第15讲 认识方程 讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第15讲 认识方程 （新教材北师大版） 知识点一、等式和方程的概念 2 知识点二、一元一次方程的概念和解法 3 【题型1 判断各式是否是方程】 3 【题型2 列方程】 4 【题型3 判断是否是方程的解】 6 【题型4 已知方程的解，求参数】 8 【题型5 判断是否是一元一次方程】 10 【题型6 判断是否是一元一次方程的解】 11 【题型7 等式的性质1】 13 【题型8 等式的性质2】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 30 知识点一、等式和方程的概念 1．等式 用等号来表示相等关系的式子，叫做等式． 【例】，，，都是等式． 2．等式的分类： （1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式； （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式； （3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式． 【例】①，都是恒等式； ②是条件等式； ③，，都是矛盾等式． 3．等式的性质： （1）若，则． 等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式． （2）若，则；若且，则． 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式． （3）对称性：若，则． （4）传递性：若，，则． 4．方程：含有未知数的等式，叫做方程． 注意：①方程中必须含有未知数； ②方程是等式，但等式不一定是方程，例如是等式而不是方程． 【例】①、、都是方程； ②、、不是方程． 5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【例】是的解． 6．解方程：求方程的解的过程． 【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 知识点二、一元一次方程的概念和解法 1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． 2．一元一次方程的判断： Step1：不化简，看是否是整式方程； Step2：化简，看是否满足． 【例】，，，都是一元一次方程； 、、、都不是一元一次方程． 3．一元一次方程的两种形式： 最简形式：方程的形式叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程的形式叫一元一次方程的标准形式． 【例】，是一元一次方程的最简形式； ，是一元一次方程的标准形式． 【题型1 判断各式是否是方程】 【例1】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 【变式1-1】下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 【详解】解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 【变式1-2】下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①根据方程的定义，方程的解的定义，等式的性质，即可判断． 【详解】解：①含有未知数的等式才是方程，不含未知数的等式不是方程，故①不正确； ②当时，，故②正确； ③设，则，，则，故③不正确； ④根据等式的性质2，0不能作除数，此说法没有把0排除，故④不正确； 综上所述，只有1个正确． 【变式1-3】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 【题型2 列方程】 【例2】在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式2-1】药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 【变式2-2】一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的长为xcm，得到长方形的宽，结合题意列方程，即可得到答案． 【详解】∵长方形的长为xcm ∴长方形的宽为：cm 根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式2-3】下列条件中，能列出方程的是（    ） A．一个数的是5 B．某数与1的差的2倍 C．两数和的60% D．甲数的3倍与乙数的和 【答案】A 【分析】方程就是含有未知数的等式，它反映了一个相等关系．只有根据反映相等关系的条件才能列出方程．此题可以采用分析法，对各个选项进行分析从而得出正确选项． 【详解】A、设这个数为，由题意可得到：，是方程，故本选项正确； B、设某数为，由题意可得到：，是代数式，故本选项错误； C、设两数分别为和，由题意可得到：60%，是代数式，故本选项错误； D、设甲数为，乙数为，则依题意得：，是代数式，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程以及列代数式，熟练掌握方程的概念是解题的关键． 【题型3 判断是否是方程的解】 【例3】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 【变式3-1】整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 【变式3-2】下列说法错误的是（    ） A．单项式的系数是，次数是 B．若，则是方程的解 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了单项式，方程的解，等式的性质，根据单项式的有关概念、方程解的定义以及等式的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、单项式的系数是 ，次数是，该选项说法错误，符合题意； 、当时，方程左边右边，所以 是方程的解，该选项说法正确，不符合题意； 、若 ，则两边同时减得，该选项说法正确，不符合题意； 、若 ，则两边乘得，该选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式3-3】整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解． 方程的解即求使整式值为8的x，由表格数据直接对应可得． 【详解】解：由表格知，当时，， 则方程的解为． 故选：D． 【题型4 已知方程的解，求参数】 【例4】关于的方程，下列说法正确的是（      ） A．若，则方程的解为 B．方程的解为 C．当时，则 D．当时，方程的解为任意数 【答案】D 【分析】本题考查含字母系数的一元一次方程解的分类讨论，需分和两种情况讨论方程的解，再逐一判断选项正误． 【详解】若，分两种情况： ① 时，方程解为； ② 时，方程解为任意实数，并非． 因此该说法不恒成立，A选项错误． 成立的前提是；若，则无意义，方程无解或无数解，不能直接表示为． 因此该说法不严谨，B选项错误． 由，可得； 在时，即，与结论矛盾． 因此C选项错误． 当时，原方程变为，无论取任意实数，等式恒成立，方程的解为任意数． 因此D选项正确． 【变式4-1】阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 【变式4-2】解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 【变式4-3】已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解：， 整理得，即， 方程有无数多个解， ∴，， 解得，， ∴． 