5.1认识方程 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 5.1 认识方程 北师大版·七年级上册 学习目标 素养目标 1.通过对多种实际问题中数量关系的分析,感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强模型观念. 2.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，提高应用意识. 3.知道一元一次方程的概念,理解方程解的意义，初步经历解一元一次方程的过程. 学习重点： 能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义. 学习难点： 能针对具体问题列出方程. 我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔. 从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 鸡和兔各有几只? 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗? 解法一 鸡：(35×4-94) ÷2=23（只） 兔：35-23=12（只）. 解法二 兔：(94-35×2) ÷2=12（只） 鸡： 35-12=23 （只） 创设情境，导入新课 问题1： 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元. 你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少? (1)这个问题涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? (2)如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为____. (3)你能得到怎样的表示量相等的式子? 探究点1：根据问题列方程 合作交流，探究新知 问题1：在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学 生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元. 你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少? (1)这个问题涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 涉及的量：学生人数、老师人数、学生票款、成人票款. 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每 张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少? (2)如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为_____. (3)你能得到怎样的表示量相等的式子? （2）10x+15(45-x) （3）10x+15(45-x)=475 问题2 某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多25 m. (1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? (2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为_______. (3)你能得到怎样的表示量相等的式子? 问题2：某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多25 m. (1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 涉及的量: 长方形操场的长、宽、面积 问题2：某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多25 m. (2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为______. (3)你能得到怎样的表示量相等的式子? (2) x (x+25) (3) x (x+25)=5850 问题3：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地， 每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地. (1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? (2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为______. (3)你能得到怎样的表示量相等的式子? 问题3：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙 地， 每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地. (1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 涉及的量: 张叔叔原计划每小时走的路程、实际每小时走的路程、原计划所用时间、实际所用时间 问题3：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地， 每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地. (2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为______. (3)你能得到怎样的表示量相等的式子? 注意：（1）方程中包含两个要求：① 必须是等式；② 必须含有未知数.两者缺一不可. （2）方程一定是等式，但等式不一定是方程. （3）方程中的未知数可以用x 表示，也可以用其他字母表示. （4）方程中可含多个未知数. 等式10x+15(45-x)=475 ，x(x+25)=5850， 都是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程 1.下列式子不是方程的是( ) A．3x=4　　　　B.5x+4y=0　　　C.2x+5　　　D．2(x-4)=3 对应训练 C 不是等式 2.根据题意列出方程: （1）在公元前1600年左右遗留下来的一卷古埃及纸草书中，记载着一些数学问题. 其中一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，它的，其和等于19.”你能求出问题中的“它”吗? 解：设“它”为 x，得 【选自教材P137 随堂练习 第1题】 （2）某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 球队已比赛了10场，并保持不败，一共得了22分. 该球队已胜了多少场?平了多少场? 解:设该球队已胜了x场，则平了(10-x)场 3x+(10-x)=22 （3）我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔. 