精品解析：2024年四川省泸州市初中学业水平考试数学模拟试题（二）

2024年四川省泸州市初中学业水平考试数学模拟试题（二） 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 全卷满分120分，考试时间共120分钟 第1卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的）. 1. 如图，数轴上点A表示的数是2024，，则点B表示的数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.下列四个剪纸图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ）． A B. C. D. 6. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5 7. 若分式方程无解，则实数a的取值是（　　） A. 0或2 B. 4 C. 8 D. 4或8 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（　　） A 0 B. 2 C. 4 D. 8 11. 如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 12. 已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）. 13. 函数 的自变量x的取值范围是 ______． 14. 在坐标平面内，先将点向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点的坐标是 _________． 15. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是_______． 16. 如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为________． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分. 17. 计算：． 18. 已知：如图，菱形中，点E，F分别在，边上，，连接，．求证：． 19. 化简：． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分. 20. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. 某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货价格； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分. 22. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 23. 如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为． （1）求点A离地面高度； （2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分. 24. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； （3）是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年四川省泸州市初中学业水平考试数学模拟试题（二） 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 全卷满分120分，考试时间共120分钟 第1卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的）. 1. 如图，数轴上点A表示的数是2024，，则点B表示的数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，， ∴， ∴点B表示的数是， 故选：B． 2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.下列四个剪纸图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合要求； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合要求； C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：B． 4. 如图，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，注意：平行线的性质有①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法则，逐一进行计算后判断即可． 【详解】解：A、 ，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 6. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7， 所以这组数据的众数为5，中位数， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 7. 若分式方程无解，则实数a的取值是（　　） A. 0或2 B. 4 C. 8 D. 4或8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0叫做原方程的增根．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号、移项、合并同类项，得， 两边同时除以2，得． 若原分式方程无解，则， 解得或2． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴或8． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴点E为中点， ∵F是的中点，若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长， 故选：D． 【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤． 9. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后代入数据计算即可．解题的关键是利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：由题意知：，，， ∴ 由， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ①+②，得：， ∵，， ∴， ∴， ∴小孔到的距离为． 故选：A． 10. 已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可． 【详解】解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1•x2＝2． 则由得， ，即． 解得k＝4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． ． 11. 如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内心性质，证明，得到，则，进而得到，代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的内心，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 12. 已知二次函数，其中．若当时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 由，可知函数的最小值为，当时，最大值为1，对应的y的整数值有6个，则，解得即可． 【详解】 ， ， 抛物线的顶点坐标为， 当或时，， 当时，y有最小值为， ∵， ∴当时，的最大值为1， ，当时，对应的y的整数值有6个， 这6个整数值为：1、0、、、、， 解得： 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）. 13. 函数 的自变量x的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围等知识．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴函数的自变量x的取值范围是， 故答案为：． 14. 在坐标平面内，先将点向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点的坐标是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标． 【详解】解：将点M（-1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到点M′， 则点M′的坐标是（-1+3，2-4），即（2，-2）． 故答案为：（2，-2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 15. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出m、n的关系是解题的关键． 将方程组中两个方程相减，得到，即，由求出，再根据幂乘方与同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 16. 如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，，作的延长线于，作的延长线于，则四边形是矩形，，，证明，则，证明，则，，，，，由勾股定理得，，由题意知，，然后作答即可． 【详解】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，，作的延长线于，作的延长线于，则四边形是矩形， ∴，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，， 由勾股定理得，， 由题意知，， ∴当三点共线时，最小，值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．确定线段最小的情况是解题的关键． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分. 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的 运算，先计算绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 已知：如图，菱形中，点E，F分别在，边上，，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键；由菱形的性质，得，再证明，再由全等三角形的性质，结合等角的补角相等即可求解． 【详解】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【详解】解： ． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分. 20. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，18，10 （2）162 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得m、n的值； （2）用乘B类人数的占比即可求解； （3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：(名)， ， ， 故答案为：40，18，10； 【小问2详解】 解：， 故答案为：162； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． 21. 某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货价格； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元 （2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元 【解析】 【分析】此题考查一次函数的应用和分式方程的应用，熟练掌握一元一次不等式的求解是解题的关键． （1）设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为元，利用数量总价单价，结合花元购进甲种水果的件数比花元购进乙种水果的件数少5件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙种水果每件的进货单价，再将其代入中，即可求出甲种水果每件的进货单价； （2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元，设购进甲种水果m件，则购进乙种水果件，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过4200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润每件的销售利润销售数量（进货数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元； 【小问2详解】 解：设购进甲种水果m件，则购进乙种水果件， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元． 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分. 22. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可． （2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可． 【小问1详解】 ∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， ∴， 解得， 故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式． 【小问2详解】 ∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， 根据反比例函数图象的中心对称性质， ∴，设， 根据题意，得， ∴， 解得或， 故点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键． 23. 如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为． （1）求点A离地面的高度； （2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，含的直角三角形是解题的关键． （1）由题意知，，，，，则； （2）由题意知，，，则，根据飞船从A处到B处的平均速度为，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， ∴， ∴点A离地面的高度为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴飞船从A处到B处的平均速度为 ． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分. 24. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理及半径相等求得，根据切线的性质求得，推出，再证明，据此即可证明结论成立； （2）先求得，，设，证明，利用相似三角形的性质得到，解之即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由（1）得， 又， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； （3）是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点P坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式； （2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，，， 由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）或（舍去）， ∴； 当时，， ∴轴， 把代入，得， ∴，， ∴，成立； 综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或； 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点， ∴重合， ∴存在点P，使得，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$