【题型5 判断是否是一元一次方程】 【例5】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 【变式5-1】若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且的系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 【变式5-3】下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A：含有、两个未知数，属于二元方程，不满足“一元”的要求，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 选项B：只含个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，是一元一次方程，该选项符合题意； 选项C：未知数的最高次数为，属于一元二次方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 选项D：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意． 故选：B． 【题型6 判断是否是一元一次方程的解】 【例6】已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 【变式6-1】已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 【变式6-2】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 【变式6-3】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 【题型7 等式的性质1】 【例7】根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 【变式7-1】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 【变式7-2】对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 【答案】C 【分析】先根据“相伴数对”的定义列出等式，化简得到，再化简所求代数式，整体代入求值即可． 【详解】∵是“相伴数对” ， ∴， 整理得， 去分母，得， 展开移项得． 化简所求代数式： 把代入得， 原式． 【变式7-3】已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴，∴，A是正确的，不符合题意； B、当且仅当时成立，当时，，该等式不成立，故该选项不一定成立，符合题意； C、∵，∴，∴，C是正确的，不符合题意； D、∵，∴，D是正确的，不符合题意． 【题型8 等式的性质2】 【例8】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘同一个整式（或除以同一个不为0的整式），等式仍然成立． 依据等式性质逐一分析选项，特别注意等式两边同除以一个数时，这个数不能为0． 【详解】解：A．当时，恒成立，但不一定等于，∴该变形错误． B．∵，∴，两边同时乘得，∴该变形正确． C．根据等式性质1，等式两边同时加，得，∴该变形正确． D．根据等式性质1，等式两边同时减，得，∴该变形正确． 故选A． 【变式8-1】下列由等式的性质进行的变形中，不一定成立的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，需根据等式的两个性质逐一分析各选项的变形是否一定成立． 【详解】解：A、若，两边同时减，得，变形一定成立，不符合题意； B、若，当时，和可以为任意不相等的数，此时不一定成立，符合题意； C、，，两边同时除以，得，变形一定成立，不符合题意； D、若，两边同时减再加1，得，变形一定成立，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】下列等式变形错误的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质，需依据等式的两个性质逐一分析各选项的变形是否合理． 【详解】解：∵等式的基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数或代数式，等式仍成立；等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数或代数式，或除以同一个不为的数或代数式，等式仍成立． 对于选项，当时，与无意义，因此该变形错误． 对于选项，，根据等式性质，两边同时乘，得，变形正确． 对于选项，，根据等式性质，两边同时乘得，再根据等式性质，两边加得，变形正确． 对于选项，，根据等式性质，两边同时减得，变形正确． ∴变形错误的是选项． 故选：． 【变式8-3】下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的两个性质逐一分析每个选项，找出错误的结论即可，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、由，两边同时减，得，该结论正确，不符合题意； 、由，两边同时除以（），得，该结论正确，不符合题意； 、由，先两边同时乘，得，再两边同时加，得，该结论正确，不符合题意； 、当时，恒成立，但不一定等于，该结论错误，符合题意； 故选：． 【探究式学习】 1．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 2．综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)． 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数． 【答案】（1）减去(或加上)； （2）填法如图； （3） 【分析】本题考查有理数的加减运算和等式的性质，关键是发现幻方的性质：每行、每列、每条对角线的和相等，且中心数为所有数的平均数(即每行和为中心数的3倍)． （1）观察原数“1，2，3，…，9”与新数“，，…，4”的关系：，因此每个数减去(或加上)可得到新数； （2）将原幻方每个数减5，即可得到新幻方； （3）设幻方中第三行第一个数为，通过对角线和第三行的和的关系，推导出与、的代数式． 【详解】（1）解：∵原数“1”变换后为“”，，同理其他数均满足“原数新数”， ∴每个数减去(或加上)； 故答案为：减去(或加上)； （2）解：原幻方(图2)中各数为8，3，4；1，5，9；6，7，2，将每个数减5，得到新数3，，；，0，4；1，2，，填入幻方后满足每行、每列、对角线和为0． （3）解：设幻方中第三行第一个数为， 则根据题意， 整理得． 【课后检测】 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； B、中有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、中未知数为分母，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意． 2．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】无需分别求出,的值，利用整体代入法计算.． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 3．已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】将方程的解代入原方程转化为关于参数m的方程计算即可． 【详解】解：把代入，得，解得． 4．关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：将代入，得 5．如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 【答案】D 【详解】 解：由第一个天平知2■=2， 由第二个天平知2●=4， ∴4■=2●，即2■=●． 6．在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【答案】B 【分析】根据题中所给的等量关系结合等式的性质先算出，再分别计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A：， 卡片B：， 卡片C：， 卡片D：， 卡片E：， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 7．