从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 鸡和兔各有几只? 解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只 2x+4(35-x)=94 或 设兔有x只，则鸡有(35-x)只 4x+2(35-x)=94 探究2：一元一次方程的概念与方程的解 Ⅰ．一元一次方程的概念 问题1 观察方程10x+15(45-x)=475，2x+3=7x+4，它们有什么共同特点? 在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. 未知数的个数 未知数的次数 等式左、右两边的式子 1 1 整式 Ⅱ．方程的解与解方程 问题2　你能求出满足方程 10x+15(45-x)=475 的未知数 x 的值吗? (1)将左边的式子化简，你能得到什么? 10x+15(45-x)= 675-5x (2)回顾前面代数式求值的有关知识，当x 为下面何值时，675-5x与475相等? x 20 30 40 50 … 675-5x … 当x=40时， 675-5x=475 （3）你还有无其他方法？ 根据有理数的运算，x =(675-475)÷5=40 575 525 475 425 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程称为解方程. 对应训练 1．下列式子中是一元一次方程的有_________.(填序号) ①2x2-5=4 ②-m+8=1 ③x=1 ④x+y=1 ⑤x+3>0 ⑥2x2-2(x2-x)=1 ⑦ ⑧πx=12 ②③⑥⑧ 2. x =2是下列方程的解吗？ （1） 3x+(10-x)=20 （2） 2x2+6=7x 解：（1）把 x = 2 代入原方程得， 左边 = 3×2 ＋（10－2）= 14 ， 右边 = 20， 左边 ≠ 右边， 所以 x = 2 不是方程 3x＋（10－ x）= 20 的解. （2）把 x = 2 代入原方程得， 左边 = 2×22 ＋6 = 14 ， 右边 = 7×2 = 14， 左边 = 右边， 所以 x = 2 是方程 2x2 ＋6 = 7x 的解. 【选自教材P137 随堂练习 第2题】 （1）若xk-1+21=0是关于x的一元一次方程，则k=________ (2)若x|k|+21=0是关于x的一元一次方程，则k=________ 因为原方程是一元一次方程，所以k-1=1，所以k=2. 因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1，所以k=1或-1. 2 1或-1 知识升华，巩固提升 (3)若关于x的方程(k-1)x|k|+21=0是一元一次方程，则k=___ 因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1，且k-1≠0，所以k=-1. -1 总结：已知方程是一元一次方程，求方程中除未知数外的字母的值，需注意两点： (1)未知数的次数为1；(2)未知数的系数不为0. 针对练习 (1)若3xn+4=5是关于x的一元一次方程，则n=_______ (2)若关于x的方程(a-2)x2+ax+1=0是一元一次方程，则a=_______ (3)若(m-3)x|m|-2=-5是关于x的一元一次方程，则m=_____ 2 1 -3 拓展训练 1.根据下列问题，设未知数并列出方程: (1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少? 根据实际问题列方程 解:设正方形的边长为x cm. 等量关系：正方形边长×4＝周长. 列方程 4x=24 随堂训练，课堂总结 (2)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，多少个月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h? 解:设x 个月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h 等量关系:已用时间＋再用时间＝检修时间. 列方程: 1700+150x=2450 根据方程的解求代数式的值 2.若x=3是关于x的方程ax-2b=5的解，求6a-4b+3的值 将x=3代入ax-2b=5， 得3a-2b=5 所以6a-4b+3=2(3a-2b)+3=2×5+3=13 方程的实际应用 3.植树节甲班植树的株数比乙班少30%，甲班植树的株树比乙班的一半多10株，设乙班植树x株 (1)列两个不同的含 x 的代数式表示甲班植树的株数. (2)根据题意列出以x为未知数的方程. (3)检验甲班、乙班植树的株数是不是分别为35株和50株. (1)(1-30%)x (2) (1-30%)x= (3)当x=50时，方程左右两边均等于35. 即甲班、乙班植树的株数分别为35株和50株. 1.根据题意列出方程: (1)一个数的与3的差等于最大的一位数，求这个数. (2)小颖栽种了一株高为40 cm的树苗，在栽种后的一段时间内，树苗每周 长高约5 cm. 按照这样的速度，大约几周后树苗长高到1 m ? 随堂训练 (1) 解:设这个数为x x-3=9 (2) 解:设大约x周后树苗长到1m 0.4+0.05x=1 【选自教材P138 习题5.1 第1题】 (3)沿一张正方形铁皮的边截去一个宽2cm的长方形铁皮条，余下的长 方形铁皮面积是80cm2，那么原来正方形铁皮的边长是多少? (4)某商店规定:购买超过15000元的物品可以采用分期付款的方式，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元，直至付清. 王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电器，他需要用多长时间才能付清尾款? (3)解:设原来正方形铁皮的边长为x cm x2-2x=80 (4)解:设他需要x月才能付清尾款 3000+1500x=19500 2.x=-2是下列方程的解吗？ (1)2x+3=5x (2)(x-1)2=9 解：(1)把x=-2代入原方程得 左边 =2×(-2)+3=-1， 右边 =5×(-2)=-10， 左边 ≠ 右边， 所以x=-2不是方程2x+3=5x的解. 解：(2)把x=-2代入原方程得 左边 =(-2-1)2=9， 右边 =9， 左边 =右边， 所以x=-2是方程(x-1)2=9的解. 【选自教材P138 习题5.1 第2题】 3.请用自己的年龄编写一道数学题，并列出方程. 例：今年我12岁，多少年后我40岁？ 解：设x年后我40岁 12+x=40 【选自教材P138 习题5.1 第3题】 4．为营造良好的社区环境，七(1)班同学对学校周边所有社区开展 “社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社区宣讲的方 式，每组进入一个社区. 若5名同学为一组，则剩余7名同学；若7名同学为一组，则缺少9名同学. (1)如果设学校周边有x个社区，如何用含x的代数式表示七(1)班的人数? (2)如果设七(1)班有y名同学，如何用含y的代数式表示社区的数量? (3)由(1)(2)，你能得到哪些方程? 解：（1）5x+7或7x-9 （2） （3）得到5x+7=7x-9和 两个方程 【选自教材P138 习题5.1 第4题】 课堂小结 实际问题 数量关系 列等式 方程 (一元一次方程)的概念 方程的解及解方程 $$