×n×（n+1）+2n2+2n+1＝4n2+4n+1， ∴（2n+1）2＝2×n×（n+1）+2n2+2n+1； （3）∵第一组：3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1． 第二组：5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1． 第三组：7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1． 第四组：9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1． …… 则第n组第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴当2n+1＝85， ∴n＝42， ∴第二个数为：2×n×（n+1）＝3612，第三个数为2n2+2n+1＝3613， 当2n（n+1）＝85时， 解得n不是正整数， 当2n2+2n+1＝85时， 解得n＝6（负值舍去）， ∴第一个数为：13，第二个数为：84， ∴这组勾股数为85，3612，3613或13，84，85。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$