下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：对于A选项，，等式两边同时加2， ，变形正确； 对于B选项，，分式有意义说明，等式两边同时乘， ，变形正确； 对于C选项，若，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，变形错误； 对于D选项，，，等式两边同时除以， ，变形正确； 因此不正确的变形是选项C． 8．下列运用等式的性质，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式性质逐一判断选项即可，需注意等式两边同除以一个非零数，等式才成立． 【详解】解：A、若，当时，不能推出，A变形错误； B、若，等式两边同乘得，再同减得，不能推出，B变形错误； C、若，分式有意义说明，等式两边同乘可得，C变形正确； D、若，当时等式也成立，不能推出，D变形错误． 9．如果，那么下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得，故此选项不符合题意； B、由，可得，故此选项不符合题意； C、由，可得，故此选项符合题意； D、由，得不到，故此选项不符合题意； 10．如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如果，那么，该选项不符合题意； B、如果，那么，该选项符合题意； C、如果，那么，该选项不符合题意； D、如果，当时，那么，当时，和都没有意义，该选项不符合题意． 11．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 12．如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 【答案】 25 【分析】先根据等式的性质说明，然后求出正方形的边长，再求长方形的长，进而求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴长方形的面积=长方形的面积， ∴正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴长方形的长， ∴正方形的边长， ∴正方形的面积． 13．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 14．x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为______． 【答案】 【分析】根据x与6的差的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，． 15．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 16．回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 【答案】(1)能，根据等式的两边同减去同一个数或式等式仍成立 (2)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (3)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (4)能，等式的两边同时乘以同一个不为零的数仍成立 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 17．先化简，再求值：，其中是关于x的一元一次方程． 【答案】化简为，值为3． 【分析】先去括号，合并同类项，根据一元一次方程的定义得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式， ∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 19．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 【答案】(1)代数式的值为； (2)代数式的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的解，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键． （）把看成整体，利用合并同类项法则进行化简，然后把，代入即可； （）先求出，然后把代入，然后整体代入即可求解； （）由得，然后通过题意可得，从而求解． 【详解】（1）解： ， 当， 原式 ； （2）解：当时，， 整理得：， ∴当时， ， ； （3）解：由得， ∵关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 解得：，故答案为：． 20．【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则 原式． (1)【探索发现】已知是关于x的方程的解，则代数式的值是_______； (2)【尝试应用】如下图，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，则线段的长_______； (3)【拓展应用】如下图，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为a的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体．如果，求这个有盖长方体的底面长方形的面积； (4)【迁移运用】若当时，代数式的值为k；当时，求代数式的值．（用含k的代数式表示） 【答案】(1)11 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了方程的解，已知式子的值求代数式，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由方程的解得出，然后整体代入化简后的式子计算即可． （2）由线段中点的定义得出，，再根据线段的和差关系即可得出然后代入计算即可． （3）由底面长方形的长，宽，根据长方形的面积公式结合代入计算即可得出答案． （4）先根据已知条件得出，再把代入变形后的式子求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． （2）解：∵C、D分别是线段、的中点， ∴，， ∴． （3）解：底面长方形的长，宽， ∴底面长方形的面积为： （4）解：当时，代数式的值为k， 即， 即， 则 当时，， 则 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第15讲 认识方程 （新教材北师大版） 知识点一、等式和方程的概念 2 知识点二、一元一次方程的概念和解法 3 【题型1 判断各式是否是方程】 3 【题型2 列方程】 3 【题型3 判断是否是方程的解】 4 【题型4 已知方程的解，求参数】 5 【题型5 判断是否是一元一次方程】 6 【题型6 判断是否是一元一次方程的解】 6 【题型7 等式的性质1】 7 【题型8 等式的性质2】 7 【探究式学习】 8 【课后检测】 10 【复盘笔记】 14 知识点一、等式和方程的概念 1．等式 用等号来表示相等关系的式子，叫做等式． 【例】，，，都是等式． 2．等式的分类： （1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式； （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式； （3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式． 【例】①，都是恒等式； ②是条件等式； ③，，都是矛盾等式． 3．等式的性质： （1）若，则． 等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式． （2）若，则；若且，则． 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式． （3）对称性：若，则． （4）传递性：若，，则． 4．方程：含有未知数的等式，叫做方程． 注意：①方程中必须含有未知数； ②方程是等式，但等式不一定是方程，例如是等式而不是方程． 