5.3 一元一次方程的应用第2课时 古代数学问题 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 5.3.2 古代数学问题 北师大版·七年级上册 学习目标 1. 能根据古代数学问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想. 2.借助古代数学问题，体会利用表格分析数量关系是一种有效方法. 3.经历运用方程解决古代数学问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识. 素养目标 寻找古代数学问题中的等量关系，建立方程. 学习难点 抓住古代数学问题中的不变量，确定等量关系. 学习重点 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？ 创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决古代数学问题 1.《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？ (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ 活动引入，合作探究 已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距； 未知量：人数与物价. 等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少出的钱数 (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ (2)设人数为x，其他未知量能用含x 的代数式表示并完成下表. (3)根据等量关系， 列出方程 设人数为x. 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________，物价为_________钱. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x-3 x 7x 7x+4 8x-3=7x+4 7 7 53 思考：如果设物价为 y 钱， 用含 y 的代数式表示其他未知量，并补充表格. 有关量 每人出8钱 每人出7钱 物价 y 出钱总数 人数 y+3 y y-4 根据等量关系， 列出方程 设物价为 y. 根据等量关系，列出方程：______________　 = 2.《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百， 盈三千四百；人出三百，盈一百.问：人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱. 合伙人数、金价各是多少？ (1)问题中的等量关系是怎样的？ 每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数. (2)设人数为x，补充下列表格 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数 x 出钱总数 金价 400x 400x-3400 x 300x 300x-100 设合伙数为x. ，则金价可表示为_________________ 根据等量关系，列出方程：______________　 解这个方程，得 x ＝________ 因此，人数为________人，金价为_________钱. (400x-3400)钱或(300x-100)钱 400x-3400=300x-100 33 33 9800 300×33-100=9800 设金价为y钱，则人数可表示为____________ 根据等量关系，列出方程：______________　 思考　 (1)设金价为y钱，能列出怎样的方程？ 有关量 每人出400钱 每人出300钱 金价 y 出钱总数 人数 y+3400 y y+100 (2)《九章算术》给出了一种算法： 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数. 此种求法与方程的求解过程相比有什么不同？ 第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数 第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数 ① ② ①和②两边分别相减得到 两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差 所以 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差. 两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数， 针对练习 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. 问：人、银各几何？ (选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两. 有多少个人？有多少两银子？(1斤=16两) 解：设一共x人，则银子可表示为(7x+4)两或(9x-8)两 根据题意列方程得 7x+4=9x-8 解得 x=6 7×6+4=46(两) 答：有6人，有46两银子. 【选自教材P150 随堂练习】 1.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？” 题目大意：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘. 共有多少人？ 多少辆车？ (1)问题中的等量关系是怎样的？ 一辆车乘的较多人数×(车数－剩余空车数)＝一辆车乘的较少人数×车数＋无车可乘的人数 知识延伸，巩固升华 (2)设车辆数为x，补充下列表格 有关量 每3人共乘1车 每2人共乘1车 车辆数 x 乘车的人数 总人数 3(x-2) 3(x-2) x 2x 2x+9 解：设共有x辆车 根据题意列方程得 3(x-2)=2x+9 解得 x=15 3×(15-2)=39(人) 答：共有39人，有15辆车. 针对训练 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公. 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？ 多少客人？ 解：设该店有客房x 间 则根据题意，得 7x+7＝9(x-1) 解得 x＝8 7×8+7=63 答：该店有客房8间，63名客人. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问：人与车各几何？ 译文为：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，共有多少人？ 多少辆车？设共有x 人，可列方程( ) *根据“盈不足”问题列方程 A. B.-9 C. D. A 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？ 多少匹小马？ 培优点　根据古代数学问题列方程 解：设有x匹大马，则有(100-x)匹小马 根据题意，得 3x+ (100-x)=100 解得 x=25 100-25=75 答：有25匹大马，75匹小马. 1.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣. 若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1 h，剩下4万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h，剩下1万件未分拣. 该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？ 解：设该物流中转站配置了x套分拣设备 根据题意，得 3.5x+4＝4x+1 解得 x＝6 答：该物流中转站配置了6套分拣设备 【选自教材P155 习题5.3 第6题】 随堂训练，课堂总结 2.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问：家数、牛价各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱. 家数、牛价各是多少？ 解：设一共有x家，则牛价为()钱或()钱 根据题意列方程得= 解得 x=126 =3750(钱) 答：一共有126家，牛价为3750钱. 【选自教材P155 习题5.3 第7题】 课堂小结 古代数学问题 数学问题 （一元一次方程） 表格分析 寻找等量关系 教材P155习题5.3第6、7题 课后作业 $$