【例】①、、都是方程； ②、、不是方程． 5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【例】是的解． 6．解方程：求方程的解的过程． 【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 知识点二、一元一次方程的概念和解法 1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． 2．一元一次方程的判断： Step1：不化简，看是否是整式方程； Step2：化简，看是否满足． 【例】，，，都是一元一次方程； 、、、都不是一元一次方程． 3．一元一次方程的两种形式： 最简形式：方程的形式叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程的形式叫一元一次方程的标准形式． 【例】，是一元一次方程的最简形式； ，是一元一次方程的标准形式． 【题型1 判断各式是否是方程】 【例1】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【变式1-1】下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【变式1-2】下面的说法中，正确的有（     ）个． ①方程都是等式，所以等式也都是方程． ②是方程的解． ③如果，那么． ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【题型2 列方程】 【例2】在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【变式2-1】药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【变式2-2】一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【变式2-3】下列条件中，能列出方程的是（    ） A．一个数的是5 B．某数与1的差的2倍 C．两数和的60% D．甲数的3倍与乙数的和 【题型3 判断是否是方程的解】 【例3】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【变式3-2】下列说法错误的是（    ） A．单项式的系数是，次数是 B．若，则是方程的解 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【题型4 已知方程的解，求参数】 【例4】关于的方程，下列说法正确的是（      ） A．若，则方程的解为 B．方程的解为 C．当时，则 D．当时，方程的解为任意数 【变式4-1】阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【变式4-2】解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【题型5 判断是否是一元一次方程】 【例5】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【变式5-2】下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 判断是否是一元一次方程的解】 【例6】已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【变式6-2】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【题型7 等式的性质1】 【例7】根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式7-1】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式7-2】对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 【变式7-3】已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 等式的性质2】 【例8】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8-1】下列由等式的性质进行的变形中，不一定成立的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式8-2】下列等式变形错误的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8-3】下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【探究式学习】 1．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 2．综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)． 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数． 【课后检测】 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 4．关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 5．如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 6．在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 7．下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列运用等式的性质，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如果，那么下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 11．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 12．如图，将一个大正方形分成两个长方形和一个小正方形．已知两个长方形的面积分别为10，6，则大正方形的面积为_________． 13．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 14．x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为______． 15．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 16．回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 17．先化简，再求值：，其中是关于x的一元一次方程． 18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 19．下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 20．【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则 原式． (1)【探索发现】已知是关于x的方程的解，则代数式的值是_______； (2)【尝试应用】如下图，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，则线段的长_______； (3)【拓展应用】如下图，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为a的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体．如果，求这个有盖长方体的底面长方形的面积； (4)【迁移运用】若当时，代数式的值为k；当时，求代数式的值．（用含k的代数式表示） 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $